Lista 1 - Matemática Básica

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Tópico I: Aritmética e Álgebra
1. Efetue as operações indicadas e simplifique o má-
ximo possível.
(a)
2y
y + 1
+
4 + 4y
y + 2
(b)
2x + 1
x − 1 −
12x − 2
3x
(c)
7 + 3y
8y + 4
· 2 + 4y
35y + 17
(d)
4x − 8
x + 7
3x2 − 12
2x2 − 98
(e)
1
z
− 1
6
z − 6
(f)
1
(x + h)2
− 1
x2
h
(g)
6
1
x + 6
− 1
x
(h)
x6 − y6
x4 − xy3
y4 + x3y
(i)
2
x
+
1
x2
− x
x2(x − 2) +
3
x(x − 2)
2. Use as propriedades de potenciação para simpli-
ficar as seguintes expressões:
(a)
1515 + 314
312
Sol. 9(3 · 515 + 1)
(b)
x4y6z2
xy3z
Sol. x3y3z
(c)
(
45a2b7
9ab4
)3
Sol. 125a3b9
(d)
(
3−1L
L−2
)
−3
Sol. 27L−9
(e)
a−5(b3c2)−7
(a−2b−4)3c−1
Sol. ab−9c−13
(f)
(
72z3
x−5y−1z−2
)
−4
Sol.
1
78x20y4z20
(g)
3
√
x2
√
x3 − 2x2 6√x
6
√
x13
Sol. −1
(h)
5
√
xx2x1/3 − ( 15
√
x2)2x
15
√
x19
Sol. 15
√
x19− 1
(i) x 3
√
x + 4x
4
3 − 5 3
√
x4 Sol. 0
3. Usando os produtos notáveis, simplifique as se-
guintes expressões:
(a)
x2 − 1
x − 1 Sol. x + 1
(b)
x3 − 8
x2 − 4 Sol.
x2 + 2x + 4
x + 2
(c)
4x2 − 9
2x + 3
Sol. 2x − 3
(d)
x4 − 16
x − 2 Sol. x
3 + 2x2 + 4x + 8
(e)
(x + h)2 − x2
h
Sol. 2x + h
(f)
(x + h)3 − x3
h
Sol. 3x2 + 3xh+ h2
(g)
(x + h)2 − (x − h)2
h
Sol. 4x
4. Escreva expressão equivalente a
2
√
x − 1
2 +
√
x
sem
raiz no denominador.
5. Escreva expressão equivalente a
2
√
x − 1
2 +
√
x
sem
raiz no numerador.
6. Escreva expressão equivalente a
2 7
√
x
5
sem raiz
no numerador.
7. Escreva expressão equivalente a
1
6
√
x
sem raiz no
denominador.
8. Racionalize e simplifique as seguintes expres-
sões:
(a)
3√
3
Sol.
√
3
(b)
3
3
√
3
Sol. 3
√
9
(c)
1
√
x −
√
3
Sol.
√
x +
√
3
x + 3
(d)
√
2 +
√
5 Sol.
−3√
2−
√
5
(e)
√
x − 2
x − 4 Sol.
1√
x + 2
(f)
√
x −
√
3
x − 3 Sol.
1√
x +
√
3
(g)
√
x −
√
7√
x + 7−
√
14
(h)
1
3
√
4− 3
√
2
Sol.
3
√
16 + 3
√
8 + 3
√
4
2
LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 2
(i)
1
3
√
x − 3
√
3
Sol.
3
√
x2 + 3
√
x
3
√
3 + 3
√
9
x − 3
(j)
3
√
x + 1− 1
x
Sol.
1
3
√
(x + 1)2 + 3
√
x + 1 + 1
(k)
1
4
√
x − 4√a Sol.
4
√
x3
4
√
x2a+
4
√
xa2 +
4
√
a3
x − a
9. Represente em uma reta numérica os conjuntos
indicados abaixo (cada conjunto deve ser represen-
tado em uma reta numérica diferente).
(a) [1, 2]∪ ]5, 7]
(b)
(−1
10
, 3
)
∩ ]0, 5]
(c) (−1, 1) ∪ [1, +∞)
(d) [−3,−1)∩ ]−∞,−2)
10. Represente em notação de intervalos e em uma
reta numérica os conjuntos indicados abaixo (cada
conjunto deve ser representado em uma reta numé-
rica diferente).
(a) {x ∈ R|x < 3}
(b) {x ∈ R|0 ≤ x < 3 ou 2 ≤ x ≤ 5}
(c) {x ∈ R|x < 2 e x ≥ −1}
(d) {x ∈ R|2x − 6 < 0 e 4x + 6 ≤ 0}
(e)
{
x ∈ R|2x2 − 2 < 0
}
(f)
{
x ∈ R|x2 − 3x + 2 > 0 e x − 4 ≤ 0
}
11. Resolva as inequações. Dê sua resposta usando
intervalos.
(a) 3x − 2 > 1 Sol. ]1, +∞[
(b) x2 − 4 < 0 Sol. (−2, 2)
(c)
2x + 1
3x − 1 < 1 Sol. (−∞, 1/3) ∪ (2,+∞)
(d)
3x + 1
x − 1 < 2 Sol. (−3, 1)
(e)
x(x2 − x + 1)
x + 1
<
x(3x − 2)
x + 1
Sol. (−1, 0) ∪ (1, 3)
(f)
x2
x − 1 <
x + 12
x − 1 Sol. (−∞,−3) ∪ (1, 4)
(g)
√
x2 − 3 < 2 Sol. (−1, 0] ∪ [3, 4)
(h)
√
2x + 5 < x + 1 Sol. (2,+∞)
12. Em cada item abaixo, decida se a proposição
dada é falsa ou é verdadeira justificando sua res-
posta:
(a) Se a distância de x a 2 é menor do que 5 e a
distância de y a 6 é menor do que 8, então a
distância de (x + y) a 8 é menor do que 15.
(b) Se a distância de x a 4 é menor do que 5 e a
distância de x a 2 é maior do que 2, então x é
um número positivo.
(c) Se a distância de x a 1 é maior do que 3 e a
distância de x a 3 é maior do que 2, então x é
maior do que 5.
13. Resolva as desigualdades ou equações abaixo.
Para as desigualdades, represente o conjunto solu-
ção em notação de intervalos e em uma reta numé-
rica.
(a) |x | < 5 Sol. ]− 5, 5[
(b) |x | ≥ 2 Sol. (−∞,−2] ∪ [2, +∞)
(c) |x − 2| < 0, 03 Sol. ]1.97, 2.03[
(d) |x + 3| > 4 Sol. (−∞,−7) ∪ (1,+∞)
(e) |5x − 7| = 13 Sol. (−1, 0) ∪ (1, 3)
(f) 2x − 7 + |x + 1| ≥ 0 Sol. [2, +∞)
(g) |x − 1| − 3x + 7 ≤ 0 Sol. [3, +∞)
(h) |2x − 6| − |x | ≤ 4− x Sol. [1, 5]
(i) |x + 1| < |x − 2| Sol. [1, 5]
Tópico II: Funções
14. Determine o domínio das seguintes funções:
(a) f (x) = x2
(b) f (x) =
√
4− x2
(c) f (x) =
√
x − 2
(d) f (x) =
√
x2 − 4x + 3
(e) f (x) =
1
x − 4
(f) f (x) =
√
x
x + 1
(g) f (x) =
x + a
x − a
LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 3
(h) f (x) =
x2 − 1
(x + 4)(x − 1)
15. Dada a função f (x) = x2+1, mostre que f
(
1
a
)
=
f (a)
a2
para a 6= 0.
16. Considere a função f (x) = (x − 2)(8 − x) para
todo x ∈ [2, 8].
(a) Determine, se possível, f (5), f (4/3), f (1), e f (7/2).
(b) Determine g(x) = f (1−2x) e indique o domínio.
(c) Determine f [f (3)] e f [f (5)].
(d) Trace os gráficos das funções f e g .
17. Considere as funções f (x) =
√
x2 − 1 e g(x) =√
x2 − 4
(a) Determine o domínio de f .
(b) Determine o domínio de g .
(c) Construa os gráficos de f e g .
(d) Calcule f + g , f − g , f · g e f /g .
(e) Determine o domínio das funções calculadas
no item (d).
18. Seja f (x) =
{
x2 − 1 se x > 1
3x − 1, se x < 1.
.
(a) Determine o domínio de f .
(b) Calcule f (0), f (−1) e f (2).
(c) Seja g(x) = f (x − 2). Determine g explicitando
o seu domínio. Construa os gráficos de f e g .
(d) Para que valores de x tem-se f (x) = 0?
(e) Seja h(x) =
1
f (x)
. Qual é o domínio de h?
19. Dadas as funções f (x) = x2 − 1 e g(x) = 2x − 1.
(a) Determine o domínio de f .
(b) Determine o domínio de g .
(c) Construa os gráficos de f e g .
(d) Calcule f + g , f − g , f · g , f /g , f ◦ g e g ◦ f .
(e) Determine o domínio das funções calculadas
no item (d).
20. Considere as funções definidas por f (x) = log10 x
e g(x) = x3. Determine
(a) (f ◦ g)(2)
(b) (f ◦ g)(x), ∀x > 0
(c) (g ◦ f )(10)
(d) (g ◦ f )(x), ∀x > 0
21. Sejam f (x) =





5x , se x ≤ 0
−x + 1, se 0 < x ≤ 4√
x , se x > 4
e g(x) =
x2. Calcule f ◦ g .
22. Em cada item abaixo é dado um par de funções,
f e g . Encontre a expressão para cada uma das
compostas, f ◦g e g ◦f , descrevendo seus domínios:
(a) f (x) = 2x − 1 e g(x) = |x |
(b) f (x) =
√
x e g(x) = x2 + 2x + 1
(c) f (x) =
√
x + 1 e g(x) = x2 − 2x
(d) f (x) =
√
x e g(x) = x2 − 1
23. Escreva cada uma das quatro funções abaixo
como a composta de três funções:
(a) f (x) = 8 + sen2 x
(b) f (x) = cos2(3x + 5)
(c) f (x) =
√
8 + sen x
(d) f (x) =
−1
sen(x4)
24. Verifique quais funções abaixo são pares, quais
são impares e quais não são pares nem impares jus-
tificando sua resposta:
(a) f (x) = 3
(b) f (x) = 0
(c) f (x) = 2x2 + 5
(d) f (x) = 5x3 + x
(e) f (x) = 5x3 + x + 2
(f) f (x) = 6x4
(g) f (x) = 6x4 − 8
(h) f (x) = 6x4 − x
(i) f (x) = |x |
LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 4
(j) f (x) =
∣
∣x3
∣
∣
(k) f (x) =
∣
∣x3 + 1
∣
∣
25. Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) f (x) = 8x + 14
(b) f (x) = −x2 + 4x + 1
(c) f (x) = (x − 2)2
(d) f (x) = x3
(e) f (x) = x3 − 2
(f) f (x) = |x |, para −3 ≤ x ≤ 3
(g) f (x) =
1
x
(h) f (x) =
1
x − 2
(i) f (x) =
{
−x , se −2 ≤ x ≤ 0
x , se 0 < x < 2
(j) f (x) =





x3, se x ≤ 0
1, se 0 < x < 2
x2, se x ≥ 2
(k) f (x) =





−x , se x < 0
1/2, se x = 0
1, se x > 0
(l) f (x) =





5x , se x ≤ 0
−x + 1, se 0 < x ≤ 4√
x , se x > 4
(m) f (x) =





−1, se x < 3
1, se x = 3
3, se x > 3.
(n) f (x) =





x , se x < 0
1, se 0 ≤ x ≤ 2
x3, se x > 0.
(o) f (x) =
{
x , se x < 1
(x − 2)2, se x > 1.
26. Faça um esboço dos gráficos das funções
y =
(
1
2
)
x
, y =
(
1
4
)
x
, y = (2)
x e y = (4)x
em um mesmo sistema de eixos coordenados.
27. Faça um esboço dos gráficos das funções
y = x , y = x + 2, e y = x + 4
em um mesmo sistema de eixos coordenados.
28. Faça um esboço dos gráficos das funções
y = x2, y = x2 + 3, e y = x2 + 6
em um mesmo sistema de eixos coordenados.
29. Faça um esboço dos gráficos das funções
y = sen(x), y = sen(x) + 1, e y = sen(x) + 2
em um mesmo sistema de eixos coordenados.
30. Faça um esboço dos gráficos das funçõesy = cos(x), y = cos(x) + 2, e y = cos(x) + 4
em um mesmo sistema de eixos coordenados.
Referências
• MALTA, I.; PESCO, S.; LOPES, H., Cálculo a
uma variável: Uma introdução ao cálculo, vo-
lume 1, Coleção Matmídia, Editora PUC-Rio,
2002,
• BASSANEZI, R. Introdução ao cálculo e apli-
cações, Editora Contexto, 2015.
• HALMOS, P. Teoria ingenua dos conjuntos. Edi-
tora Ciencia Moderna, 2001.
• IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Ma-
temática Elementar: Conjuntose Funções, Vo-
lume 1, Editora Atual.
• IEZZI, G., DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Fun-
damentos de Matemática Elementar: Logarit-
mos, Volume 2, Editora Atual.
• IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elemen-
tar: Trigonometria, Volume 3, Editora Atual.
• IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elemen-
tar: Complexos, Polinômios e Equações, Vo-
lume 6, Editora Atual.
• IEZZI, G.; MURAKAMI, C; MACHADO, N. Fun-
damentos de Matemática Elementar: Limites,
derivadas e noções de integral, Volume 8, Edi-
tora Atual.
Bom Estudo!
Lista de Exercícios Calc 1 # Cálculo Diferencial e Integral I 5