Avaliação II - Individual Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02)

Prévia do material em texto

Prova Impressa
GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:765037)
Peso da Avaliação 1,50
Prova 53670197
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 6/4
Nota 6,00
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as 
raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a compreensão e a 
análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados 
os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, 
edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções 
verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - V.
B F - V - F - F.
C V - F - F - F.
D F - F - V - F.
A figura a seguir apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço A, B, C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine vetores, todos com 
origem no vértice A, e com extremidades em todos os outros vértices (excetuando-se A). Sobre as informações na imagem, assinale a alternativa CORRETA:
A AE.
B AB.
C AD.
D AC.
Quando trabalha-se com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três 
vetores. A esta operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular, o módulo deste resultado nos calcula o 
volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 19. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 38. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 15. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 12. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
B F - F - F - V.
C F - V - F - F.
D V - F - F - F.
 VOLTAR
A+ Alterar modo de visualização
1
2
3
As operações vetoriais existentes são a soma e a multiplicação por um escalar. Combinando estas operações, podemos realizar uma série de outros vetores que 
podem ser aplicados em diversas áreas. Sendo assim, dados os vetores u = (1, -2) e v = (3,-3), quanto à opção que apresenta o vetor resultante da operação w = u - 
2v, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: 
( ) w = (4,5). 
( ) w = (-1,-1). 
( ) w = (-5,4). 
( ) w = (2,-1). 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B V - F - F - F.
C V - V - F - V.
D F - F - V - F.
No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de 
pelo menos um vetor o espaço vetorial de saída. A respeito da base para a imagem da transformação T(x,y) = (x+y, x), analise as opções a seguir: 
I- [(1,1),(1,0)]. 
II- [(1,1),(0,1)]. 
III- [(0,1),(1,0)]. 
IV- [(1,1)]. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A Somente a opção III está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção IV está correta.
O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na 
matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, 
simultaneamente ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (0,2,2) e v = (3,0,2), analise as opções a seguir: 
I- u x v = (4,6,-6). 
II- u x v = (0,6,4). 
III- u x v = (0,-6,6). 
IV- u x v = (-4,6,-6). 
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção II está correta.
B Somente a opção III está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção IV está correta.
Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de 
dois vetores, que é o módulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do 
triângulo é a metade da área do paralelogramo. Determine a área do triângulo formado pelos vetores u = (1,2,0) e v = (0,1,2):
A Somente a opção II está correta.
B Somente a opção IV está correta.
C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção I está correta.
4
5
6
7
A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade 
da grandeza física envolvida em um dado problema. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (1,4):
A Raiz de 5.
B 4.
C 2.
D Raiz de 17.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um 
vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. 
Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: 
( ) u x v = -2.
( ) u x v = -1.
( ) u x v = 0. 
( ) u x v = 1. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
B F - V - F - F.
C F - F - F - V.
D V - F - F - F.
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um 
entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³: 
T(x,y,z) = (z, x - y, -z) 
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão do Núcleo deste operador:
A 1.
B 0.
C 3.
D 2.
8
9
10
Imprimir