Propriedades det.

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Propriedades
O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;
O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(AT);
Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;
Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;
Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;
Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A);
Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;
Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A;
Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);
Se A é invertível, então det(A−1) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0;
Se A é ortogonal, então det(A) = ±1.
As propriedades envolvendo determinantes facilitam o cálculo de seu valor em matrizes que se enquadram nessas condições. Observe as propriedades: 
1ª propriedade 
Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.
2ª propriedade 
Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.
3ª propriedade 
Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª e a 2ª linha.
4ª propriedade 
Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.
Os elementos da 1ª linha de P foram multiplicados por 2, então: det P’ = 2 * det P 
5ª propriedade 
Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn. 
det (k*A) = kn * det A 
6ª propriedade 
O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).
det R = ps -- qr 
det Rt = ps – rq 
7ª propriedade 
Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.
8ª propriedade 
O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal. 
Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
9ª propriedade 
Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet. 
10ª propriedade 
Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi.