EQUAÇÕES DIFERENCIAIS WEB II MODA 2022 2 KARLA ADRIANA

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS- WEBII
Msc.Profª.Karla Adriana
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª 
ORDEM
UNIDADE-2
Equações 
Diferenciais de 
primeira ordem 
• Separáveis;
Lineares;
Exatas;
Aplicações.
Equações Diferenciais Ordinárias- EDO
• Ordem de uma EDO:
• É a ordem da “maior” derivada que aparece na equação:
Ex:
a) xy’’ – y’ =1 , 2ª ordem
b) 3(y’)³ - 𝒚𝑰𝑽 , 4ª ordem
Equações Diferenciais Ordinárias- EDO
• Lineares e não- lineares:
• Lineares: y, y’, y’’, ..., 𝒚(𝒏) aparecem com expoente 1 e não 
aparecem produtos dessas variáveis. Caso contrário seriam não 
lineares.
Ex:
a) xy’’ – y’ =1 , linear
b) 3(y’)³ - 𝒚𝑰𝑽 , não- linear
c) y.y’ = 1 , não- linear
Solução de uma EDO
Ex1: Verificar se as funções são soluções da equação dada.
a) y’’ – y =0 ; y(x)= 𝒆𝒙, y(x) = senx
Solução:
p/ y(x)= 𝒆𝒙
Y’= 𝒆𝒙 , Y’’= 𝒆𝒙 𝒆𝒙- 𝒆𝒙= 0, é solução
p/ y(x) = senx
Y’= cosx
Y’’= -senx, -senx- senx ≠ 0, não é solução
Solução de uma EDO
Ex2: Para que valor de a, a equação y’ + 2 y =0 tem solução y(x)= 𝒆𝒂𝒙. 
Solução:
p/ y(x)= 𝒆𝒂𝒙
Y’= a𝒆𝒂𝒙 , 
a𝒆𝒂𝒙 + 2 𝒆𝒂𝒙 = 0 → a+ 2 = 0 → a= -2 
Equação Diferencial Ordinária de 1ª ordem.
Equação geral linear de 1ª ordem y’+ p(x)y= g(x)
Caso 1: p(x) =0
y’ = g(x)
y’= 2x → y=∫ 2x dx → y= x² +c
Caso 2: g(x)=0
Transformar o primeiro termo da equação, na derivada do produto 
entre duas funções
y’+ 2 y =0 ( 𝒆𝒂𝒙). a= p(x), a é um coeficiente constante
Equação Diferencial Ordinária de 1ª ordem.
a= 2 
y’+ 2 y =0 ( 𝒆𝟐𝒙) → 𝒆𝟐𝒙 y’+ 2 𝒆𝟐𝒙 y =0 
→ ∫ (𝒆𝟐𝒙 y)’dx=∫ 0 dx
→ 𝒆𝟐𝒙 y= c
y= c 𝒆−𝟐𝒙
Obs: A solução depende de uma constante. O conjunto de todas as 
soluções é chamada de família de soluções. 
Equação Diferencial Ordinária de 1ª ordem.
Resolver o problema de valor inicial PVI. Dada a equação:
y’+ 5 y = 0; y(0)= 3
y’+ 5 y =0 ( 𝒆𝟓𝒙) → 𝒆𝟓𝒙 y’+ 2 𝒆𝟓𝒙 y =0 
→ ∫ (𝒆𝟓𝒙 y)’dx=∫ 0 dx
→ 𝒆𝟓𝒙 y= c
y= c 𝒆−𝟓𝒙 → 3=c 𝒆−𝟓.𝟎 → c= 3, logo y = 3 𝒆−𝟓𝒙
Caso Geral y’+ p(x)y= g(x).
Utilizar o fator integrante U(x)= 𝒆∫𝒑 𝒙 𝒅𝒙. 
Ex: y’ -2xy =x
Solução:
y’- 2x y =x ( 𝒆∫−2x𝒅𝒙 ) → 𝒆−𝒙² y’- 2x 𝒆−𝒙² y =x 
→ ∫(𝒆−𝒙²y)’dx=∫ x 𝒆−𝒙² dx
→𝒆−𝒙²y= -
𝒆−𝒙²
𝟐
+ c
y= (-
𝒆−𝒙²
𝟐
+ c). 𝒆𝒙²
APLICAÇÕES DA EDO- CIRCUITOS ELÉTRICOS
•Estas podem ser reescritas de 
maneira a isolar as variáveis x 
e y (com seus diferenciais dx e 
dy) em lados opostos da 
equação. 
•Ex: Resolver a equação não-
linear 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒙−𝟓
𝒚²
•Solução:
•→ ∫y²dy=∫ x -5 dx 
• y= (3 
𝒙²
𝟐
- 15 x+ c) Τ𝟏 𝟑
•Equações
Separáveis
Aplicação EDO de 1ª ordem
(Decaimento radioativo)
O isótopo radioativo tório 234 desintegra-se
numa taxa proporcional a quantidade presente. Se
1000mg desse material são reduzidos a 82,04mg,
em 7dias. Encontre uma expressão para a
quantidade de tório em um tempo t qualquer.
Aplicação EDO de 1ª ordem
(Decaimento radioativo)
Solução:
Q(t) quantidade de tório no tempo t
𝒅𝒒
𝒅𝒕
= kq , →
𝒅𝒒
𝒒
= kdt
∫
𝒅𝒒
𝒒
= ∫ kdt , → lnq= kt +c, → q= 𝒆𝒌𝒕+𝒄 (duas
constantes
O isótopo radioativo tório 234 
desintegra-se numa taxa 
proporcional a quantidade 
presente. Se 1000mg desse 
material são reduzidos a 82,04mg, 
em 7dias. Encontre uma expressão 
para a quantidade de tório em um 
tempo t qualquer
Aplicação EDO de 1ª ordem
(Decaimento radioativo)
Solução:
Q(0)= 1000, q(7)= 82,04
q= 𝒆𝒌𝒕+𝒄 (duas constantes), q= 1000. 𝒆𝒌𝒕
𝒆𝒌𝟕=
𝟖𝟐,𝟎𝟒
𝟏𝟎𝟎𝟎
, 𝒆𝒌𝟕= 0,08204, 7k= ln 0,08204
K= ln 0,08204/7
Q(t)= 1000 𝒆−𝟎,𝟑𝟓𝟕𝟐𝒕
OBRIGADO(A)
NOME DO 
APRESENTADOR
CONTATOSCARGO