EQD - Apresentação - Aula 04

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Profª Dayane Perez Bravo
Equações Diferenciais
Aula 4
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Veremos nessa aula como utilizar séries de 
potência para desenvolver novas técnicas de 
resolução das equações diferenciais
Discutiremos sobre os métodos para 
resolução em torno de um ponto ordinário e 
em torno de um ponto singular
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Quando resolvemos EDO lineares com 
coeficientes variáveis, podemos obter 
soluções que podem ser uma combinação de 
funções elementares
As soluções em série são uma alternativa que 
utilizamos para expressar tais soluções
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Tema 1 – Revisão de série de potência
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Uma sequência numérica infinita é 
considerada uma função de valores discretos, 
cujo domínio são os números inteiros 
diferentes de zero 
Geralmente utilizamos como notação 
para indicar o termo geral da sequência. Por 
exemplo, 1 ² representa uma 
sequência cujo termo geral é .
Repare que podemos obter o -ésimo
elemento substituindo no valor de o termo 
desejado
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A série numérica infinita, por sua vez, é definida 
como sendo a soma dos termos de uma 
sequência numérica infinita. Nesse caso 
escrevemos
⋯ ⋯
Nem todas as séries são interessantes para o 
estudo de equações diferenciais, visto que 
algumas séries divergem
A convergência e a divergência da série indicam 
se a série se aproxima ou não de um certo valor 
dado
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Em outras palavras, quando representa um número 
real finito, dizemos que a série é convergente se
→
⋯ ⋯ 	
As séries de potência que veremos possuem o 
formato
⋯
onde os ′ são os coeficientes da série, e é sua 
variável
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A série de Taylor é dada por
onde 
!
. Ou seja, temos a série de Taylor da 
função centrada em :
!
⋯
!
⋯
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Se tomarmos , obtemos um caso 
particular da série de Taylor, a série de 
Maclaurin:
!
⋯
!
⋯
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Tema 2 – Solução em série – ponto 
ordinário
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Para uma EDO do tipo , 
dizemos que um ponto é ordinário quando 
Existe uma vizinhança de onde , pois 
é contínuo
Portanto nesse intervalo podemos reescrever a 
equação como 
onde e são 
funções contínuas
Para resolvê-la nessa vizinhança, iremos 
procurar por soluções do tipo 
⋯ ⋯
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Essa solução pode ser escrita como uma série
Essa série converge no intervalo , 
para um raio de convergência .
Para determinar os coeficientes dentro do 
intervalo, devemos substituir na equação 
inicial a série e suas derivadas
Veja a seguir um exemplo disso
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Seja a EDO . Podemos determinar uma 
série de potência em torno do ponto ordinário 
. Nesse caso, a solução em série será dada 
por ⋯ ⋯ ∑
Precisamos da primeira e segunda derivada de :
	 ⋯ ⋯ ∑
… ⋯ ∑
Exemplo de resolução
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Substituindo esses resultados na EDO original e 
deslocando o índice do primeiro somatório, 
temos: 
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Tema 3 – Soluções em série – ponto 
singular – parte I
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Em uma EDO do tipo , 
dizemos que um ponto é singular quando 
e, neste caso, ou ou é 
diferente de zero
Para que seja um ponto singular regular, é 
necessário que as funções e 
tenham séries de Taylor 
convergentes na vizinhança de .
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Vamos retomar o exemplo anterior dado pela 
EDO . 
Quando ela é escrita como ∑
e tomamos os coeficientes de 
x iguais a zero, temos a relação de 
recorrência , com 
0,1,2, …
Exemplo de resolução
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Seus coeficientes são determinados 
individualmente e podemos observar que os 
pares seguem uma sequência e os ímpares 
seguem outra
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Quando é par, temos 
!
com 
1,2,3,…
Quando é ímpar, temos 
!
com 1,2,3, …
Portanto a solução em série ∑ será
! !
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Após algumas manipulações convenientes, 
temos que ∑
!
∑
!
representa uma solução em série da equação 
particular , convergente para todo 
A primeira e segunda séries são séries de 
Taylor em torno de para 	 e 
	 , respectivamente
Portanto podemos escrever 	
	 onde e são determinados por 
meio dos dados da condição inicial
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Tema 4 – Soluções em série – ponto 
singular – parte II
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Para solucionar uma EDO do tipo 
	 em torno de um ponto 
singular regular, utilizamos 
Caso contrário, substituímos para 
que o ponto regular esteja na origem
Quando → , então e 
possuem expansões em séries de 
potências convergentes em uma vizinhança 
em torno da origem com 
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Tais expansões são dadas por
Dessa forma, se 
torna ⋯ ⋯
⋯ ⋯
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Tema 5 – Generalização dos métodos 
de segunda ordem – variação de 
parâmetros
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Iniciamos supondo uma solução inicial, por 
exemplo ∑
Após as devidas manipulações, podemos 
obter uma EDO solucionável via equação 
característica
Pela equação de recorrência, conseguimos 
encontrar .
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Substituímos as raízes da equação 
característica na equação de recorrência para 
obter soluções particulares
A solução geral é a combinação linear de 
ambas as soluções particulares, pelo 
princípio da superposição de soluções 
discutidas nas primeiras aulas
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Finalizando
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Com essa quarta aula, foi possível verificar a 
aplicação de séries de potência para 
resolução das equações diferenciais
Nas próximas aulas, veremos como resolver 
sistemas de equações diferenciais e como 
utilizar as séries de Fourier para resolver 
equações específicas
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