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06/10/2022 18:57 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/5 Teste de Conhecimento avalie sua aprendizagem Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o grá�ico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON: CÁLCULO NUMÉRICO Lupa Calc. CCE0117_A3_201702453341_V1 Aluno: YASMIN DE OLIVEIRA GIABALDO Matr.: 201702453341 Disc.: CÁLCULO NUMÉRICO 2022.2 (G) / EX Prezado (a) Aluno(a), Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha. Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. 1. javascript:voltar(); javascript:voltar(); javascript:duvidas('1036475','6743','1','7192895','1'); javascript:diminui(); javascript:aumenta(); javascript:calculadora_on(); 06/10/2022 18:57 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 2/5 O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido: Explicação: O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica da derivada da função como a tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura. 2. A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária. A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária. A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias. A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária. A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias. Explicação: javascript:duvidas('110713','6743','2','7192895','2'); 06/10/2022 18:57 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 3/5 Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo? Determine, u�lizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 u�lizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (U�lize quatro casas decimais para as iterações) Como no Método de Newton as aproximações para a raiz são obtidas por xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] em que f' (x) está no denominador , então f' (x) não pode ser zero . 3. (2, 3) (-1, 0) (0, 1) (1, 2) (-2, -1) Explicação: Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo: P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29 P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10 P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3 P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = - 2 P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = - 1 P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6 Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3) 4. 1.0909 1.0245 1.0800 1.9876 1.0746 Explicação: f(x) = 3x4-x-3 , utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações para a raiz . xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] x1 = x0 - [f(x0) / f"(x0)] f '(x) = 12x3 - 1 f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 = -1 ... f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11 daí : x1 = 1 - (-1) / 11 = 12/11 = 1,0909 x2 = x1 - [f(x1) / f"(x1)] f(x1) = 3. 1,09094 - 1,0909 - 3 = 0,1578 ... f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 = 14,578 javascript:duvidas('617120','6743','3','7192895','3'); javascript:duvidas('988620','6743','4','7192895','4'); 06/10/2022 18:57 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 4/5 Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1. Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson - Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será: O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de: daí x2 = 1,0909 - ( 0,1578 ) / 14,578 = 1,0909 - 0,0108 = 1,0801 5. -1 2 -2 1 1.75 Explicação: Como f'(x)= 2x. e x0 =1 , temos após a realização dessa iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 . 6. 2,143 2,443 1,243 1,143 3,243 Explicação: Newton_Raphson: x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) x0 = 1 f(x) = 4x3 - 5x f'´(x) = 12x2 - 5 Para x0 = 1 f(1) = 4.13 - 5.1 = -1 f'´(1) = 12.12 - 5 = 7 Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143 7. Uma expressão fi(x) baseada em f(x). Uma reta tangente à expressão f(x). javascript:duvidas('1023865','6743','5','7192895','5'); javascript:duvidas('236652','6743','6','7192895','6'); javascript:duvidas('904468','6743','7','7192895','7'); 06/10/2022 18:57 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 5/5 Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta. Uma aproximação da reta tangente f(x). Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x). Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x). Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação. 8. O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01. É verdade que f(0) = 1,254 Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0. O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01. É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01 Explicação: Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada comparar com a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0. Não Respondida Não Gravada Gravada Exercício inciado em 06/10/2022 19:56:22. javascript:duvidas('2950989','6743','8','7192895','8'); javascript:abre_colabore('35394','295510989','5757258292');
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