laplace_convolução

Prévia do material em texto

Exercícios sobre transformada de Laplace envolvendo
convolução
Exercício 1
Encontre a transformada de Laplace da função
f(t) =
∫ t
0
e−(t−τ) sen(τ)dτ.
Observe que f(t) é a integral de convolução de duas funções g(t) = e−t e h(t) = sen(t),
então a transformada de Laplace da função f(t) pode ser resolvida utilizando o teorema
da convolução.
Temos que,
L{f(t)} = L
{∫ t
0
g(t− τ)h(τ)dτ
}
= G(s)H(s)
sendo G(s) = L{g(t)} e H(s) = L{h(t)}.
Dessa forma,
L{f(t)} = 1
s+ 1
1
s2 + 1
=
1
(s+ 1)(s2 + 1)
.
Exercício 2
Encontre a transformada inversa de Laplace da função
F (s) =
s
(s+ 1)(s2 + 4)
.
Sabemos que L−1{G(s)H(s)} =
∫ t
0
g(t− τ)h(τ)dτ . Note que,
F (s) =
1
s+ 1
s
s2 + 4
.
Tomando
G(s) =
1
s+ 1
e H(s) =
s
s2 + 4
,
temos g(t) = L−1{G(s)} = e−t e h(t) = L−1{H(s)} = cos(2t).
Assim,
L−1{F (s)} =
∫ t
0
e−(t−τ) cos(2τ)dτ =
2
5
sen(2t) +
1
5
cos(2t)− 1
5
e−t.
Exercício 3
Resolva o PVI
4y′′ + 4y′ + 17y = g(t), y(0) = 0, y′(0) = 0.
Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados desta equação diferencial,
temos
L{4y′′ + 4y′ + 17y} = L{g(t)} ⇒
1
4L{y′′}+ 4L{y′}+ 17L{y} = L{g(t)}.
Sabemos que
L{y′′} = s2L{y} − sy(0)− y′(0) = s2L{y},
L{y′} = sL{y} − y(0) = sL{y},
L{g(t)} = G(s).
Assim,
L{y}(4s2 + 4s+ 17) = G(s)⇒
L{y} = G(s)
4s2 + 4s+ 17
=
G(s)
4(s2 + s+ 17
4
)
=
G(s)
4(s2 + s+ 17
4
+ 1
4
− 1
4
)
=
G(s)
4[(s+ 1
2
)2 + 4]
.
Queremos determinar y,para isso aplicamos a transformada de Laplace inversa
y = L−1{L{y}} = L−1
{
G(s)
4[(s+ 1
2
)2 + 4]
}
.
Então,
y =
1
8
L−1
{
2
(s+ 1
2
)2 + 4
G(s)
}
.
Tomando H(s) = 2
(s+ 1
2
)2+4
, temos que h(t) = L−1{H(s)} = e− t2 sen(2t).
Portanto,
y(t) =
1
8
∫ t
0
e−
t−τ
2 sen[2(t− τ)]g(τ)dτ.
2