ANÁLISE COMBINATÓRIA 1 PROFESSOR RICARDINHO

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ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL
5! = 5.4.3.2.1 = 120
4! = 4.3.2.1 = 24
3! = 3.2.1 = 6
2! = 2.1 = 2
1! = 1
0! = 1
CONVENÇÃO
Exemplo: Calcular o valor de:
a) 4! + 3!
b) 7!
24 + 6
30
7.6.5.4.3.2.1
5040
Observe que:
4!+3!  7!
c) 
 n! = n.(n  1) . (n  2) . (n  3). .... 2 . 1
=
8!
10.
9.
8!
90
=
d) 
– 49!
49!
50.
49!
49!
(50 – 1)
49!
49
O conjunto solução de:
é:
(n – 1)!
= 210
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)....
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)!
(n + 1).n.(n – 1)!
(n + 1).n = 210
n2 + n – 210 = 0
n’ = 14
n’’ = - 15
(não convém)
Determine a soma dos valores 
de m que satisfazem a equação
(m – 3)! = 1 
(m – 3)! = 1!
ou
(m – 3)! = 0!
m – 3 = 1
m = 4
m – 3 = 0
m = 3
Logo a soma dos valores de m é 7
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
 O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, 
estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, 
sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. 
Pode ser enunciado dessa forma:
Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e 
independentes de modo que:
E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa
E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa
 :
 :
En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa
Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer.
Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas 
com 3 letras e 4 algarismos? 
 (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.)
26
26
26
10
10
10
10
= 175. 760. 000
Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem
ser formados ?
Alguns números possíveis
244 3215
244 5138
244 0008
244 2344
244 0000
:
:
:
Usando o princípio fundamental da contagem:
244
10
10
10
10
= 10 000 números
fixo
Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão 
atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De 
quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios?
99
100
= 9900 maneiras
USA TODOS ELEMENTOS
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
PERMUTAÇÃO
ARRANJO
COMBINAÇÃO
IMPORTA ORDEM
NÃO IMPORTA ORDEM
 Pn = n!
FORMULÁRIO
01) ( UFSC ) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim formadas é: 
n = 8 “total”
p = 2 “usa”
Corda AC = CA
COMBINAÇÃO
USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO
				  ARRANJO 
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
				  COMBINAÇÃO
Importa ordem
Não Importa ordem
A
C
03)Quanto aos anagramas da palavra NÚMERO, determine:
USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO
				  ARRANJO 
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
				  COMBINAÇÃO
Importa ordem
Não Importa ordem
a) Total de Anagramas
Pn = n!
P6 = 6!
P6 = 720
b)O número de anagramas que começam em “N” e terminam em “O”
N
O
{U, M, E, R}
 P3 . P4 
 3!.4! 
 
 6 . 24 = 144
c)O número de anagramas que possuem “N, U, M” juntas.
N
U
M
E R O
X
E R O
d)O número de anagramas que possuem “N, U, M” juntas e nessa ordem.
 P4 = 4! = 24
04) Determine o número de anagramas da palavra CARCARÁ (não considere o acento)
USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO
				  ARRANJO 
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
				  COMBINAÇÃO
Importa ordem
Não Importa ordem
05) ( ITA ) O número de soluções inteiras e não negativas da equação x + y + z + w = 5 é:
06) Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram em número de 28. O número de pessoas presentes à reunião é:
USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO
				  ARRANJO 
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
				  COMBINAÇÃO
Importa ordem
Não Importa ordem
n = x “total”
p = 2 “usa”
COMBINAÇÃO
José – Carlos 
Carlos – José 
56 = x2 - x
x2 – x – 56 = 0
x = 8 
07) ( UEL-PR ) Seis gremistas e um certo número de colorados assistem a um Grenal. Com o empate final, todos os colorados cumprimentam-se entre si uma única vez, e todos os gremistas cumprimentam-se entre si uma única vez,havendo no total 43 cumprimentos. O número de colorados é:
USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO
				  ARRANJO 
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
				  COMBINAÇÃO
Importa ordem
Não Importa ordem
x2 – x =56
x2 – x – 56 = 0
x = 8 
USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO
				  ARRANJO 
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
				  COMBINAÇÃO
Importa ordem
Não Importa ordem
08) ( UFSC ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
x(x – 1) = 12 
 x2 – x – 12 = 0 
 x1 = 4 ou x2 = – 3 (não serve).
F
02. Com a palavra CAJU podemos formar 
 24 anagramas 
Pn = n!
P4 = 4! = 24
V
04. Numa sala estão 5 professores e 6 alunos. O número de grupos que podemos formar, tendo 2 professores e 3 alunos, é 30.
F
ou  +
e  x
08. Na final do revezamento 4 x 100 m livre masculino, no Mundial de Natação, em Roma 2009, participaram: Estados Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália, África do Sul, Reino Unido e Austrália. Os distintos modos pelos quais poderiam ter sido distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze são em número de 56.
7
8
=336
ARRANJO  P.F.C
6
F
01. A equação 
 = 12 não possui solução. 
09) ( UFSC-2009 ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
01. Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com esse número de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros.
02. Entre os anagramas da palavra ÁGUA, 6 começam por consoante. (não considere o acento) 
04. A partir de 12 pontos distintos marcados numa circunferência podem ser feitos 440 triângulos unindo-se três desses pontos. 
08. O total de números pares que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 2, 5, 5, 5 e 6 é 180.
F
F
F
Terminados em 2
Terminados em 6
 TOTAL: 180
V
!
8
!
10
!
49
!
49
!
50
-
210
)!
1
(
)!
1
(
=
-
+
n
n
p)!
(n
!
 
n
p
n
A
-
=
p!
p)!
(n
!
 
n
p
n
C
-
=
28
=
-
=
2)!2!
(8
!
 
8
2
8
C
210
!
2
!
2
!
3
!
7
3,2,2
7
P
=
=
56
!
3
!
5
!
8
5,3
8
P
=
=
p!
p)!
(n
!
 
n
p
n
C
-
=
2)!2!
(x
!
x 
28
-
=
2)!2.1
(x
2)
-
1)(x
-
x(x
28
-
=
43
2
x
C
2
6
C
=
+
43
2)!2!
(x
!
x 
2)!2!
(6
!
 
6
=
-
+
-
43
2)!2.1
(x
2)
-
1)(x
-
x(x
15
=
-
+
2
x
A
12
!
2)
(x
!
2)
1)(x
x(x
12
!
2)
(x
!
x
12
A
2
x
=
-
-
-
=
-
=
200
20
.
10
3
6
C
.
2
5
C
=
1050
.210
5
!
4
!.
6
!
10
.
!
!.1
4
!
5
C
.
C
4
10
1
5
=
=
=
3
!
2
!
3
P
2
3
=
=
220
!
3
.
!
9
!
12
C
3
12
=
=
120
!
3
!
6
P
3
6
=
=
60
!
.2
!
3
!
6
P
3,2
6
=
=