Vetor Gradiente de Funções Multivariáveis

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Análise Matemática para Engenharia II
(Cálculo II)
AULA 4: DIVERGENTE E ROTACIONAL
Prof. Alexandre Ramos
REVISÃO
1 – OPERADOR GRADIENTE
Seja uma função escalar f x, y, z . O vetor que aponta para a direção de maior variação de f em um ponto P é chamado
de vetor gradiente e é dado por:
∇𝑓 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)
𝑃
Exemplo: Determine o vetor gradiente da função: 
𝑎) 𝑓 = 2𝑥3 + 𝑥𝑦 − 𝑦2𝑧3 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
𝑏) 𝑓 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥4 + 𝑦𝑧) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 1)
𝑐) 𝑓 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦3𝑧2) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2,−1,−1)
𝑑) 𝑓 = 𝑧3𝑒𝑥𝑦 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
REVISÃO
∇𝑓 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)Exemplo: Determine o vetor gradiente da função: 
𝑎) 𝑓 = 2𝑥3 + 𝑥𝑦 − 𝑦2𝑧3 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
𝑏) 𝑓 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥4 + 𝑦𝑧) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 1)
𝑐) 𝑓 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦3𝑧2) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2,−1,−1)
𝑑) 𝑓 = 𝑧3𝑒𝑥𝑦 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 0, 2)
REVISÃO
∇𝑓 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)Exemplo: Determine o vetor gradiente da função: 
𝑎) 𝑓 = 2𝑥3 + 𝑥𝑦 − 𝑦2𝑧3 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
𝑏) 𝑓 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥4 + 𝑦𝑧) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 1)
𝑐) 𝑓 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦3𝑧2) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2,−1,−1)
𝑑) 𝑓 = 𝑧3𝑒𝑥𝑦 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 0, 2)
∇𝑓 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
REVISÃO
∇𝑓 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)Exemplo: Determine o vetor gradiente da função: 
𝑎) 𝑓 = 2𝑥3 + 𝑥𝑦 − 𝑦2𝑧3 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
𝑏) 𝑓 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥4 + 𝑦𝑧) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 1)
𝑐) 𝑓 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦3𝑧2) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2,−1,−1)
𝑑) 𝑓 = 𝑧3𝑒𝑥𝑦 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 0, 2)
∇𝑓 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
∇𝑓 = (5, 1, 0)
REVISÃO
∇𝑓 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)Exemplo: Determine o vetor gradiente da função: 
𝑎) 𝑓 = 2𝑥3 + 𝑥𝑦 − 𝑦2𝑧3 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
𝑏) 𝑓 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥4 + 𝑦𝑧) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 1)
𝑐) 𝑓 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦3𝑧2) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2,−1,−1)
𝑑) 𝑓 = 𝑧3𝑒𝑥𝑦 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 0, 2)
∇𝑓 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
∇𝑓 = (5, 1, 0)
∇𝑓 = (4𝑥3, 𝑧, 𝑦)𝐶𝑜𝑠 (𝑥4 + 𝑦𝑧)
REVISÃO
∇𝑓 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)Exemplo: Determine o vetor gradiente da função: 
𝑎) 𝑓 = 2𝑥3 + 𝑥𝑦 − 𝑦2𝑧3 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
𝑏) 𝑓 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥4 + 𝑦𝑧) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 1)
𝑐) 𝑓 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦3𝑧2) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2,−1,−1)
𝑑) 𝑓 = 𝑧3𝑒𝑥𝑦 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 0, 2)
∇𝑓 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
∇𝑓 = (5, 1, 0)
∇𝑓 = (4𝑥3, 𝑧, 𝑦)𝐶𝑜𝑠 (𝑥4 + 𝑦𝑧)
∇𝑓 = 4, 1, −1 cos(0) → ∇𝑓 = 4, 1, −1
REVISÃO
∇𝑓 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)Exemplo: Determine o vetor gradiente da função: 
𝑎) 𝑓 = 2𝑥3 + 𝑥𝑦 − 𝑦2𝑧3 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
𝑏) 𝑓 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥4 + 𝑦𝑧) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 1)
𝑐) 𝑓 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦3𝑧2) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2,−1,−1)
𝑑) 𝑓 = 𝑧3𝑒𝑥𝑦 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 0, 2)
∇𝑓 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
∇𝑓 = (5, 1, 0)
∇𝑓 = (4𝑥3, 𝑧, 𝑦)𝐶𝑜𝑠 (𝑥4 + 𝑦𝑧)
∇𝑓 = 4, 1, −1 cos(0) → ∇𝑓 = 4, 1, −1
∇𝑓 = (
𝑦3𝑧2
𝑥𝑦3𝑧2
,
3𝑥𝑦2𝑧2
𝑥𝑦3𝑧2
,
2𝑥𝑦3𝑧
𝑥𝑦3𝑧2
) → ∇𝑓 = (
1
𝑥
,
3
𝑦
,
2
𝑧
) →
REVISÃO
∇𝑓 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)Exemplo: Determine o vetor gradiente da função: 
𝑎) 𝑓 = 2𝑥3 + 𝑥𝑦 − 𝑦2𝑧3 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
𝑏) 𝑓 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥4 + 𝑦𝑧) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 1)
𝑐) 𝑓 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦3𝑧2) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2,−1,−1)
𝑑) 𝑓 = 𝑧3𝑒𝑥𝑦 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 0, 2)
∇𝑓 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
∇𝑓 = (5, 1, 0)
∇𝑓 = (4𝑥3, 𝑧, 𝑦)𝐶𝑜𝑠 (𝑥4 + 𝑦𝑧)
∇𝑓 = 4, 1, −1 cos(0) → ∇𝑓 = 4, 1, −1
∇𝑓 = (
𝑦3𝑧2
𝑥𝑦3𝑧2
,
3𝑥𝑦2𝑧2
𝑥𝑦3𝑧2
,
2𝑥𝑦3𝑧
𝑥𝑦3𝑧2
) → ∇𝑓 = (
1
𝑥
,
3
𝑦
,
2
𝑧
) →
∇𝑓 = (−
1
2
,−3,−2)
REVISÃO
∇𝑓 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)Exemplo: Determine o vetor gradiente da função: 
𝑎) 𝑓 = 2𝑥3 + 𝑥𝑦 − 𝑦2𝑧3 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
𝑏) 𝑓 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥4 + 𝑦𝑧) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 1)
𝑐) 𝑓 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦3𝑧2) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2,−1,−1)
𝑑) 𝑓 = 𝑧3𝑒𝑥𝑦 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 0, 2)
∇𝑓 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
∇𝑓 = (5, 1, 0)
∇𝑓 = (4𝑥3, 𝑧, 𝑦)𝐶𝑜𝑠 (𝑥4 + 𝑦𝑧)
∇𝑓 = 4, 1, −1 cos(0) → ∇𝑓 = 4, 1, −1
∇𝑓 = (
𝑦3𝑧2
𝑥𝑦3𝑧2
,
3𝑥𝑦2𝑧2
𝑥𝑦3𝑧2
,
2𝑥𝑦3𝑧
𝑥𝑦3𝑧2
) → ∇𝑓 = (
1
𝑥
,
3
𝑦
,
2
𝑧
) →
∇𝑓 = (−
1
2
,−3,−2)
∇𝑓 = (𝑦𝑧3, 𝑥𝑧3, 3𝑧2)𝑒𝑥𝑦
REVISÃO
∇𝑓 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)Exemplo: Determine o vetor gradiente da função: 
𝑎) 𝑓 = 2𝑥3 + 𝑥𝑦 − 𝑦2𝑧3 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
𝑏) 𝑓 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥4 + 𝑦𝑧) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 1)
𝑐) 𝑓 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦3𝑧2) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2,−1,−1)
𝑑) 𝑓 = 𝑧3𝑒𝑥𝑦 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 0, 2)
∇𝑓 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
∇𝑓 = (5, 1, 0)
∇𝑓 = (4𝑥3, 𝑧, 𝑦)𝐶𝑜𝑠 (𝑥4 + 𝑦𝑧)
∇𝑓 = 4, 1, −1 cos(0) → ∇𝑓 = 4, 1, −1
∇𝑓 = (
𝑦3𝑧2
𝑥𝑦3𝑧2
,
3𝑥𝑦2𝑧2
𝑥𝑦3𝑧2
,
2𝑥𝑦3𝑧
𝑥𝑦3𝑧2
) → ∇𝑓 = (
1
𝑥
,
3
𝑦
,
2
𝑧
) →
∇𝑓 = (−
1
2
,−3,−2)
∇𝑓 = (𝑦𝑧3, 𝑥𝑧3, 3𝑧2)𝑒𝑥𝑦
∇𝑓 = (0, 8, 12)𝑒0
∇𝑓 = (0, 8, 12)
REVISÃO
2 – DERIVADA DIRECIONAL
A taxa de variação de uma função escalar f x, y, z em uma dada direção Ԧ𝑣 e ponto P é chamada de derivada direcional
e é definida como:
𝜕𝑓
𝜕 Ԧ𝑣
= ∇𝑓.
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
𝑃
Ԧ𝑣
Exemplo: Determine a derivada direcional da função: 
𝑎) 𝑓 = 2𝑥3𝑦𝑧3 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 2 , 1, 2 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 2, 1)
𝑏) 𝑓 = 𝑥𝑦3𝑧 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 2, −2, 1 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2, 1, −2)
𝑐) 𝑓 =
𝑥
𝑦2𝑧3
𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 (3,4,0) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−1, 1, −1)
𝑑) 𝑓 = 𝑥𝑦𝑧3 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 1, 1, 1 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
REVISÃO
Exemplo: Determine a derivada direcional da função: 
𝑎) 𝑓 = 2𝑥3𝑦𝑧3 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 2 , 1, 2 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 2, 1) 𝑏) 𝑓 = 𝑥𝑦3𝑧 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 2, −2, 1 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2, 1, −2)
REVISÃO
Exemplo: Determine a derivada direcional da função: 
𝑎) 𝑓 = 2𝑥3𝑦𝑧3 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 2 , 1, 2 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 2, 1) 𝑏) 𝑓 = 𝑥𝑦3𝑧 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 2, −2, 1 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2, 1, −2)
∇𝑓 = (6𝑥2𝑦𝑧3, 2𝑥3𝑧3, 6𝑥3𝑦𝑧2)
∇𝑓 = (12, 2, 12)
Ԧ𝑣 = 4 + 1 + 4 = 3
𝜕𝑓
𝜕 Ԧ𝑣
= 12, 2, 12 .
(2, 1, 2)
3
𝜕𝑓
𝜕 Ԧ𝑣
=
24 + 2 + 24)
3
𝜕𝑓
𝜕 Ԧ𝑣
=
50
3
REVISÃO
Exemplo: Determine a derivada direcional da função: 
𝑐) 𝑓 =
𝑥
𝑦2𝑧3
𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 (3,4,0) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−1, 1, −1) 𝑑) 𝑓 = 𝑥𝑦𝑧3 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 1, 1, 1 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
REVISÃO
Exemplo: Determine a derivada direcional da função: 
𝑐) 𝑓 =
𝑥
𝑦2𝑧3
𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 (3,4,0) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−1, 1, −1) 𝑑) 𝑓 = 𝑥𝑦𝑧3 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 1, 1, 1 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
∇𝑓 = (
1
𝑦2𝑧3
, −
2𝑥
𝑦3𝑧3
, −
3𝑥
𝑦2𝑧4
)
∇𝑓 = (−1,−2, 3)
Ԧ𝑣 = 9 + 16 + 0 = 5
𝜕𝑓
𝜕 Ԧ𝑣
= −1,−2, 3 .
(3, 4, 0)
5
𝜕𝑓
𝜕 Ԧ𝑣
=
−3 − 8 + 0)
5
𝜕𝑓
𝜕 Ԧ𝑣
= −
11
5
REVISÃO
Exemplo: Determine a derivada direcional da função: 
𝑐) 𝑓 =
𝑥
𝑦2𝑧3
𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 (3,4,0) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−1, 1, −1) 𝑑) 𝑓 = 𝑥𝑦𝑧3 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 1, 1, 1 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −1, 0)
∇𝑓 = (
1
𝑦2𝑧3
, −
2𝑥
𝑦3𝑧3
, −
3𝑥
𝑦2𝑧4
)
∇𝑓 = (−1,−2, 3)
Ԧ𝑣 = 9 + 16 + 0 = 5
𝜕𝑓
𝜕 Ԧ𝑣
= −1,−2, 3 .
(3, 4, 0)
5
∇𝑓 = (𝑦𝑧3, 𝑥𝑧3, 3𝑥𝑦𝑧2)
∇𝑓 = (0, −1, 0)
Ԧ𝑣 = 1 + 1 + 1 = 3
𝜕𝑓
𝜕 Ԧ𝑣
= 0,−1, 0 .
(1, 1, 1)
3
𝜕𝑓
𝜕 Ԧ𝑣
=
0 − 1 + 0
3
𝜕𝑓
𝜕 Ԧ𝑣
= −
1
3
= −
3
3
𝜕𝑓
𝜕 Ԧ𝑣
=
−3 − 8 + 0)
5
𝜕𝑓
𝜕 Ԧ𝑣
= −
11
5
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- O divergente de uma função vetorial Ԧ𝐹 determina o grau de divergência de Ԧ𝐹 no ponto P.
- O divergente é um valor escalar, sendo que se for positivo indica divergência de Ԧ𝐹 e se for negativo indica convergência de
Ԧ𝐹.
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- O divergente de uma função vetorial Ԧ𝐹 determina o grau de divergência de Ԧ𝐹 no ponto P.
- O divergente é um valor escalar, sendo que se for positivo indica divergência de Ԧ𝐹 e se for negativo indica convergência de
Ԧ𝐹.
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 > 0
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- O divergente de uma função vetorial Ԧ𝐹 determina o grau de divergênciade Ԧ𝐹 no ponto P.
- O divergente é um valor escalar, sendo que se for positivo indica divergência de Ԧ𝐹 e se for negativo indica convergência de
Ԧ𝐹.
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 > 0 𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 < 0
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- O divergente de uma função vetorial Ԧ𝐹 determina o grau de divergência de Ԧ𝐹 no ponto P.
- O divergente é um valor escalar, sendo que se for positivo indica divergência de Ԧ𝐹 e se for negativo indica convergência de
Ԧ𝐹.
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 > 0 𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 < 0 𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 0
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- O divergente de uma função vetorial Ԧ𝐹 determina o grau de divergência de Ԧ𝐹 no ponto P.
- O divergente é um valor escalar, sendo que se for positivo indica divergência de Ԧ𝐹 e se for negativo indica convergência de
Ԧ𝐹.
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 > 0 𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 < 0 𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 0 𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 0
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- O cálculo do divergente de uma função vetorial Ԧ𝐹 = (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) é feito pelo produto escalar entre o operador nabla (𝛻) e a
função Ԧ𝐹.
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- O cálculo do divergente de uma função vetorial Ԧ𝐹 = (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) é feito pelo produto escalar entre o operador nabla (𝛻) e a
função Ԧ𝐹.
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 𝛻. Ԧ𝐹
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- O cálculo do divergente de uma função vetorial Ԧ𝐹 = (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) é feito pelo produto escalar entre o operador nabla (𝛻) e a
função Ԧ𝐹.
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 𝛻. Ԧ𝐹
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
. (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- O cálculo do divergente de uma função vetorial Ԧ𝐹 = (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) é feito pelo produto escalar entre o operador nabla (𝛻) e a
função Ԧ𝐹.
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 𝛻. Ԧ𝐹
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
. (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3)
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝜕𝐹1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐹2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐹3
𝜕𝑧
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o divergente da função Ԧ𝐹.
a) Ԧ𝐹 = 2𝑥3𝑦, 𝑦2 + 𝑥𝑧3, 𝑥2𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 2, −1)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o divergente da função Ԧ𝐹.
a) Ԧ𝐹 = 2𝑥3𝑦, 𝑦2 + 𝑥𝑧3, 𝑥2𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 2, −1)
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝜕𝐹1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐹2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐹3
𝜕𝑧
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 6𝑥2𝑦 + 2y + 𝑥2𝑦
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 6. (1)2 . 2 + 2.2 + 1 2(2)
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 12 + 4 + 2
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 18
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o divergente da função Ԧ𝐹.
a) Ԧ𝐹 = 2𝑥3𝑦, 𝑦2 + 𝑥𝑧3, 𝑥2𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 2, −1)
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝜕𝐹1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐹2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐹3
𝜕𝑧
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 6𝑥2𝑦 + 2y + 𝑥2𝑦
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 6. (1)2 . 2 + 2.2 + 1 2(2)
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 12 + 4 + 2
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 18
𝑏) Ԧ𝐹 =
2
𝑥2𝑦
,−
1
𝑥2𝑦3𝑧
,
1
𝑥𝑧
𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−1, 2, 1)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o divergente da função Ԧ𝐹.
a) Ԧ𝐹 = 2𝑥3𝑦, 𝑦2 + 𝑥𝑧3, 𝑥2𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, 2, −1)
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝜕𝐹1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐹2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐹3
𝜕𝑧
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 6𝑥2𝑦 + 2y + 𝑥2𝑦
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 6. (1)2 . 2 + 2.2 + 1 2(2)
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 12 + 4 + 2
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 18
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝜕𝐹1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐹2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐹3
𝜕𝑧
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = −
4
𝑥3𝑦
+
3
𝑥2𝑦4𝑧
−
1
𝑥𝑧2
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = −
4
−1 3. 2
+
3
−1 2 2 4. 1
+ 1
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 2 +
3
16
+ 1
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
51
16
𝑏) Ԧ𝐹 =
2
𝑥2𝑦
,−
1
𝑥2𝑦3𝑧
,
1
𝑥𝑧
𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−1, 2, 1)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o divergente da função Ԧ𝐹.
c) Ԧ𝐹 = 𝐿𝑛 𝑥𝑦𝑧 , 𝐿𝑛 𝑥𝑦2𝑧 , 𝐿𝑛(𝑥𝑦𝑧3) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (2, −1,−1)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o divergente da função Ԧ𝐹.
c) Ԧ𝐹 = 𝐿𝑛 𝑥𝑦𝑧 , 𝐿𝑛 𝑥𝑦2𝑧 , 𝐿𝑛(𝑥𝑦𝑧3) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (2, −1,−1)
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝜕𝐹1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐹2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐹3
𝜕𝑧
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝑦𝑧
𝑥𝑦𝑧
+
2𝑥𝑦𝑧
𝑥𝑦2𝑧
+
3𝑥𝑦𝑧2
𝑥𝑦𝑧3
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = −
9
2
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
1
𝑥
+
2
𝑦
+
3
𝑧
→ 𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
1
2
+
2
−1
+
3
−1
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
1
2
− 2 − 3 → 𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
1
2
− 5
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o divergente da função Ԧ𝐹.
c) Ԧ𝐹 = 𝐿𝑛 𝑥𝑦𝑧 , 𝐿𝑛 𝑥𝑦2𝑧 , 𝐿𝑛(𝑥𝑦𝑧3) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (2, −1,−1)
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝜕𝐹1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐹2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐹3
𝜕𝑧
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝑦𝑧
𝑥𝑦𝑧
+
2𝑥𝑦𝑧
𝑥𝑦2𝑧
+
3𝑥𝑦𝑧2
𝑥𝑦𝑧3
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = −
9
2
𝑑) Ԧ𝐹 = 𝑠𝑒𝑛 𝑦2𝑧 , cos 𝑥23𝑧 , tg(𝑥𝑦) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−1, 2, 1)
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
1
𝑥
+
2
𝑦
+
3
𝑧
→ 𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
1
2
+
2
−1
+
3
−1
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
1
2
− 2 − 3 → 𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
1
2
− 5
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o divergente da função Ԧ𝐹.
c) Ԧ𝐹 = 𝐿𝑛 𝑥𝑦𝑧 , 𝐿𝑛 𝑥𝑦2𝑧 , 𝐿𝑛(𝑥𝑦𝑧3) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (2, −1,−1)
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝜕𝐹1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐹2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐹3
𝜕𝑧
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝑦𝑧
𝑥𝑦𝑧
+
2𝑥𝑦𝑧
𝑥𝑦2𝑧
+
3𝑥𝑦𝑧2
𝑥𝑦𝑧3
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = −
9
2
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
𝜕𝐹1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐹2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐹3
𝜕𝑧
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 = 0
𝑑) Ԧ𝐹 = 𝑠𝑒𝑛 𝑦2𝑧 , cos 𝑥23𝑧 , tg(𝑥𝑦) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (−1, 2, 1)
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
1
𝑥
+
2
𝑦
+
3
𝑧
→ 𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
1
2
+
2
−1
+
3
−1
𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
1
2
− 2 − 3 → 𝑑𝑖𝑣 Ԧ𝐹 =
1
2
− 5
DIVERGENTE E ROTACIONAL
2) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- O rotacional de uma função vetorial Ԧ𝐹 determina o grau de rotação de Ԧ𝐹 ao redor do ponto P.
- O rotacional é um valor vetorial, logo determina o vetor momento (torque) da função Ԧ𝐹 no ponto P.
DIVERGENTE E ROTACIONAL
2) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- O rotacional de uma função vetorial Ԧ𝐹 determina o grau de rotação de Ԧ𝐹 ao redor do ponto P.
- O rotacional é um valor vetorial, logo determina o vetor momento (torque) da função Ԧ𝐹 no ponto P.
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 = 0
DIVERGENTE E ROTACIONAL
2) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- O rotacional de uma função vetorial Ԧ𝐹 determina o grau de rotação de Ԧ𝐹 ao redor do ponto P.
- O rotacional é um valor vetorial, logo determina o vetor momento (torque) da função Ԧ𝐹 no ponto P.
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 = 0 𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 = 0
DIVERGENTE E ROTACIONAL
2) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- O rotacional de uma função vetorial Ԧ𝐹 determina o grau de rotação de Ԧ𝐹 ao redor do ponto P.
- O rotacional é um valor vetorial, logo determina o vetor momento (torque) da função Ԧ𝐹 no ponto P.
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 = 0 𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 = 0 𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 = 0
DIVERGENTE E ROTACIONAL
2) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- O rotacional de uma função vetorial Ԧ𝐹 determina o grau de rotação de Ԧ𝐹 ao redor do ponto P.
- O rotacional é um valor vetorial, logo determina o vetor momento (torque) da função Ԧ𝐹 no ponto P.
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 = 0 𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 = 0 𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 = 0 𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 ≠ 0
DIVERGENTE E ROTACIONAL
2) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- O cálculo do rotacional de uma função vetorial Ԧ𝐹 = (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) é feito pelo produto vetorial entre o operador nabla (𝛻) e a
função Ԧ𝐹.
DIVERGENTE E ROTACIONAL
2) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- O cálculo do rotacional de uma função vetorial Ԧ𝐹 = (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) é feito pelo produto vetorial entre o operador nabla (𝛻) e a
função Ԧ𝐹.
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 = 𝛻 𝑋 Ԧ𝐹
DIVERGENTE E ROTACIONAL
2) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- O cálculo do rotacional de uma função vetorial Ԧ𝐹 = (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) é feito pelo produto vetorial entre o operador nabla (𝛻) e a
função Ԧ𝐹.
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 = 𝛻 𝑋 Ԧ𝐹
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
X (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
2) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- O cálculo do rotacional de uma função vetorial Ԧ𝐹 = (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) é feito pelo produto vetorial entre o operador nabla (𝛻) e a
função Ԧ𝐹.
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 = 𝛻 𝑋 Ԧ𝐹
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
X (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3)
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐹1 𝐹2 𝐹3
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
a) Ԧ𝐹 = 2𝑥3𝑦, 𝑥𝑦2𝑧3, 𝑥2𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 2, −1)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
a) Ԧ𝐹 = 2𝑥3𝑦, 𝑥𝑦2𝑧3, 𝑥2𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 2, −1)
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐹1 𝐹2 𝐹3
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
a) Ԧ𝐹 = 2𝑥3𝑦, 𝑥𝑦2𝑧3, 𝑥2𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 2, −1)
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐹1 𝐹2 𝐹3
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥3𝑦 𝑥𝑦2𝑧3 𝑥2𝑦𝑧
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
a) Ԧ𝐹 = 2𝑥3𝑦, 𝑥𝑦2𝑧3, 𝑥2𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 2, −1)
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐹1 𝐹2 𝐹3
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥3𝑦 𝑥𝑦2𝑧3 𝑥2𝑦𝑧
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
2𝑥3𝑦 𝑥𝑦2𝑧3
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
a) Ԧ𝐹 = 2𝑥3𝑦, 𝑥𝑦2𝑧3, 𝑥2𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 2, −1)
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐹1 𝐹2 𝐹3
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥3𝑦 𝑥𝑦2𝑧3 𝑥2𝑦𝑧
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
2𝑥3𝑦 𝑥𝑦2𝑧3
𝑟𝑜𝑡 F = 𝑥2𝑧Ԧ𝑖 + 0Ԧ𝑗 + 𝑦2𝑧3𝑘
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
a) Ԧ𝐹 = 2𝑥3𝑦, 𝑥𝑦2𝑧3, 𝑥2𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 2, −1)
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐹1 𝐹2 𝐹3
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥3𝑦 𝑥𝑦2𝑧3 𝑥2𝑦𝑧
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
2𝑥3𝑦 𝑥𝑦2𝑧3
𝑟𝑜𝑡 F = 𝑥2𝑧Ԧ𝑖 + 0Ԧ𝑗 + 𝑦2𝑧3𝑘 − 2𝑥𝑦𝑧Ԧ𝑗 − 3𝑥𝑦2𝑧2Ԧ𝑖 − 2𝑥3𝑘
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
a) Ԧ𝐹 = 2𝑥3𝑦, 𝑥𝑦2𝑧3, 𝑥2𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 2, −1)
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐹1 𝐹2 𝐹3
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥3𝑦 𝑥𝑦2𝑧3 𝑥2𝑦𝑧
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
2𝑥3𝑦 𝑥𝑦2𝑧3
𝑟𝑜𝑡 F = 𝑥2𝑧Ԧ𝑖 + 0Ԧ𝑗 + 𝑦2𝑧3𝑘 − 2𝑥𝑦𝑧Ԧ𝑗 − 3𝑥𝑦2𝑧2Ԧ𝑖 − 2𝑥3𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = (𝑥2𝑧 − 3𝑥𝑦2𝑧2)Ԧ𝑖 + (0 − 2𝑥𝑦𝑧)Ԧ𝑗 + (𝑦2𝑧3 − 2𝑥3)𝑘
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
a) Ԧ𝐹 = 2𝑥3𝑦, 𝑥𝑦2𝑧3, 𝑥2𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 2, −1)
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐹1 𝐹2 𝐹3
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥3𝑦 𝑥𝑦2𝑧3 𝑥2𝑦𝑧
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
2𝑥3𝑦 𝑥𝑦2𝑧3
𝑟𝑜𝑡 F = 𝑥2𝑧Ԧ𝑖 + 0Ԧ𝑗 + 𝑦2𝑧3𝑘 − 2𝑥𝑦𝑧Ԧ𝑗 − 3𝑥𝑦2𝑧2Ԧ𝑖 − 2𝑥3𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = (𝑥2𝑧 − 3𝑥𝑦2𝑧2)Ԧ𝑖 + (0 − 2𝑥𝑦𝑧)Ԧ𝑗 + (𝑦2𝑧3 − 2𝑥3)𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = (0 − 0)Ԧ𝑖 + (0 − 0)Ԧ𝑗 + (−4 − 0)𝑘
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) DIVERGENTE (𝒅𝒊𝒗𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
a) Ԧ𝐹 = 2𝑥3𝑦, 𝑥𝑦2𝑧3, 𝑥2𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 2, −1)
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐹1 𝐹2 𝐹3
𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥3𝑦 𝑥𝑦2𝑧3 𝑥2𝑦𝑧
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
2𝑥3𝑦 𝑥𝑦2𝑧3
𝑟𝑜𝑡 F = 𝑥2𝑧Ԧ𝑖 + 0Ԧ𝑗 + 𝑦2𝑧3𝑘 − 2𝑥𝑦𝑧Ԧ𝑗 − 3𝑥𝑦2𝑧2Ԧ𝑖 − 2𝑥3𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = (𝑥2𝑧 − 3𝑥𝑦2𝑧2)Ԧ𝑖 + (0 − 2𝑥𝑦𝑧)Ԧ𝑗 + (𝑦2𝑧3 − 2𝑥3)𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = (0 − 0)Ԧ𝑖 + (0 − 0)Ԧ𝑗 + (−4 − 0)𝑘
𝒓𝒐𝒕 𝑭 = (𝟎, 𝟎 − 𝟒)
𝑟𝑜𝑡 F = 0Ԧ𝑖 + 0Ԧ𝑗 − 4𝑘
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
𝑏) Ԧ𝐹 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
𝑏) Ԧ𝐹 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
6𝑥2 + 𝑦 𝑥 − 2𝑦𝑧3 −3𝑦2𝑧2
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
𝑏) Ԧ𝐹 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
6𝑥2 + 𝑦 𝑥 − 2𝑦𝑧3 −3𝑦2𝑧2
𝑟𝑜𝑡 F = −6𝑦𝑧2 + 6𝑦𝑧2 Ԧ𝑖 + 0 + 0 Ԧ𝑗 + 1 − 1 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = −6𝑦𝑧2 + 6𝑦𝑧2, 0, 0 = (0,0,0)
𝑟𝑜𝑡 F = −6𝑦𝑧2 + 6𝑦𝑧2 Ԧ𝑖
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
𝑏) Ԧ𝐹 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
6𝑥2 + 𝑦 𝑥 − 2𝑦𝑧3 −3𝑦2𝑧2
𝑟𝑜𝑡 F = −6𝑦𝑧2 + 6𝑦𝑧2 Ԧ𝑖 + 0 + 0 Ԧ𝑗 + 1 − 1 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = −6𝑦𝑧2 + 6𝑦𝑧2, 0, 0 = (0,0,0)
𝑟𝑜𝑡 F = −6𝑦𝑧2 + 6𝑦𝑧2 Ԧ𝑖
𝑐) Ԧ𝐹 = 𝑦𝑒𝑥𝑧, 𝑧𝑒𝑥𝑦 , 𝑥𝑒𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 0, 1)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
𝑏) Ԧ𝐹 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
6𝑥2 + 𝑦 𝑥 − 2𝑦𝑧3 −3𝑦2𝑧2
𝑟𝑜𝑡 F = −6𝑦𝑧2 + 6𝑦𝑧2 Ԧ𝑖 + 0 + 0 Ԧ𝑗 + 1 − 1 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = −6𝑦𝑧2 + 6𝑦𝑧2, 0, 0 = (0,0,0)
𝑟𝑜𝑡 F = −6𝑦𝑧2 + 6𝑦𝑧2 Ԧ𝑖
𝑐) Ԧ𝐹 = 𝑦𝑒𝑥𝑧, 𝑧𝑒𝑥𝑦 , 𝑥𝑒𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 0, 1)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑦𝑒𝑥𝑧 𝑧𝑒𝑥𝑦 𝑥𝑒𝑦𝑧
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
𝑏) Ԧ𝐹 = (6𝑥2 + 𝑦, 𝑥 − 2𝑦𝑧3, −3𝑦2𝑧2)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
6𝑥2 + 𝑦 𝑥 − 2𝑦𝑧3 −3𝑦2𝑧2
𝑟𝑜𝑡 F = −6𝑦𝑧2 + 6𝑦𝑧2 Ԧ𝑖 + 0 + 0 Ԧ𝑗 + 1 − 1 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = −6𝑦𝑧2 + 6𝑦𝑧2, 0, 0 = (0,0,0)
𝑟𝑜𝑡 F = −6𝑦𝑧2 + 6𝑦𝑧2 Ԧ𝑖
𝑐) Ԧ𝐹 = 𝑦𝑒𝑥𝑧, 𝑧𝑒𝑥𝑦 , 𝑥𝑒𝑦𝑧 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 0, 1)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑦𝑒𝑥𝑧 𝑧𝑒𝑥𝑦 𝑥𝑒𝑦𝑧
𝑟𝑜𝑡 F = 𝑥𝑧𝑒𝑦𝑧 − 𝑒𝑥𝑦 Ԧ𝑖 + 𝑦𝑥𝑒𝑥𝑧 − 𝑒𝑦𝑧 Ԧ𝑗 + 𝑧𝑦𝑒𝑥𝑦 − 𝑒𝑥𝑧 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = 0 − 1 Ԧ𝑖 + 0 − 1 Ԧ𝑗 + 0 − 1 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = (−1 , −1 ,−1)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
𝑑) Ԧ𝐹 = (4𝑦3 + 2𝑧, 𝑧 + 𝑥, 2𝑦 − 𝑥)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
𝑑) Ԧ𝐹 = (4𝑦3 + 2𝑧, 𝑧 + 𝑥, 2𝑦 − 𝑥)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
4𝑦3 + 2𝑧 𝑧 + 𝑥 2𝑦 − 𝑥
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
𝑑) Ԧ𝐹 = (4𝑦3 + 2𝑧, 𝑧 + 𝑥, 2𝑦 − 𝑥)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
4𝑦3 + 2𝑧 𝑧 + 𝑥 2𝑦 − 𝑥
𝑟𝑜𝑡 F = 2 − 1 Ԧ𝑖 + 2 + 1 Ԧ𝑗 + 1 − 2 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = 1 Ԧ𝑖 + 3 Ԧ𝑗 + −1 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = (1, 3, −1)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
𝑑) Ԧ𝐹 = (4𝑦3 + 2𝑧, 𝑧 + 𝑥, 2𝑦 − 𝑥)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
4𝑦3 + 2𝑧 𝑧 + 𝑥 2𝑦 − 𝑥
𝑟𝑜𝑡 F = 2 − 1 Ԧ𝑖 + 2 + 1 Ԧ𝑗 + 1 − 2 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = 1 Ԧ𝑖 + 3 Ԧ𝑗 + −1 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = (1, 3, −1)
𝑒) Ԧ𝐹 = (
1
𝐿𝑛(𝑥2)
, −
3
𝑠𝑒𝑛(𝑦)
, −
2𝑧
cos(𝑧3)
)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
𝑑) Ԧ𝐹 = (4𝑦3 + 2𝑧, 𝑧 + 𝑥, 2𝑦 − 𝑥)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
4𝑦3 + 2𝑧 𝑧 + 𝑥 2𝑦 − 𝑥
𝑟𝑜𝑡 F = 2 − 1 Ԧ𝑖 + 2 + 1 Ԧ𝑗 + 1 − 2 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = 1 Ԧ𝑖 + 3 Ԧ𝑗 + −1 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = (1, 3, −1)
𝑒) Ԧ𝐹 = (
1
𝐿𝑛(𝑥2)
, −
3
𝑠𝑒𝑛(𝑦)
, −
2𝑧
cos(𝑧3)
)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
1
𝐿𝑛(𝑥2)
−
3
𝑠𝑒𝑛(𝑦)
−
2
cos(𝑧3)
DIVERGENTE E ROTACIONAL
1) ROTACIONAL (𝒓𝒐𝒕𝑭)
- Exemplo: Determine o rotacional da função Ԧ𝐹.
𝑑) Ԧ𝐹 = (4𝑦3 + 2𝑧, 𝑧 + 𝑥, 2𝑦 − 𝑥)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
4𝑦3 + 2𝑧 𝑧 + 𝑥 2𝑦 − 𝑥
𝑟𝑜𝑡 F = 2 − 1 Ԧ𝑖 + 2 + 1 Ԧ𝑗 + 1 − 2 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = 1 Ԧ𝑖 + 3 Ԧ𝑗 + −1 𝑘
𝑟𝑜𝑡 F = (1, 3, −1)
𝑒) Ԧ𝐹 = (
1
𝐿𝑛(𝑥2)
, −
3
𝑠𝑒𝑛(𝑦)
, −
2𝑧
cos(𝑧3)
)
𝑟𝑜𝑡 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
1
𝐿𝑛(𝑥2)
−
3
𝑠𝑒𝑛(𝑦)
−
2
cos(𝑧3)
𝑟𝑜𝑡 F = (0, 0, 0)
FIM