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Mat. 
 
 
Professore: PC 
Alex Amaral 
Monitor: Gabriela Teles 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Poliedros 
31 
ago 
 
RESUMO 
 
 
Poliedros 
 
São sólidos geométricos cujas superfícies são formadas apenas por polígonos planos(triângulos, 
 
 
 
 
Cálculo para quantidade de arestas de um poliedro. 
N=2A 
 
Onde: 
N=Número de faces 
A=Quantidade de arestas. 
 
Teorema da soma dos ângulos das faces dos poliedros convexos. 
 
S = 360°.(V-2) 
 
Onde: S é a soma dos ângulos internos das faces e V é a quantidade de vértices. 
 
Relação de Euler 
 
Em um poliedro podemos distinguir, faces, arestas e os vértices. Observe abaixo: 
 
 
 
 
A fórmula de Euler está atribuída à relação de dependência entre os elementos de um poliedro. A expressão 
matemática desenvolvida por Leonhard Euler, matemático suíço, é a seguinte: V A + F = 2. Onde:V = vértice; 
A= arestas;F = Faces. Essa expressão determina o número de faces, arestas e vértices de qualquer poliedro. 
Poliedros de platão. 
 
 
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Para que possa ser um poliedro de Platão, é necessário que o poliedro obedeça às seguintes disposições: 
a) todas as faces devem ter a mesma quantidade n de arestas; 
b) todos os vértices devem ser formados pela mesma quantidade m de arestas; 
 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
 
1. A base de uma pirâmide regular é um quadrado ABCD de lado 6 e diagonais AC e BD. A distância de 
seu vértice E ao plano que contém a base é 4. 
Determine a distância do ponto B ao plano que contém a face ADE. 
 
2. 
 
O poliedro acima, com exatamente trinta faces quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como um 
dado, em um jogo. Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que, ao ser lançado, cada 
face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada. Calcule: 
a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de 5, ao lançar esse dado uma única vez; 
b) o número de vértices do poliedro. 
 
 
3. Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao modelo apresentado na Figura 1, deverá ser descarregada 
no porto de uma cidade. Para isso, uma área retangular de 10 m por 32 m foi cedida para o 
empilhamento desses contêineres (Figura 2). 
 
 
 
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De acordo com as normas deste porto, os contêineres deverão ser empilhados de forma a não 
sobrarem espaços nem ultrapassarem a área delimitada. Após o empilhamento total da carga e 
atendendo à norma do porto, a altura mínima a ser atingida por essa pilha de contêineres é 
a) 12,5 m. 
b) 17,5 m. 
c) 25,0 m. 
d) 22,5 m. 
e) 32,5 m. 
 
4. Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-
o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui 
apenas faces quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face 
a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, respectivamente, o número 
de faces e o número de vértices do poliedro original, então: 
a) m = 9, n = 7 
b) m = n = 9 
c) m = 8, n = 10 
d) m = 10, n = 8 
e) m = 7, n = 9 
 
5. Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. 
As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo 
de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras. 
 
 
 
Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é 
uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois 
de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a: 
a) 7,0 m 
b) 6,3 m 
c) 4,9 m 
d) 2,1 m 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE CASA 
 
 
 
1. Indique quantas faces possuem, respectivamente, nessa ordem, os sólidos numerados como I, II, III e 
IV a seguir: 
 
a) 8, 6, 5, 6. 
b) 8, 6, 6, 5. 
c) 8, 5, 6, 6. 
d) 5, 8, 6, 6. 
e) 6, 18, 6, 5. 
 
2. Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas das figuras a seguir, obteremos três modelos de 
figuras espaciais cujos nomes são: 
 
 
a) tetraedro, octaedro e hexaedro. 
b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro. 
c) octaedro, prisma e hexaedro. 
d) pirâmide, tetraedro e hexaedro. 
e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro. 
 
3. O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui: 
a) 33 vértices e 22 arestas. 
b) 12 vértices e 11 arestas. 
c) 22 vértices e 11 arestas. 
d) 11 vértices e 22 arestas. 
e) 12 vértices e 22 arestas. 
 
4. Sobre as sentenças: 
I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. 
II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. 
III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. é correto afirmar que APENAS: 
 
a) I é verdadeira. 
b) II é verdadeira. 
c) III é verdadeira. 
d) I e II são verdadeiras. 
e) II e III são verdadeiras. 
 
 
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5. Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces 
quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma 
progressão aritmética. O número de arestas é: 
a) 10 
b) 17 
c) 20 
d) 22 
e) 23 
 
6. Em qual das alternativas está a planificação do cubo representado? 
 
 
a) 
 
d) 
 
b) 
 
e) 
 
c) 
 
 
 
7. Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número de vértices 
deste poliedro é: 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
8. A soma S das áreas das faces de um tetraedro regular em função de sua aresta é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO CONTEXTO 
 
 
 
As pirâmides do Egito antigo: 
Elas foram construídas há mais de 2500 anos e resistem até hoje. Cercadas de mistérios, despertam interesse 
de historiadores, arqueólogos e estudiosos de civilizações antigas. Como resistiram a tantos séculos? Que 
segredos guardavam dentro delas? Qual função religiosa exerciam na sociedade? 
 
A pirâmide tinha a função abrigar e proteger o corpo do faraó mumificado e seus pertences (jóias, objetos 
pessoais e outros bens materiais) dos saqueadores de túmulos. Logo, estas construções tinham de ser bem 
resistentes, protegidas e de difícil acesso. Os engenheiros, que deviam guardar os segredos de construção 
das pirâmides, planejavam armadilhas e acessos falsos dentro das contruções. Tudo era pensado para que o 
corpo mumificado do faraó e seus pertences não fossem acessados. 
As pirâmides foram construídas numa época em que os faraós exerciam máximo poder político, social e 
econômico no Egito Antigo. Quanto maior a pirâmide, maior seu poder e glória. Por isso, os faraós se 
preocupavam com a grandeza destas construções. Com mão-de-obra escrava, milhares muitas vezes, elas 
eram construídas com blocos de pedras que chegavam a pesar até duas toneladas. Para serem finalizadas, 
demoravam, muitas vezes, mais de 20 anos. Desta forma, ainda em vida, o faraó começava a planejar e 
executar a construção da pirâmide. 
A matemática foi muito empregada na construção das pirâmides. Conhecedores desta ciência, os arquitetos 
planejavam as construções de forma a obter o máximo de perfeição possível. As pedras eram cortadas e 
encaixadas de forma perfeita. Seus quatro lados eram desenhados e construídos de forma simétrica, fatores 
que explicam a preservação delas até os dias atuais. 
 
 
 
 
Determine quantas faces, arestas e vértices possui uma pirâmide. 
 
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GABARITO 
 
 
 
 
Exercícios de aula 
 
1. 4.8 
2. 
a) ½ b)32 
3. a 
4. b 
5. b 
 
 
Exercícios de casa 
 
1. a 
2. e 
3. e 
4. e 
5. c 
6. d 
7. e 
8. b 
 
 
Questão Contexto 
 
F=5, A= 8,V=5