Equações Diferenciais_Atividade de autoaprendizagem I

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais 
Atividade de Autoaprendizagem 1 
 
Pergunta 01: 
Leia o excerto a seguir: 
“Campos vetoriais representam o fluxo de um fluído (entre muitas outras coisas). Eles também 
representam uma maneira de visualizar funções cujo espaço de entrada e espaço de saída têm a 
mesma dimensão. Além disso, um campo vetorial associa um vetor a cada ponto no 
espaço.”Fonte: KHAN ACADEMY. Campos vetoriais. Disponível em: 
<https://bit.ly/2kSojV5>. Acesso em: 1 set. 2019. (Adaptado). 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, dado o 
campo F(x,y) = (y
3
, −x
3
), calcule a integral do campo vetorial sob a curva C que corresponde a 
um círculo igual a x
2
 + y
2
 = 4. Considerando que a orientação da curva é positiva, pode-se 
afirmar que a integral do campo vetorial equivale a: 
 
Resposta correta: −24 π 
 
Pergunta 02: 
Analise a figura a seguir: 
 
O teorema de Green é extremamente útil na aplicação de cálculo de área de figuras planas. O 
teorema tem esse nome, pois foi desenvolvido por George Green, em 1828, e seu princípio é 
utilizado em outros teoremas como, por exemplo, os teoremas de Gauss e de Stokes. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o tópico, dada a região D, 
D=(1≤ x
2
 + y
2
≤4, x>0, y>0), calcule a área da região D, sendo a curva C correspondente à 
fronteira da região D. Considerando esses dados, pode-se afirmar que a área da região D 
corresponde a: 
 
Resposta correta: 14/3 
 
Pergunta 03: 
Leia o excerto e analise a figura a seguir: 
“Vamos pensar em uma roda de carro que apresenta um ponto fixo para observação. Agora, 
pensando nessa roda em movimento, sobre uma rua lisa, vamos observar a trajetória desse ponto 
fixo. A curva descrita por esse ponto é a curva cicloide.”Fonte: CORDEIRO, A. C. F. O que é a 
curva cicloide: ideias centrais no ensino da matemática. Trabalho de conclusão de curso 
(Licenciatura em matemática) – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia, IFSP. São 
Paulo, p. 88. 2013. 
 
 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema de Green, calcule a 
área da figura, descrita pelas curvas C1 e C2, dada a cicloide abaixo x= t − sen(t), y = 1 − cos(t). 
Considerando esses dados, pode-se afirmar que a área da cicloide corresponde a: 
 
Resposta correta: 3π. 
 
Pergunta 04: 
O divergente de um campo vetorial corresponde a um operador que mede a magnitude de fonte 
de um campo vetorial em um dado ponto, ou seja, pode ser representado como um valor escalar 
que mede a dispersão dos vetores do campo em um ponto específico. O divergente de um 
campo vetorial, dado como F = M(x,y,z) I + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k, é uma função escalar: div F = 
dM/dx + dN/dy + dP/dz. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, dado o 
campo vetorial F = (2xz) I + (xy)j − (z)k, pode-se afirmar que o valor do divergente corresponde 
a: 
 
Resposta correta: 2z − x − 1. 
 
Pergunta 05: 
O raio de convergência indica o raio em torno do centro da série no qual a série converge para 
algum valor. Valores superiores ao raio indicam que a série diverge, ou seja, existe um número 
R tal que a série converge se |x−a| < R, e diverge se |x−a| > R. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada a série 
∑(x−2)
n
 / n, pode-se afirmar que o raio de convergência é igual a: 
 
Resposta correta: R = 1. 
 
Pergunta 06: 
Leia o excerto e analise a figura a seguir: 
“Rotacional é um operador que, a partir de uma função que representa um campo vetorial 
tridimensional, gera uma nova função que representa um campo vetorial tridimensional 
diferente. Se um fluido escoa pelo espaço tridimensional ao longo de um campo vetorial, a 
rotação do fluido em cada ponto, representada por um vetor, é dada pelo rotacional do campo 
vetorial original calculado naquele ponto.” 
Fonte: KHAN ACADEMY. Rotacional, rotação do fluido em três dimensões. Disponível em: 
<https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/divergence-
and-curl-articles/a/curl>. Acesso em: 6 set. 2019. 
 
Resposta correta: 2π 
 
Pergunta 07: 
Suponha que desejemos encontrar o fluxo de F = (xy) I + (yz)j + (xz)k através da superfície de 
um cubo cortado do primeiro octante, pelos planos x =1, y=1 e z=1. Uma dica importante é 
resolver pela integração do divergente ao invés de realizar 6 integrais diferentes, uma para cada 
face do cubo. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, pode-se 
afirmar que o fluxo da função F corresponde a: 
 
Resposta correta: 3/2. 
 
Pergunta 08: 
Analise a figura a seguir: 
 
Figuras geométricas podem ser geradas a partir do modelamento baseado em equações 
matemáticas. Na figura apresentada, é possível observar um vaso de manjerico. Tal sólido limita 
o volume da forma, V= (x
2
 + y
2
 < z, 1 < z < 4), considerando o campo vetorial F(x, y, z) = (xz
2
, 
yz
2
, z
3
). 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, calcule o 
fluxo do rotacional F por meio da parede lateral do vaso, referente à superfície S = (x
2
 + y
2
 = z, 
1 < z < 4). Considerando esses dados, pode-se afirmar que o fluxo do rotacional corresponde a: 
 
Resposta correta: 0. 
 
Pergunta 09: 
Leia o excerto e analise a figura a seguir: 
“Dados os pontos F1 e F2, com a distância 2c entre eles, a elipse é o conjunto dos pontos P em 
que é válida a seguinte igualdade: dPF1 + dPF2 = 2a. Em outras palavras, a elipse é o conjunto 
de pontos no qual a soma das distâncias até cada um dos focos é igual à constante 2a. 
”Fonte: SILVA, L. P. M. O que é elipse? Uma figura geométrica? Brasil Escola. Disponível em: 
<https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-elipse.htm>. Acesso em: 5 set. 
2019. 
 
São comuns forças que variam ao longo de uma trajetória. A força representada na figura é 
proporcional ao afastamento em relação à origem das coordenadas, descrevendo no sentido anti-
horário a parte da elipse x
2
/4 + y
2
/16 = 1 no primeiro quadrante, sendo F(x,y) = −k(x,y). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, pode-se 
afirmar que o trabalho realizado equivale a: 
 
Resposta correta: −6 k. 
 
Pergunta 10: 
O desenvolvimento de funções em séries de potências tem diversas aplicações, tal como a 
resolução de equações diferenciais. Pode-se também aplicar tal recurso para realizar 
aproximações de funções com a utilização de séries de Taylor e Maclaurin. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada a 
expansão da função f(x) = (1+x)
−1/2
 em uma série de Taylor, pode-se afirmar que o 4º termo da 
série, em torno de a = 0, corresponde a: 
 
Resposta correta: 15x
3
 / 48. 
 
Pergunta 11: 
No campo matemático, um campo vetorial (campo de vetores) corresponde a um conceito do 
cálculo vetorial que relaciona um vetor a cada ponto de uma variedade diferenciável, ou seja, é 
uma função vetorial que associa um vetor a cada ponto do espaço xyz. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, calcule a 
integral do campo vetorial F=(y−e
x^2
, 2x − e
y^2
) e a curva C: x
2
 + y
2
 = 1, orientada 
positivamente. Considerando esses dados, pode-se afirmar que a integral do campo vetorial 
corresponde a: 
 
Resposta correta: π 
 
Pergunta 12: 
Leia o excerto a seguir: 
“O teorema fundamental das integrais de linha, também chamado de teorema do gradiente, diz 
que os campos gradientes são independentes do caminho, o que significa que as integrais de 
linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam os mesmos pontos inicial e final serão 
iguais. ”Fonte: KHAN ACADEMY. “Teorema fundamental das integrais de linha”. Disponível 
em: <https://bit.ly/2kJ6k3w>. Acesso em: 1 set. 2019. 
O teorema de Green é usado para calcularintegrais de linha complexas, transformando-as em 
integrais duplas mais simples. De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o 
teorema de Green, calcule a integral de linha (3y −)dx + (7x + ( + 1)dy, dada a curva C: = 9. 
Considerando esses dados, pode-se afirmar que o resultado da integral é: 
 
Resposta correta: 36 π. 
 
Pergunta 12: 
A circulação de um vetor v (conhecida como integral de linha), ao longo de uma curva c, 
corresponde à soma dos produtos escalares de v por dr ao longo da curva c, sendo dr um vetor 
elementar que tem as seguintes características: o módulo corresponde ao valor do arco da curva, 
a direção é tangente à curva e o sentido é o mesmo sentido da curva. 
Dada a superfície S: x
2
 + y
2
 + z
2
 = 9, z ≥ 0, sua respectiva circunferência de borda C: x
2
 + y
2 
= 9, 
z = 0 e o campo correspondente F = yI. xj, calcule o valor da circulação no sentido anti-horário 
ao redor da curva C. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de 
Stokes, pode-se afirmar que o valor da circulação corresponde a: 
 
Resposta correta: −18π. 
 
Pergunta 13: 
A expansão de uma série corresponde a atribuir valores aos termos da série, ou seja, variar o 
termo n de zero ao termo que deseja na expansão da série. Tal operação é fundamental para a 
análise das propriedades de uma função, já que permite a visualização prática de seus termos. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada a 
função f(x) = 1/ x
2 
−1, pode-se afirmar que a expansão em série de potências em torno de x0 = 0 
corresponde a: 
 
Resposta correta: −∑ x2n. 
 
Pergunta 13: 
Parametrizar uma superfície ou curva é o processo de definição de parâmetros que irão 
representar a superfície ou objeto geométrico em questão, ou seja, implica na identificação de 
um grupo de coordenadas que permite definir qualquer ponto na curva, superfície ou objeto 
geométrico. 
De acordo com o texto e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, dada a superfície S: z 
= coshx, |x| < 1, y 0, 1, realize a parametrização da superfície e calcule a área de S. 
Considerando esses dados, pode-se afirmar que a área de S corresponde a: 
 
Resposta correta: e − 1/e.