Suponha que o diâmetro X de um cabo elétrico seja uma variável aleatória cont́ınua com f.d.p f(x) = 6x(1− x), 0 < x < 1. Verifique que esta exp...

a) Para verificar se a função dada é uma f.d.p, precisamos verificar se ela satisfaz as seguintes condições: 1. f(x) ≥ 0 para todo x; 2. ∫f(x)dx de 0 a 1 é igual a 1. Temos que f(x) = 6x(1-x), 0 < x < 1. 1. f(x) ≥ 0 para todo x, pois 6x(1-x) é positivo para 0 < x < 1. 2. ∫f(x)dx de 0 a 1 é igual a 1. ∫f(x)dx = ∫6x(1-x)dx = 6∫(x-x²)dx = 6[(x²/2) - (x³/3)] de 0 a 1 = 6[(1/2) - (1/3)] = 1 Portanto, f(x) = 6x(1-x), 0 < x < 1 é uma f.d.p. b) A f.d.a de X é dada por F(x) = ∫f(t)dt de 0 a x. F(x) = ∫6t(1-t)dt de 0 a x = 6∫(t-t²)dt de 0 a x = 6[(t²/2) - (t³/3)] de 0 a x = 6[(x²/2) - (x³/3)] O gráfico da f.d.a de X é uma parábola que começa em (0,0) e termina em (1,1). c) Precisamos encontrar um número b tal que P{X < b} = 2P{X > b}. P{X < b} = ∫f(x)dx de 0 a b = 6∫x(1-x)dx de 0 a b = 6[(x²/2) - (x³/3)] de 0 a b = 6[(b²/2) - (b³/3)] P{X > b} = ∫f(x)dx de b a 1 = 6∫x(1-x)dx de b a 1 = 6[(x²/2) - (x³/3)] de b a 1 = 6[(1/2) - (1/2-b)² - (1/3) + (1/3-b)³] Igualando as duas probabilidades, temos: 6[(b²/2) - (b³/3)] = 2[6[(1/2) - (1/2-b)² - (1/3) + (1/3-b)³]] Simplificando, temos: b³ - 3b² + 2b - 1/2 = 0 Resolvendo a equação, encontramos b = 1/2 ou b = 1. d) Precisamos calcular P{X ≤ 1/2|1/3 < X < 2/3}. P{X ≤ 1/2|1/3 < X < 2/3} = P{1/3 < X ≤ 1/2}/P{1/3 < X < 2/3} P{1/3 < X ≤ 1/2} = ∫f(x)dx de 1/3 a 1/2 = 6∫x(1-x)dx de 1/3 a 1/2 = 6[(x²/2) - (x³/3)] de 1/3 a 1/2 = 6[(1/8) - (1/27)] = 157/216 P{1/3 < X < 2/3} = ∫f(x)dx de 1/3 a 2/3 = 6∫x(1-x)dx de 1/3 a 2/3 = 6[(x²/2) - (x³/3)] de 1/3 a 2/3 = 6[(4/9) - (8/27)] = 2/3 Portanto, P{X ≤ 1/2|1/3 < X < 2/3} = (157/216)/(2/3) = 157/324.