gabarito numeros complexos

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CÁLCULO AVANÇADO: 
NÚMEROS COMPLEXOS E 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
2019
Profa. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Luiz Carlos Pitzer
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
2
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
UNIDADE 1
TÓPICO 1 
 Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo 
finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Determine as raízes da função :f →  definida por ( )f x x x2 4 5.= + +
R.: x = -2 ± i
2 A forma algébrica do complexo: z = 3 




 +
6
7.
6
7cos ππ seni é? 
R.: 
3 3 3
2 2
i− −
3 O inverso do número complexo z = 2 + i é?
R.: 
i2
5 5
−
4 Determine o número complexo z tal que: z = 3i 97 + 2i 75 + 9i18.
R.: z = -9 -i
5 A forma trigonométrica (ou polar) do número complexo 
( )21
1
i
i
+
−
 tem 
argumento (em graus e radianos) igual a?
R.: 
4
πθ =
6 Se m(cos θ + i sen θ ) = 1 + i, e 0 πθ 2≤≤ , então os valores respectivos 
de m e θ (em radianos) são?
R.: m 2= e 
4
πθ =
7 Calcule o número complexo: i126 + i–126 + i31 – i180.
R.: – 3 – i
5
3
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
8 Considere, z1 = – 3 + 3i e z2 = 4 + 2i. A representação polar de z z1 2+ é?
R.: 
9 A forma algébrica do complexo, z = 2. 




 +
6
7.
6
7cos ππ seni , é?
R.: 6 2
2 2
i
− −
 
10 Da questão 2, determine na forma trigonométrica z20.
R.: isen20 4 43 cos
3 3
π π    
+    
    
11 Determine a raiz cúbica do número complexo: z i3 327. cos .sin .
4 4
π π 
= + 
 
R.: 
( ) ( )k k
isen k
3 8 3 8
3 cos , 0,1,2
12 12
π π    + +
+ =            
TÓPICO 2
 Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo 
finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Calcule o valor da função f (z) = x2 + x2y2 -i (y2 x + y3) nos pontos dados: 
a) z = (x, y) = (2, 3) R.: 40 - 45i
b) z = 2 + 4i R.: 68 - 96i
c) z = 5i R.: -125i
d) z = 3 R.: 9
2 Determine a parte real e a parte imaginária das funções complexas: 
a) ( )f z iz z2 6= + R.: Re( f ) = 6x - 2y e Im ( f ) = 2x - 6y
b) ( )f z z 2= R.: Re ( f ) = x2 + y2 e Im( f ) = 0
2 cos 
4 4
i senπ π
    
+    
    
4
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
c) ( ) zf z e i2= + R.: Re ( f ) = excos e Im ( f ) = 2 +exsen(y)
d) ( ) zf z z= R.: ( )
x yRe f
x y
2 2
2 2
−
=
+
 e ( ) xyIm f
x y2 2
2
=
+
3 Para quais valores de z a função racional complexa ( ) ( )
( )
z i
f z
z i
2
2
2
2
+ −
=
− +não está definida.
R.: 2 - i
4 Determine o conjunto dos números complexos que satisfazem a 
igualdade:
a) ( )Re z 1 4+ = R.: z iy y3= + ∀ ∈
b) z z1 1 4+ − + = R.: z = –2
5 Prove que cosh (x + y) = cosh(x) . cosh(y) + senh(x) . senh(y). 
Resposta-dica: Utilize a definição de cosseno e seno hiperbólico e as 
propriedades IV e V.
6 Determine o valor de cada um dos itens a seguir:
a) senh (1) = R.: e
e
2 1 1,175
2
−
≈
b) senh (ln 2) = R.: 0,6
c) cosh (ln 3) = R.: 5
3
d) sech(0) = R.: 1
e) cossech(ln(-5)) = R.: 
10
24
−
f) cotanh (ln 2) - sech(ln - 2) = R.: 37
15
5
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
TÓPICO 3
 Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo 
finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Calcule os limites a seguir: 
a) lim1 z i
z
z→ + R.: – i
b) 
z
z
z
2
lim
0→
 R.: 0
c) ( )lim2 _
Re 
z i
z
z→ R.: 
d) ( )
2
lim 
z i
Im z
z→
   R.: 1
e) z
z ilim
1
3
2→−
+ R.: i1 32
− +
f) 
2
lim
1
5 
z i
z
iz→ +
− R.: 7 3
2
i+
−
g) ( )
2
lim
1
1
 
z i
z z
z→
+
−
 R.: 0
2 Determine se as funções complexas são contínuas no ponto dado
a) ( ) zf z
z z
3
4 2
8
4 16
+
=
+ +
 em z = 0 R.: contínua 
b) ( )
2 4 , 2
2
4 , 2 
f
z se z i
z i
i se z i
z
 +
=
≠
−
 =
 em z = 2i R.: contínua 
2 5
5
6
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
UNIDADE 2
TÓPICO 1 
Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui. 
Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados 
neste tópico. Bom estudo!
1	 Usando a definição de derivada, calcule as derivadas a seguir no ponto 
 z0 = x0 + iy0:
a) f (z) = 2 + i
b) f (z) = z
R.: a) 0 b) 1 
2 Mostre que a função ( )f z z 2= não é derivável em nenhum ponto 
z0 .∈
R.: verdadeiro 
3 Verifique se as funções a seguir satisfazem as equações de Cauchy-
Riemann
a) ( ) ( )f z x xy i x y y3 2 2 23 3= − + −
b) ( ) ( ) ( )( )xf z e y isen ycos−= −
c) ( ) ( ) ( )( )yf z e x isen xcos= +
R.: a) não b) sim c) não
4 Calcule a derivada das funções a seguir, usando as equações de Cauchy-
Riemann: 
a) f (z) = 3z2
b) f (z) = sen (z)
c) f (z) = cos (z)
d) f (z) = tg(z)
e) f (z) = cosh(z)
f) f (z) = senh(z)
7
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
g) f (z) = tgh(z)
h) f (z) = eaz para a∈ e a 0≠ .
i) f (z) = ln(z)
R.: 
 
a) f '(z) = 6z b) f '(z) = cos (z) c) f '(z) = -sen(z) 
d) f '(z) = sec2 (z) e) f '(z) = sinh(z) f) f '(z) = cosh(z) 
g) f '(z) = sech2 (z) h) f '(z) =aeaz i) ( )f z
z
1' =
5 Compare as derivadas das funções reais e complexas: 
Função Real Derivada Função complexa Derivada
f(x) = cos(x) f '(x) = f(z) = cos(z) f '(z) = 
 f(x) = sen(x) f '(x) = f(z) = sen(z) f '(z) = 
 f(x) = tg(x) f '(x) = f(z) = tg(z) f '(z) = 
 f(x) = cosh(x) f '(x) = f(z) = cosh(z) f '(z) = 
f(x) = senh(x) f '(x) = f(z) = senh(z) f '(z) = 
 f(x) = tgh(x) f '(x) = f(z) = tgh(z) f '(z) = 
 As derivadas encontradas no caso real são similares as derivadas 
encontradas no caso complexo. Justifique sua resposta.
R.: Sim, apenas algumas alterações nos sinais das funções.
6 Encontre as derivadas segunda e terceira das funções: 
a) f (z) = sen (z)
b) f (z) = cos (z)
c) f (z) = tg(z)
d) f (z) = cosh(z)
e) f (z) = senh(z)
f) f (z) = tgh(z)
g) f (z) = eaz para a∈ e a 0≠ .
h) f (z) = ln(z)
8
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
R.: 
 
a) f ''(z) = - sen (z) f '''(z) = - cos (z) 
b) f ''(z) = -cos(z) f '''(z) = sen (z) 
c) f ''(z) = 2tg(z) sec2 (z) f '''(z) = 2 sec2 (z)(2tg2(z) + sec2 (z))
d) f ''(z) = cosh(z) f '''(z) = senh(z)
e) f ''(z) = senh(z) f '''(z) = cosh (z)
f)f ''(z) = - 2 tgh(z) sech2(z) f '''(z) = 4tgh2 (z) sech2(z) - 2 sech4(z) 
g) f ''(z) = a2 eaz f '''(z) = a3eaz
h) ( )f z
z2
1'' =
7 Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas:
a) f (z) = sen (z2 + 4i)
b) f (z) = ecos(z)
c) f (z) = tg(cos(z))
d) f (z) = cosh(sen(z) + 4z2)
e) f (z) = e2z3 + sen(z)
f) f (z) = ln (tg(z) + e4z2)
R.: 
a) ( ) ( )f z z iz2' 2 cosh 4= − 
b) ( ) ( ) ( )zf z sen z ecos' = − 
c) ( ) ( ) ( )( )f z sen z z2' sec cos= − 
d) ( ) ( )( ) ( )( )f z z z senh z sen z2' 8 cos 4= + + 
e) ( ) ( ) ( )( )sen zzf z e z z32 2' 6 cos+= + 
f) ( ) ( )
( )
z
z
ze z
f z
e tg z
2
2
4 2
4
8 sec
'
+
=
+
 
 
8 Encontre os domínios onde as funções a seguir são analíticas: 
a) f (z) = Re(z)
b) f (z) = Lm(z)
c) ( )f z z=
d) ( ) ( )zf z eln 1= +
( )f z
z3
2''' =
9
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
e) ( ) zf z z=
f) ( ) zf z e
1
1
=
−
R.: 
a) ( )Dom f =  b) ( )Dom f =  c) ( )Dom f = 
d) ( )Dom f =  e) ( ) ( ){ }Dom f 0,0= − f) ( ) ( ){ }Dom f 0,0= − 
9	 Mostre que a função ( ) ( ) ( )f z xy x x y y i2 22 5 5= − + + − − é inteira e 
calcule ( )f z' .
R.: Verdadeira. 
10Mostre que as funções a seguir não são analíticas em nenhum ponto do 
plano complexo: 
a) f (z) = Re(z)
b) f (z) = y + xi
c) f (z) = z-2
R.: a) Não existe derivada b) Não existe derivada 
Não existe derivada 
TÓPICO 3 
 Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explora-
dos neste tópico. Bom estudo!
1 Encontre uma parametrização para os seguintes círculos com centro em 
c0 e raio r:
a) c0 = (1, -1) e r = 2
b) c0 = (1, 3) e r = 3
c) c0 = (-2, 0) e r = 2
10
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
R.:
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x t t
 t 
y t sen t
x t t
 t 
y t sen t
x t t
 t 
y t sen t
1 2.cos
,
1 2.
1 3.cos
,
3 3.
2 2.cos
,
2.
 = + ∈
= − +
 = + ∈
= +
 = − + ∈
=



2 Encontre a parametrização das curvas a seguir: 
a) Segmento de reta ligando z = 0 a z = 2 + i
b) Segmento de reta ligando z = 2 - i a z = -1 + 3i
c) Circunferência |z|= R
R.:
 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
x t t
 t 
y t t
x t t
 t 
y t t
x t R t
 t 
y t R sen t
2
, 0,1
2 3
, 0,1
1 4
.cos
,
.
 = ∈    =
 = − ∈    = − +
 = ∈
=

3 Encontre uma parametrização para as seguintes curvas: 
a) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4
b) 2x2 + y2 = 1
c) x2 + y2 + 4x - 2y - 9 = 0
a)
a)
b)
b)
c)
c)
11
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
d) 9x2 + 4y2 + 18x - 16y = 11
R.:
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x t t
 t 
y t t sen t
x t t t 
y t sen t
x t t
 t 
y t sen t
x t t
 t 
y t sen t
2 2.cos
,
2.
2 .cos ,2
2 14.cos
,
1 14.
1 2.cos
,
2 3.
 = + ∈
= +

= ∈
 =
 = − + ∈
= +
 = − + ∈
= +




4 Calcule as integrais complexas a seguir: 
 
( )
( )
n
i t
zt
it dt
i dt
t
e dt
e dt com Real z
1
2
0
22
1
6
2
0
0
1
1
, 0
∞
−
+
 
− 
 
>
∫
∫
∫
∫
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
12
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
R.: a) i2
3
+ b) ( )i ln1 4
2
− − c) i3
4 4
+ d) z
1
5 Calcule a integral complexa das funções a seguir sobre a curva indicada: 
a) ( ) ( ) itf z zz t e t, ,0 .γ π= = ≤ ≤
b) ( ) ( ) itzf z t e t
z
, 3 ,0 .
2
πγ= = ≤ ≤
c) ( ) 2 1 2z dz sobre a parábola parametrizada por z t 2t it e z e z i2 0 8 2 .
γ
= − = = +∫
d) f (z) = 2z, dois segmentos de reta ligando z1 = 0 a z2 = 2 - 3i e z2 = 2 - 3i a 
z3 = 5 + 2i.
R.:
a) -2
b) -1 - i
c) i416 376
3 3
−
d) 21 + 20i
TÓPICO 3
 Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo 
finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Usando a fórmula de Cauchy, calcule as integrais a seguir: 
z
z
e dz
z
dz
z i
e dz
z
2
,
1
1 ,
3
,
2
γ
γ
γ
+
+
−
∫
∫
∫
a) com γ uma circunferência |z| = 3 orientada no sentido anti 
- horário.
b) com γ orientada no sentido anti - horário contendo z0 = - 3i.
13
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
R.:
a) i
e2
2 π b) i2 π c) 2i e2 π
2 Usando a fórmula de Cauchy para derivadas, calcule as integrais a seguir: 
( )
( )
( )
ze dz
z
dz
z i
e dz
z
2
4
2
2
3
,
1
1 ,
3
,
2
γ
γ
γ
+
+
−
∫
∫
∫
R.:
a) i
e2
8 π b) 0 c) i e
2
2
π
3 Verifique se a parte real e imaginária das funções a seguir são harmônicas:
a) f (z) = ez
b) f (z) = cos(z)
c) f (z) = sen(z)
d) 
zf z
z
1( ) +=
e) f (z) = z2 + 3z - 2i
f) ( )f z iz i z( ) 2 3= + +
c) com γ orientada no sentido anti - horário contendo z0 = 2.
c) com γ orientada no sentido anti - horário contendo z0 = 2.
b) com γ orientada no sentido anti - horário contendo z0 = -3i.
a) com γ uma circunferência |z| = 3 orientada no sentido 
 anti - horário.
z
z
e dz
z
dz
z i
e dz
z
2
,
1
1 ,
3
,
2
γ
γ
γ
+
+
−
∫
∫
∫
14
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
R.: 
a) Re ( f ) e Im ( f ) são harmônicas 
b) Re ( f ) e Im ( f ) são harmônicas
c) Re ( f ) e Im ( f ) são harmônicas
d) Re ( f ) e Im ( f ) são harmônicas
e) Re ( f ) e Im ( f ) são harmônicas
f) Re ( f ) e Im ( f ) são harmônicas
4 Determine a função analítica f (z) = u(x, y) + i v (x,y), tal que: 
a) u(x, y) = x2 - y2
b) u(x, y) = x3 - 3xy2
c) u(x, y) = In (x2 - y2) 
d) u(x, y) = 2y (x -1)
R.: 
a) f (z) = (x2 - y2) + i(6xy + c0)
b) f (z) = (x3 - 3xy2) + i(3x2y - y3 + c0)
c) ( ) yf z x y i tg cx
2 2 1
0( ) ln 2
−  = + + +  
  
d) f (z) = 2y (x - 1) + i(-x2 + y2 + 2x + c0)
15
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
UNIDADE 3
TÓPICO 1
 Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explora-
dos neste tópico. 
1 Nos problemas a seguir, encontre a solução das EDOs de 1a ordem:
a) (2x - 3y)dx + (2y - 3x)dy = 0 Sol.: x2 - 3xy + y2 = C
b) yexdx + exdy = 0 Sol.: y = Ce-x 
c) (3y2 + 10xy2)dx + (6xy - 2 +10x2y)dy = 0 Sol.: 3xy2 + 5x2y2 - 2y = C
d) 2.cos(2x - y)dy = 0 Sol.: sen(2x - y) = C
e) ( ) ( )x ye xdx ydy
2 2
0
− +
+ = Sol.: ( )e x y C2 21 .2− − + =
f) ey cos xy[ydx + (x + tgxy) dy] = 0 Sol.: ey . senxy = C
2 Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.
a) ( ) ( )y dx x y dy y
x
ln 1 2 0; 2 4
1
 + − + = = −
 Sol.: ( )y x y2.ln 1 16− + =
b) ( ) ( )xdx ydy y
x y2 2
1 0; 4 3+ = =
+
 Sol.: x y2 2 5+ =
c) ( ) ( )xdx ydy y
x y2 2
1 0; 0 4+ = =
+
 Sol.: x y2 2 16+ =
d) ( ) ( )xe sen ydx ydy y3 3 cos 3 0; 0 π+ = = Sol.: ( )xe sen y3 3 0⋅ = 
e) ( ) ( ) ( )xtgy dx x y dy y2 22 5 sec 0; 0 0+ + = = Sol.: ( )x y x2 . tan 5 0− =
f) ( ) ( )x y dx xydy y2 2 2 0; 3 1+ + = = Sol.: xxy
3
2 12
3
+ =
3 Nos problemas a seguir, encontre a solução das EDOs de 2a ordem:
a) y'' - 2y' + 2y = 0 Sol.: y (t) = et [c1 cos (t) +c2 sen (t)]
b) y'' - 2y' + 6y = 0 Sol.: y (t) = et [c1 cos (√5t)+ c2 sen (√5t)]
c) y'' + 2y' - 8y = 0 Sol.: y(t) = c1e2t + c2e-4t
d) y'' + 2y' + 2y = 0 Sol.: y(t) = e-t [c1 cos (t) + c2 sen (t)]
16
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
e) d y dy y
dxdx
2
2 6 13 0+ + = Sol.: y(t) = e
-t [c1 cos (t) + c2 sen (2t)]
f) 4y'' + 9y = 0 Sol.: 
t ty(t) = c1 cos c sen2
3 3
2 2
   
+   
   
 
g) y'' + 2y' + 1,25 y = 0 Sol.: -t
t ty(t) =e c c sen1 2cos 2 2
    
+    
    
h) d y dy y
dtdx
2
29 9 4 0+ − = Sol.: 
t t
1y(t) =c e c e
4
3 3
2
−
+
TÓPICO 2
Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui. 
Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados 
neste tópico. Bom estudo!
1 Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências, 
não se preocupando com os extremos:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
x
n
n x
n
x
n
x
n
n x
x
n
1
2
1
2
0
1
0
3
0
1
3 7
5
2
1 2
5 1
!
2
2
2
8 ln 2
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−
+ −
+
−
+ +
−
−
+
+
∑
∑
∑
∑
∑
∑
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
x
n
x
n x
n x
x
n
x
n
0
1
2
1
2
0
0
0
1
3
2
2
1
5
2 2
2 1 !
2 3
2 !
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
+
−
+
+
−
∑
∑
∑
∑
∑
∑
a) g)
b) h)
c) i)
d) j)
17
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
x
n
n x
n
x
n
x
n
n x
x
n
1
2
1
20
1
0
3
0
1
3 7
5
2
1 2
5 1
!
2
2
2
8 ln 2
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−
+ −
+
−
+ +
−
−
+
+
∑
∑
∑
∑
∑
∑
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
x
n
x
n x
n x
x
n
x
n
0
1
2
1
2
0
0
0
1
3
2
2
1
5
2 2
2 1 !
2 3
2 !
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
+
−
+
+
−
∑
∑
∑
∑
∑
∑
R.:
a) (-1, 1) b) (6, 8) c) (-1/2, 1/2) d) toda reta real e) x=2 f) (-4, 0)
g) (-1, 1) h) (-1, 5) i) (-2, 2) j) (-4, 6) k) x=-2 l) toda reta real
2 Calcule a solução em série centrada no ponto ordinário x = 0 de cada 
uma das EDOs a seguir:
a) y'' = xy
b) y'' - 2xy' + y = 0
c) y'' + x2y' + xy = 0
d) (x2 + 2) y'' + 3xy' - y = 0
R.:
 
( )
( )
( )
y x a x x x a x x x x
y x a x x x a x x x x
y x a x x x
3 6 9 4 7 10
0 1
2 4 6 3 5 7
0 1
2 2 2
3 6 9
0
1 1 1 1 1 11
2 3 2 3 5 6 2 3 5 6 8 9 3 4 3 4 6 7 3 4 6 7 9 10
1 3 21 1 5 451
2! 4! 6! 3! 5! 7 !
1 4 4 71
3! 6! 9!
   
= + + + + ⋅ + + + + + ⋅⋅⋅   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   
   
= − − − − ⋅⋅⋅ + + − + + ⋅⋅⋅   
   
 
= − + − + ⋅⋅⋅

( )
a x x x x
y x a x x x a x x x x
2 2 2 2 2 2
4 7 10
1
2 4 6 3 5 7
0 1
2 2 5 2 5 8
4! 7 ! 10!
1 7 7.23 1 14 14.341 ...
4 4!4 6!8 3! 5!2 7!4
 
+ − + − + ⋅⋅⋅  
  
   
= + − + − ⋅⋅⋅ + − + − −   
   
e) k)
f) l)
a)
b)
c)
d)
18
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
TÓPICO 3
 Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo 
finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Determine a série de Fourier das funções periódicas a seguir: 
a) ( ) xf x x
0, 0
1,0
π
π
 − < <
=  < <
b) ( ) x xf x x x
, 0
,0
π
π
− − < <
=  < <
c) f (x) = x3, -π < x < π
d) f (x) = ex, -π < x < π
e) f (x) = sen2 (x), -π< x < π 
f) ( )
x
f x x
x
1, 1 0
0, 0
1,0 1
 − < <
= =
− < <
R.: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
f x sen nx
n
f x cos nx
n
n
f x sen nx
n
senh
f x nx
f x sen nx
f x cos n x
n
1
2
1
2 2
3
1
1
1
2
1
1 11
2
1 1
2
2
6 1
2
2
1 1 cos
1 1
2
1 11 2
2
π π
π
π
π
π
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
− −
= +
− −
= +
− −
=
 
= + − 
 
= + −
− −
= +
∑
∑
∑
∑
∑
∑
a) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
f x sen nx
n
f x cos nx
n
n
f x sen nx
n
senh
f x nx
f x sen nx
f x cos n x
n
1
2
1
2 2
3
1
1
1
2
1
1 11
2
1 1
2
2
6 1
2
2
1 1 cos
1 1
2
1 11 2
2
π π
π
π
π
π
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
− −
= +
− −
= +
− −
=
 
= + − 
 
= + −
− −
= +
∑
∑
∑
∑
∑
∑
d)
c)
b)
19
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
2 Determine os pontos de descontinuidade das funções do exercício 1 e 
determine para qual valor a série de Fourier dessas funções converge 
nesses pontos.
R.: 
a) no ponto x = 0 e converge para ½.
b) Não tem pontos de descontinuidade.
c) Não tem pontos de descontinuidade.
d) Não tem pontos de descontinuidade.
e) Não tem pontos de descontinuidade.
f) no ponto x = 0 e converge para 0.
3 Mostre que o conjunto x x x x0 = 1, sen sen
L L L L
2 2cos ,cos ,..., ,π π π π
        
        
        
 é ortogonal no intervalo [-L, L], ou seja, que se ψ, φ ∈ 0 então 
L
L
dx. 0.ψ ϕ
−
=∫
Também calcule a norma das funções desse conjunto, lembre-se que a 
norma de funções é 
L
L
dx2 .ϕ
−
∫
R.: Sim, são ortogonais.
4 Mostre que se f é par então ( ) ( )
L L
L
f x dx f x dx
0
2 .
−
=∫ ∫
R.: Para toda a função par vale a igualdade.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
f x sen nx
n
f x cos nx
n
n
f x sen nx
n
senh
f x nx
f x sen nx
f x cos n x
n
1
2
1
2 2
3
1
1
1
2
1
1 11
2
1 1
2
2
6 1
2
2
1 1 cos
1 1
2
1 11 2
2
π π
π
π
π
π
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
− −
= +
− −
= +
− −
=
 
= + − 
 
= + −
− −
= +
∑
∑
∑
∑
∑
∑f)
e)
20
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
5 Mostre que se f é ímpar então ( )
L
L
f x dx 0.
−
=∫
R.: Para toda a função ímpar a integral é zero.
6 Faça a análise dos seguintes problemas de valor de contorno: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
y ay
 para 0 < x < L
y y L
y ay
 para 0 < x < L
y y L
y ay
 para 0 < x < L
y y L
'' 0,
0 0
'' 0,
' 0 ' 0
'' 0,
0 ' 0
 + =
 = =
 + =
 = =
 + =
 = =
R.: 
 
a)
a)
b)
c)
n
n
n
n
n
n
ny b sen x
L
ny a x
L
ny b sen x
L
1
1
1
cos
2
π
π
π
∞
=
∞
=
∞
=
 
=  
 
 
=  
 
 
=  
 
∑
∑
∑
b)
c)
n
n
n
n
n
n
ny b sen x
L
ny a x
L
ny b sen x
L
1
1
1
cos
2
π
π
π
∞
=
∞
=
∞
=
 
=  
 
 
=  
 
 
=  
 
∑
∑
∑
21
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
7 Utilizando Séries de Fourier encontre a solução para as EDOs a seguir: 
a) y'' + 2y = x para - π < x < π
b) y'' + 2y' + 4y = x2 para - π < x < π 
c) y'' + 2y' + 4y = x para - π < x < π
d) y'' - y' + y = ex para - π < x < π
R.: 
 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )( )
( ) ( )
n
n
n
n
nn
n n
nn
n n
y x sen nx
n n
y x nx
n n n
nn
y sen nx sen nx
n n n n
senh nsenh n senh
y cos nx sen nx
n n n n
1
2
1
2
2 2
1
1 2
4 2 4 2
1 1
2
4 2 4 2
1 1
2 1
2
4 1
cos .
12 2 4
2 4 14 1
12 16 1
2 1 14 2 1
1 1
π
π
ππ
π
ππ π
π π π
+
∞
=
∞
=
+
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
−
=
−
−
= +
− − +
− −−
= +
− + − +
− −−
= + +
− + − +
∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
 
a)
b)
c)
d)
TÓPICO 4 
 Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo 
finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Calcule a Transformada de Laplace das funções a seguir: 
 
22
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
R.:
a) ( )F s
s
1
= b) ( )F s
s2
1
= c) ( ) n
nF s
s 1
!
+
= d) ( )F s s3 21
2
π=
e) ( ) sF s
s b2 2
=
+
 f) ( )
( )
bsF s
s b
22 2
2
=
+
 g) ( )
( )
s bF s
s b
2 2
22 2
+
=
+
h) ( ) ( )( )
sF s
s a s b
=
− −
 i) ( ) ( )( )F s s a s b
1
=
− −
2 Calcule a Transformada de Laplace inversa das funções:
f (t) = 1 f (t) = t cos(bt)
f (t) = t ( )
at btae bef t
a b
−
=
−
f (t) = tn ( )
at bte ef t
a b
−
=
−
( )f t t=
f (t) = cos(bt)
f (t) = tsen(bt)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
23
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
R.: 
a) f (t) = 1 b) ( ) tf t
4
24
= c) ( ) ( )sen tf t 3
3
= 
d) ( ) ( ) ( )f t t sen t53cos 7 7
7
= + e) ( ) t t tf t e e e2 31 1 13 12 4
−= − + + 
f) ( )
t
tt e tf t e
2 2
21 1
8 16 8 16
−
−= + − −
3 Encontre a solução das EDOs, usando Transformada de Laplace.
a)
b)
c)
( )
( )
( )
F s
s
F s
s
F s
s
5
2
1
1
1
9
=
=
=
+
d)
e)
f)
( )
( ) ( )( )( )
( )
( )
sF s
s
F s
s s s
sF s
s s
2
32
3 5
7
1
2 1 3
1
2
+
=
+
=
− + −
+
=
+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
xy y e
 y
y y y x
 y
 y
y y y sen x
 y
 y
5
2
' 5
0 2
'' 5 ' 2 4
0 1
' 0 4
'' 4 ' 8
0 1
' 0 0
 − =

=
 − − =
 =
 =
 + + =
 =
 =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
y y e
 y
 y
 y
y y
 y
 y
y y y e
 y
 y
''' '
0 0
' 0 1
'' 0 0
'' 6 7
0 1
' 0 0
'' 4 ' 4
0 0
' 0 1
−
 − =

=

=
 =
 + =
 =
 =
 + + =
 =
 =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
y y e
 y
 y
 y
y y
 y
 y
y y y e
 y
 y
''' '
0 0
' 0 1
'' 0 0
'' 6 7
0 1
' 0 0
''4 ' 4
0 0
' 0 1
−
 − =

=

=
 =
 + =
 =
 =
 + + =
 =
 =
a)
b)
c)
d)
e)
f)
24
CÁLCULO AVANÇADO: NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
R.: 
a) ( ) ( )( )x xy x e x e e5 5 5 51 5 1 5025
+= − + + +
b) ( ) ( )
( ) ( ) ( )x x
y x e x
e x x e
1/2
1/2 33 5 2 33
1 33 5
33
33 2 10 27 462 76 33 76 33 462
−
−
= −
 − − + + − + + 
 
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )x x xy x e x e x x e x2 2 21 69cos 2 7 sin cos 4 131sin65
−= + + − +
d) ( ) ( )( )x xy x e e x1 4 3 1 24
−= − + − +
e) ( ) ( )( )y x x1 7 cos 66= −
f) ( ) ( )x xy x e e2 1−= −