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Sumário
1 Polinômios 2
1.1 Anel dos Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Algoritmo da Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Relação de divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Zeros de um Polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Critério de Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Exercicios 19
1
Capítulo 1
Polinômios
Neste trabalho, K denota um domínio de integridade e KN o conjunto das
sequências f = {ai}i∈N em K. Uma sequência {ai}i∈N é quase nula se existe um
no ∈ N tal que ai = 0, para i > no. Denotando-se por K[X] o conjunto de todas
as seqüências quase nulas em K, um elemento de K[X] é chamado um polinômio
com coe�cientes em K.
1.1 Anel dos Polinômios
Sejam f = {ai}i∈N e g = {bi}i∈N dois polinômios em K[X].
A soma f + g = {ci}i∈N é de�nida por ci = ai + bi e o produto f.g = {di}i∈N
por di =
∑
j+k=i
ajbk =
i∑
p=o
apbi−p. Da de�nição de soma segue (exercício 1.) que
{ci}i∈N ∈ K[X] e para o produto, observa-se que sendo f, g ∈ K[X], existem n1
e n2 em N tais que ai = 0 se i > n1 e bi = 0, se i > n2 e então:
dn1+n2 =
n1+n2∑
i=o
aibn1+n2−i =
n1−1∑
i=o
aibn1+n2−i + an1bn2 +
n1+n2∑
i=n1+1
aibn1+n2−i.
Portanto, dn1+n2 = an1bn2 e dk = 0 , para todos k > n1 + n2, implicando que
{di}i∈N ∈ K[X].
Observe que o polinômio nulo é a sequência 0 = {ai}i∈N com ai = 0,∀i ∈ N
e o polinômio identidade é dado por 1 = {ai}i∈N com ao = 1 e ai = 0,∀i ≥ 1.
Obviamente, 0 e 1 pertencem a K[X].
Além disso, dado um polinômio f = {ai}i∈N em K[X], de�nindo-se −f =
{−ai}i∈N tem-se que −f pertence a K[X] e é chamado oposto ou inverso aditivo
de f . Das observações acima, pode-se mostrar que com essas operações, K[X] é
um anel comutativo, com identidade. (exercício 2.)
Teorema 1.1.1 (K[X],+, ·) é um domínio de integridade.
2
Demonstração. Sejam f 6= 0 e g 6= 0 em K[X] quaisquer. Então existem
m e n em N de modo que am 6= 0 e am+i = 0, ∀i ≥ 1 e bn 6= 0 e bn+i = 0, ∀i ≥ 1
. Um cálculo análogo ao que foi feito acima permite concluir que dm+n = ambn
e dk = 0, para todo k > m + n. Como am 6= 0 e bn 6= 0 e K é um domínio de
integridade, segue que ambn 6= 0. Decorre que dm+n 6= 0, provando que K[X] não
tem divisores do zero.
Observe também que os únicos elementos invertíveis do anel K[X] são os
elementos invertíveis do anel K.
Observação 1.1.2 Observe que K[X] não é um corpo, mesmo que K o seja.
De�nição 1.1.3 Seja f = {ai}i∈N ∈ K[X], f 6= 0. Chamamos de grau de f ,
denotado por ∂f , ao maior número natural n tal que an 6= 0, an é chamado
coe�ciente líder de f e se an = 1, então f é mônico.
Ao polinômio nulo não se atribui grau.
Proposição 1.1.4 Sejam f = {ai}i∈N e g = {bi}i∈N dois polinômios não nulos
em K[X]. Tem-se:
a) se f + g 6= 0, então ∂(f + g) ≤ max{∂f, ∂g}
b) se ∂f 6= ∂g, então f + g 6= 0 e ∂(f + g) = max{∂f, ∂g}.
c) ∂(f.g) = ∂f + ∂g.
Demonstração. Sejam m = ∂f e n = ∂g e f + g = {ci}i∈N, onde ci = ai + bi,
para todo i ∈ N. Então am 6= 0 e ai = 0, ∀i > m e bn 6= 0 e bi = 0, ∀i > n.
a) Suponha m ≤ n. Então cn = an + bn e ci = ai + bi = 0, ∀i > n. Sendo
f + g 6= 0, o grau de f + g está de�nido e ∂(f + g) ≤ n = max{∂f, ∂g}.
b) Suponha agora m < n. Então cn = an + bn = 0 + bn 6= 0 e ci = 0, ∀i > n.
Portanto, f + g 6= 0 e ∂(f + g) = n = max{∂f, ∂g}
c) Decorre das observações anteriores que se {di}i∈N = f.g, então dm+n 6=
0, ∀k > m+ n. Segue que ∂(f.g) = m+ n = ∂f + ∂g.
De�nição 1.1.5 O polinômio X = (0, 1, 0, · · · ) em K[X] é denominado inde-
terminada e toda potência X i = (0, 0, · · · , 1, · · · 0, · · · ), i ∈ N é chamado um
monômio.
Segue da de�nição que se a ∈ K, então aXp = a(0, · · · , 1, 0, · · · ) =
(0, · · · , a, 0, · · · ) = (a, 0, · · · , 0, · · · )(0, · · · , 1, 0, · · · ) ∈ K[X].
Se f = {ai}i∈N é um polinômio em K[X] e m é um número natural tal que
ai = 0, ∀i > m, então f = (ao, a1, · · · , am, 0, · · · ). Observe que f é a soma dos
polinômios (ao, 0, · · · , 0, · · · ) + (0, a1, 0, · · · , 0, · · · ) + (0, 0, a2, · · · , 0, · · · ) + · · · +
(0, 0, · · · , am, 0, · · · ) = aoXo + a1X1 + · · ·+ amXm =
m∑
i=o
aiX
i.
3
Daqui para frente será usada a notação f = ao+a1X1+· · ·+amXm =
m∑
i=o
aiX
i
para um polinômio em K[X]. Na realidade, um polinômio em X é uma série
formal
∑
i≥0
aiX
i, onde se requer que somente um número �nito dos coe�cientes
ai sejam não nulos. Um monômio de grau p é uma série formal
∑
i≥0
aiX
i tal que
ai = 0, para todo i 6= p. A família dos monômios {aiX}i∈N é somável e sua soma
é a série formal
∑
i≥0
aiX
i. Isto justi�ca a notação formal
∑
i≥0
aiX
i para polinômios.
1.2 Algoritmo da Divisão
Neste parágrafo considera-se K um corpo.
Teorema 1.2.1 (Algoritmo da Divisão) Sejam f, g ∈ K[X], f 6= 0, ∂f = n.
Então existe um único par (q, r) de polinômios em K[X] tal que g = q.f + r, com
r = 0 ou ∂r < ∂f .
Demonstração. Primeiramente será provada a unicidade. Para isso, considera-
se (q
′
, r
′
) um outro par de K[X] tal que g = q
′
f + r
′
, onde r
′
= 0 ou ∂r
′
< ∂f .
Suponha que r
′ − r 6= 0. Como q.f + r = q′ .f + r′ , tem-se que r′ − r = f.(q− q′)
e, portanto, (q − q′)f 6= 0. Então ∂[(q − q′)f ] = ∂(q − q′) + ∂f ≥ n. Segue que
∂(r
′ − r) ≥ n.
Para a prova da existência do par (q, r) de polinômios em K[X] tem-se: se
g = 0, basta tomar q = 0 e r = 0. Se g 6= 0, sejam m = ∂g e bm o coe�ciente
líder de g. Se m < n, basta tomar q = 0 e r = g.
Considere então m ≥ n e a existência do par (q, r) de polinômios em K[X]
será provada por indução sobre m.
a) Se m = 0 tem-se g = bo e f = ao. Como ao 6= 0 em K, existe a−1o ∈ K tal
que ao.a−1o = 1. Então basta tomar q = a
−1
o bo e r = 0.
b) Suponha agora m > 0 e assuma que para f 6= 0, com ∂f = n, f =
n∑
i=o
aiX
i
e para qualquer polinômio g de grau menor ou igual a m− 1, existam q e r tais
que g = q.f + r, com r = 0 ou ∂r < ∂f .
Tome g ∈ K[X] com ∂g = m e suponha quem ≥ n. Considerando o polinômio
g1 = g − bma−1n Xm−nf , tem-se dois casos:
1) g1 = 0. Nesse caso, basta tomar q = bma−1n X
m−n e r = 0.
2) g1 6= 0. Observe-se que o grau de bma−1n Xm−nf é m e tem como coe�ciente
líder −bm. Como g tem graum e coe�ciente líder bm, o grau de g−bma−1n Xm−nf é
menor ou igual a m−1, i.é. ∂(g1) ≤ m−1. Da hipótese de indução, existem q e r
tais que g1 = q.f+r, com r = 0 ou ∂r < ∂f . Segue que q.f+r = g−bma−1n Xm−nf ;
ou ainda g = (q + bma−1n X
m−n)f + r, com r = 0 ou ∂r < ∂f .
4
Observação 1.2.2 O algoritmo da divisão é verdadeiro se g e f pertencem a
A[X], onde A é um domínio de integridade e o coe�ciente líder an de f é invertível
em A.
Exemplo 1.2.3 A demonstração da existência do teorema anterior fornece um
modo prático de dividir dois polinômios. Por exemplo, sejam g = 8X4 − 6X2 +
3X − 2 e f = 2X2 − 3X + 2 em Q[X].
1o. passo: ∂g = 4 > ∂f = 2. Então q1 = 8.2
−1.X4−2 = 4X2 e g1 = g−q1.f =
12X3 − 14X2 + 3X − 2.
2o.passo: ∂g1 = 3 > ∂f = 2. Então q2 = 12.2
−1.X3−2 = 6X e g2 = g1−q2.f =
4X2 − 9X − 2.
3o. passo: ∂g2 = 2 = ∂f = 2. Então q3 = 4.2
−1 = 2 e g3 = g2 − q3.f =
−3X − 6.
4o.passo: ∂g2 = 1 < ∂f = 2. O processo para e toma-se r3 = g3.
Conclusão: g = q.f + r, onde r + g3 + g2 − q3.f = g1 − q2.f − q3.f =
g − q1.f − q2.f − q3.f = g − (q1 + q2 + q3.f . Portanto, g = (q1 + q2 + q3).f + r.
Então 8X4 − 6X2 + 3X − 2 = (4X2 + 6X + 2)f + (−3X − 6).
De�nição 1.2.4 Sejam f e g em K[X], com f 6= 0. Diz-se que f é um divisor
de g (f | g) ou ainda f divide g se existe q ∈ K[X] tal que g = q.f . Observe que
pelo algorítmo da divisão, q é único.
De�nição 1.2.5 Sejam f e g dois polinômios não nulos de K[X]. Um polinômio
mônico d ∈ K[X] é o máximo divisor comum de f e g, denotado por d = (f, g),
se:
i) d | f e d | g e
ii) para qualquer outro polinômio d
′
que divide f e g, tem-se que d
′ | d.
Teorema 1.2.6 Sejam f e g dois polinômios não nulos de K[X]. O máximo
divisor comum entre f e g existe e é unico.
Demonstração. Seja A o conjunto dos polinômios não nulos da forma: fα +
gβ, α, β ∈ K[X]. Observe que A é não vazio, pois o polinômio f 2 + g2 é não
nulo, pode-seportanto tomar um tal polinômio de menor grau, torná-lo mônico
e chamá-lo de d. Então d = f.α + g.β, α, β ∈ K[X] e assim todo divisor comum
de f e g é um divisor de d. Como a divisão de todo polinômio de A por d deixa
resto zero, vê-se que d é um divisor comum de f e de g, satisfazendo a de�nição
acima.
Corolário 1.2.7 : (Teorema de Bezout) O máximo divisor comum (f, g) = α.f+
β.g, onde α e β pertencem a K[X].
Muitas vezes não é fácil achar o máximo divisor comum, usando a de�nição
dada acima. Uma forma de facilitar os cálculos é usar o processo das divisões
sucessivas, baseado nos seguintes resultados.
5
Teorema 1.2.8 Sejam f e g dois polinômios não nulos de K[X]. Então (f, g) =
(g, r), onde r é o resto da divisão de f por g.
Demonstração. Se d = (f, g), então d | f e d | g e, portanto existem polinômios
α e β em K[X], tais que f = dα e g = d.β. Do algorítmo da divisão, existem
polinômios q e r para os quais f = q.g + r. Logo, r = f − g.q = d.α − d.β.q =
d(α− β.q), ou seja d divide r. Como também d | g, então d | (g, r).
Suponha que d
′
= (g, r), isto é, d
′ | g e d′ | r. Por um lado, d′ | (f + h.g),
para h ∈ K[X]. Por outro lado, existem polinômios k e l tais que d′ .k = g e
d
′
.l = f + g.h. Logo f = d
′
.l − g.h = d′ .l − d′ .k = d′(l − k). Portanto, d′ | f .
Como d
′ | g, então d′ | (f, g), concluindo-se que d | d′ e d′ | d, ou seja, d = d′ .
Teorema 1.2.9 Sejam f e g dois polinômios não nulos de K[X] com ∂f ≥ ∂g.
Escreva r0 = f e r1 = g. Se ri+1 não é um divisor de ri, seja ri+2 o resto da
divisão de ri por ri+1, para i = 0, 1, 2, · · · . Esta sequencia de divisões termina em
um resto nulo; o último resto não nulo, rk, tornado monico, é o máximo divisor
comum (f, g).
Demonstração. Do algorítmo da divisão existem q e r em K[X] tais que f =
q.g + r, com ∂r < ∂g. Do teorema anterior, segue que (f, g) = (g, r) e como
∂r0 ≥ ∂r1 > ∂r2 > · · · > ∂ri+1 > · · ·
formam uma sequência decrescente de números inteiros não negativos e pelo
principio do menor inteiro, existe um ∂rk menor de todos os ∂r
′
is. Assim rk é um
divisor de rk−1, concluindo-se assim que:
(f, g) = (r0, r1) = · · · (rk−1, rk) = (rk, 0) = r
′
k
onde r
′
k é rk tornado mônico.
Exemplo 1.2.10 Considere-se os polinômios r0 = X
4 − X3 − 4X2 − X + 5 e
r1 = X
3− 3X2 +X +1 sobre o corpo Q dos racionais. Para encontrar o máximo
divisor comum (r0, r1) aplica-se o algorítmo da divisão até obter resto zero, isto
é, divide-se ri por ri+1 obtendo ri+2 como resto para i = 0, 1, 2, · · · , então (r0, r1)
é o último resto não nulo tornado monico.
Tem-se então:
dividindo r0 por r1, obtem-se r0 = (X + 2)r1 + r2, onde r2 = X
2 − 4X + 3,
dividindo r1 por r2, obtem-se r1 = (X + 1)r2 + r3, onde r3 = 2X − 2,
dividindo r2 por r3, obtem-se r2 = 1/2(X − 3)r3.
Então (r0, r1) = X − 1, pois X − 1 é o último resto não nulo tornado monico.
Substituindo pelo resto cada termo dos restos prévios, determinam-se polinô-
mios α e β em Q[X], com α.r0 + β.r1 = (r0, r1). Neste caso,
6
r3 = r1−(X+1)r2 = r1−(X−1)(r0−(X+2)r1) = −(X+1)r0+(X2+3X+3)r1,
dando α = −1/2(X + 1) e β = 1/2(X2 + 3X + 3) e (r0, r1) = 1/2r3.
O objetivo é estender o Algorítmo da Divisão de forma a fornecer α e β em
K[X] de modo a escrever d = (f, g) como d = α.f + β.g.
Suponha que na sequência dos restos r0, r1, · · · , rk+1 tenha-se rk+1 = 0 e,
portanto d = (f, g) = rk, tornado mônico. Seja qn o quociente de rn−1 por rn, ou
seja, rn−1 = qn.rn + rn+1 para n entre 1 e k.
Duas sequências {αk} e {βk} serão construidas de modo que α = (−1)kαk e
β = (−1)k+1βk sejam os coe�cientes procurados.
Sejam
α0 = 1, α1 = 0, β0 = 0, β1 = 1,
e de�ne-se recursivamente:
αn = qn−1.αn−1 + αn−2, βn = qn−1.βn−1 + βn−2, 2 ≤ n ≤ k + 1
Considere r0 = f e r1 = g.
Teorema 1.2.11
rn = (−1)nαn.f + (−1)n+1βn.g
Demonstração.
Tem-se que
f = r0 = 1.f − 0.g = α0.f − β1.g
g = r1 = 0.f − 1.g = −α1.f + β1.g
mostrando que a relação é verdadeira para n = 0 e n = 1.
A prova será por indução sobre n. Seja n ≥ 2 e suponha que a relação é
verdadeira para todo 0 ≤ n ≤ n − 1. Então pela de�nição dos quocientes qn e
restos rn,
rn = rn−2 − qn−1.rn−1
= (−1)n−2αn−2.f + (−1)n−1βn−2.g
−qn−1((−1)n−1αn−1.f + (−1)nβn−1.g)
= (−1)nf(qn−1.αn−1 + αn−2) + (−1)n+1g.
7
(qn−1.βn−1 + βn−2)
= (−1)nf.αn + (−1)n+1g.βn
Segue em particular, uma representação do máximo divisor comum como com-
binação de f e de g.
Exemplo 1.2.12 f = 2X4 +X3 − 6X2 + 7X − 2 e g = 2X3 − 7X2 + 8X − 4
Tem-se que r0 = f e r1 = g, α0 = 1, β0 = 0, q1 = X + 4, α1 = 0, β1 = 1, q2 =
1/7(X − 2), α2 = 1, β2 = X + 4.
Portanto r3 = (r0, r1) = 7f + (−1)3(X + 4)g.
1.3 Relação de divisibilidade
Neste parágrafo, K denota um corpo. O objetivo principal é estabelecer o
Teorema da Fatoração Única de Polinômios.
De�nição 1.3.1 Sejam f, g ∈ K[X]. f é associado a g (f ∼ g) se f | g e g | f .
Lema 1.3.2 O conjunto dos elementos invertíveis de K é K∗, que pode ser iden-
ti�cado com o conjunto dos polinômios constantes não nulos. Então f ∼ g se, e
somente se, ∃ a ∈ K∗ tal que f = a.g.
Demonstração. De fato, f | g e g | f implicam que ∃ b ∈ K[X] e ∃ c ∈ K[X]
tais que g = b.f e f = c.g. Logo b.c = 1, i.é. são invertíveis, o que acarreta
b, c ∈ K∗.
Reciprocamente, se existe a ∈ K∗ tal que f = a.g, então g | f . Além disso,
sendo K um corpo e a ∈ K∗, existe a−1 ∈ K∗ tal que a.a−1 = 1. Então a−1f = g
e g | f .
Em particular, se f e g são mônicos, então f ∼ g se, e somente se, f = g
(exercício 3.).
Teorema 1.3.3 ∼ é uma relação de equivalência em K[X].
Demonstração. As propriedades re�exiva e simétrica são imediatas. Para a
prova da propriedade transitiva, considere f ∼ g e g ∼ h em K[X]. Então
existem a ∈ K∗ e b ∈ K∗ tais que f = a.g e g = b.h. Isto implica que f = (a.b).h,
com a.b ∈ K∗, ou seja, f ∼ h.
A classe de equivalência de f de�nida por essa relação, denotada por f.K∗, é
dada por
8
f.K∗ = {g ∈ K[X], g ∼ f} = {g = a.f, a ∈ K∗}
Como para todo polinômio f 6= 0, existe um único polinômio mônico, a saber,
a−1.f , onde a é o coe�ciente líder de f , que é associado a f , este polinômio será
tomado como o representante da classe de equivalência de f.K∗.
Seja I o conjunto de todos os polinômios mônicos de K[X]. Então
K[X] = {0} ∪
⋃
f∈I
f.K∗.
Lembrando que U(K[X]) = K∗, os divisores impróprios de f 6= 0 são a e a.f ,
com a ∈ K∗.
De�nição 1.3.4 Um polinômio não constante p ∈ K[X] é irredutível se p =
f.g implica ou f ou g constante. Caso contrário, diz-se que p é redutível. Um
polinômio irredutível e mônico é chamado polinômio primo.
Observe que se p é irredutível e p = f.g, então ou f ∼ p ou g ∼ p e se f ∼ g,
então f é irredutível se, e somente se, g é irredutível.(exercício 4.)
Assim, para estudar a redutibilidade ou irredutibilidade basta estudar apenas
os polinômios mônicos.
Teorema 1.3.5 Um polinômio mônico não constante f ∈ K[X] é redutível se,
e somente se, existem polinômios mônicos g e h em K[X] tais que f = g.h e
0 < ∂g < ∂f e 0 < ∂h < ∂f .
Demonstração. Supondo f redutível, tem-se f = g.h, com g, h ∈ K[X] e
∂h ≥ 1 e ∂g ≥ 1.
Como K[X] é um domínio de integridade, segue que ∂f = ∂g+∂h ≥ ∂g+1 >
∂g e ∂f ≥ ∂h+ 1 > ∂h.
Reciprocamente, se f = g.h com 0 < ∂g < ∂f e 0 < ∂h < ∂f , segue que g e
h são não constantes e f = g.h.
Corolário 1.3.6 Um polinômio mônico não constante p ∈ K[X] é irredutível se,
e somente se, para todo divisor mônico f de p, tem-se f = 1 ou f = p.
Exemplo 1.3.7 X − a em K[X] é irredutível, pois se fosse redutível, existiriam
polinômios mônicos g e h em K[X] tais que X − a = g.h e 0 < ∂g < 1 e
0 < ∂h < 1.
De�nição 1.3.8 Sejam A um anel comutativo, com identidade e a ∈ A. O ideal
gerado por a é de�nido por:
(a) := {r.a, r ∈ A}.
9
Um ideal gerado por um elemento é chamado ideal principal.
Um domínio de integridade tal que todo ideal é principal é chamado Domínio
de Ideais Principais.(PID).
Observação 1.3.9 A relação de divisibilidade em K[X] pode ser expressa em
termos de ideais principais:
f | g ⇐⇒ (g) ⊂ (f)
ou ainda f ∼ g ⇐⇒ (g) = (f).
(exercício 5.)
Teorema 1.3.10 Seja I[X] um ideal de K[X], onde K é um corpo.Então I[X]
é principal, isto é K[X] é um PID.
Demonstração. Como K é um corpo, tem-se que K[X] é um domínio de inte-
gridade. Seja I[X] um ideal qualquer de K[X]. Se I[X] = 0, então I[X] = (0).
Caso contrário, existe um polinômio p ∈ I[X] não nulo, que é tomado o de menor
grau. Para cada f ∈ I[X] aplica-se o algorítmo da divisão e obtem-se q e r em
K[X] tais que f = p.q + r, onde r = 0 ou ∂r < ∂p. Como p ∈ I[X], então
p.q ∈ I[X] e como f ∈ I[X], tem-se r = f − p.q ∈ I[X]. Mas p é o polinômio de
menor grau em I[X], logo, r = 0. Então f = p.q, o que implica I[X] ⊂ (p). A
outra inclusão é imediata. Portanto, I[X] é principal.
Observe que no teorema anterior pode-se tomar como gerador do ideal não
nulo de K[X] um polinômio mônico.
Teorema 1.3.11 Se f e g são dois polinômios e se d = (f, g), então (f)+ (g) =
(d). Em particular, tem-se o já mencionado teorema de Bézout: Se f e g são
dois polinômios e se d = (f, g), então existem polinômios r e s em K[X] tais que
d = r.f + s.g.
Demonstração. Seja (d) = (f) + (g). Basta veri�car que d = (f, g). Tem-se
que (f) ⊂ (d) e (g) ⊂ (d), o que implica d | f e d | g.
Seja d
′
outro divisor comum de f e de g. Então (f) ⊂ (d′) e (g) ⊂ (d′), o que
implica (f) + (g) ⊂ (d′). Então (d) ⊂ (d′) =⇒ d′ | d.
Corolário 1.3.12 f e g são relativamente primos se, e somente se, existem
polinômios r e s tais que r.f + s.g = 1
Teorema 1.3.13 Se p é um polinômio irredutível e se p - f , então p e f são
relativamente primos.
10
Demonstração. Seja d = (p, f). Então d | p e, como p é irredutível e d mônico,
segue que d = 1 ou d = a−1.p, onde a é o coe�ciente líder de p. Se d(X) = a−1.p,
então a−1p seria um divisor de f , contradição. Logo d = 1.
Considere o conjunto quociente A/I := {a+ I, a ∈ A}, onde I é um ideal de
um anel A. O objetivo é de�nir duas operações em A/I de modo a torná-lo um
anel.
Sejam ⊕ : A/I×A/I −→ A/I, de�nida por ⊕(a+I, b+I) = (a+I)⊕(b+I) =
(a+b)+I e ⊗ : A/I×A/I −→ A/I, de�nida por ⊗(a+I, b+I) = (a+I)⊗(b+I) =
(a.b) + I.
Essas duas operações dão a A/I uma estrutura de anel que é comutativo,
com identidade, se A é comutativo com identidade, respectivamente. Esse anel é
chamado anel quociente de A por I.
Exemplo 1.3.14 Seja n um inteiro qualquer. Então Z/(n) com as operações
dadas por a+ (n)⊕ b+ (n) = a+ b+ (n) e a+ (n)⊗ b+ (n) = a.b+ (n) é o anel
dos inteiros módulo n, (Zn,+n, .n).
Observação 1.3.15 Assuma I um ideal não nulo de um anel comutativo, com
identidade A e a /∈ I. Seja (I, a) o ideal gerado por I ∪ {a}, ou seja , (I, a) :=
{i+r.a, i ∈ I, r ∈ A}. Então um ideal I é maximal de A se, e somente se, I 6= A
e (I, a) = A, para todo a /∈ I.De fato, I ( (I, a) ⊂ A. Então se I é um ideal
maximal, (I, a) = A. Por outro lado, suponha J um ideal tal que I ( J ⊂ A.
Então existe a ∈ J e a /∈ I e I ( (I, a) ⊂ A. Como (I, a) = A, temos que
1 ∈ (I, a). Logo 1 = i + ra, i ∈ I, a ∈ J . Logo 1 ∈ J , o que implica que J é
maximal.
Teorema 1.3.16 Um ideal próprio I[X] é maximal em K[X], com K um corpo
se, e somente se, I[X] é primo.
Demonstração. Sejam f, g ∈ K[X] quaisquer tais que f.g ∈ I[X] e assumindo
que f /∈ I[X], mostra-se que g ∈ I[X]. Como I[X] é maximal, então (I[X], f) =
K[X]. Logo existem i ∈ I[X], h ∈ K[X] tais que 1 = i+ h.f . Observe que f.g e
i estão em I[X], então g = (i + h.f)g = i.g + h(fg) ∈ I[X]. Segue que I[X] é
primo.
Para a recíproca, seja I[X] um ideal primo em K[X], que é um P.I.D., logo
I[X] é principal. Seja I[X] = (f), para algum f ∈ K[X]. Seja J [X] qualquer
outro ideal tal que (f) ( J [X] ⊂ K[X], onde J [X] = (g). Mas f ∈ J [X] = (g),
logo f = h.g, para algum h ∈ K[X]. Como por hipótese, I[X] é um ideal primo,
h ∈ I[X] ou g ∈ I[X]. Se g ∈ I[X], é uma contradição, (g) ⊂ (f); então
h ∈ I[X] = (f)). Logo h = α.f , para algum α ∈ K[X]. Então f = h.g = α.f.g,
ou seja, f(1 − α)g = 0 e como f 6= 0 e K[X] é de integridade, segue que 1 =
α(X)g(X). Isto implica que 1 ∈ J [X], logo J [X] = K[X]. Segue que I[X] é
maximal.
11
Teorema 1.3.17 Seja f um polinômio não nulo em K[X], onde K é um corpo.
São equivalentes:
a) f é irredutível.
b) O ideal principal (f) é maximal (primo).
c) O anel quociente K[X]/(f) é um corpo.
Demonstração. Provemos que a condição a implica b : Seja J [X] = (g) um
ideal qualquer tal que (f) ( (g) ⊂ K[X].Então f ∈ (g) e portanto f = h.g, h ∈
K[X]. Mas como f é irredutível, então ou h = c 6= 0 ou g = d 6= 0. Sendo K um
corpo, segue-se h = c, então g = a−1f (contradição) . Logo g = d 6= 0 e portanto
1 ∈ (g). Então (g) = K[X], pois 1 = d−1.d = d−1.g. Logo (f) é maximal.
Para provarmos que a condição b implica c, basta provar que todo elemento
não nulo de K[X]/(f) tem inverso. Seja g + (f) 6= (f), com g ∈ K[X]. Então
g /∈ (f). Logo (f) ( ((f), g) ⊂ K[X]. Como (f) é maximal, tem-se que ((f), g) =
K[X], portanto 1 = α.f + β.g. Segue que 1− β.g = α.f , o que implica 1− β.g ∈
(f). Então, 1+(f) = β.g+(f) , ou seja 1+(f) = (g+(f))⊗ (β+(f)). Portanto
g + (f) tem inverso.
Provemos agora que c implica a, completando assim as equivalências. Suponha
f redutível. Então f = g.h, com ∂g ≥ 1 e ∂h ≥ 1. Logo, g.h ∈ (f), ou seja,
g.h + (f) = (f), o que implica g + (f) ⊗ (h + (f)) = 0 + (f). Observe que se
g + (f) = (f) ⇐⇒ g ∈ (f) ⇐⇒ g = α.f . Logo f = h.g = (1 − α.h)f = 0
e como K[X] é de integridade e f 6= 0, tem-se que 1 = α.h e, portanto α e h
são invertíveis, o que dá uma contradição. Se α é inversível, (g) ⊂ (f) e se h
é inversível, então h = cte 6= 0. O mesmo ocorre se h + (f) = (f). Portanto
K[X]/(f) não seria um corpo.
Teorema 1.3.18 Todo polinômio não constante f ∈ K[X] admite pelo menos
um fator mônico irredutível.
Demonstração. De fato, seja S o conjunto dos polinômios p ∈ K[X] tais que p
é polinômio mônico e não constante e p | f . Tem-se que S 6= ∅, pois a−1f ∈ S,
onde a é o coe�ciente líder de f . Segue que existe em S um polinômio p de grau
mínimo. Se g é um divisor não constante e mônico de p, então ∂g ≤ p e g | f ,
logo g ∈ S e, então ∂g = ∂p. Segue que g = p e, portanto p é um fator irredutível
e mônico de f .
Teorema 1.3.19 Todo polinômio não constante f ∈ K[X] é igual a um pro-
duto de uma constante por polinômios mônicos irredutíveis. Esta decomposição
é única, a menos da ordem dos fatores.
Demonstração. A prova será por indução sobre o grau n de f . Se n = 1, então
f = aX + b = a(X + ba−1), que é irredutível. Suponha verdadeiro para todo
12
polinômio de grau menor que n e tome f de grau n. Se f é irredutível, basta
fatorar pelo seu coe�ciente líder. Se f é redutível é possível escrever f = g.h,
onde g, h ∈ K[X], 0 < ∂g < n e 0 < ∂h < n. Da hipótese de indução, vem:
g = a1.g1. · · · gr
h = a2.h1. · · ·hs
onde a1 e a2 são elementos não nulos de K e gi e hi são polinômios mônicos.
Assim,
f = (a1.a2).g1. · · · gr.h1 · · ·hs
é uma fatoração que satisfaz o teorema.
A unicidade será provada também por indução sobre n = ∂f . Se n = 1, então
a1(X+ b1) = a2(X+ b2), com a1 6= 0 e a2 6= 0, então a1 = a2 e a1b1 = a2b2, donde
segue que b1 = b2.
Seja n > 1 e suponha que
f = cp1 · · · pr = dq1 · · · qs
são duas fatorações de f .
Observe que c = d, pois ambos são o coe�ciente líder de f .
Além disso, p1 divide o produto q1 · · · qs,e então divide um dos membros, por
exemplo q1. Como são mônicos e irredutíveis, então q1 = p1. Temos então
f1 = p2 · · · pr = q2 · · · qs
Mas agora ∂f1 < n, então segue da hipótese de indução que a fatoração é
única, a menos da ordem.
Juntando cp1 = dq1, completa-se a prova.
Corolário 1.3.20 Se f ∈ K[X], então existem p1, p2, · · · , pm mônicos e irre-
dutíveis , k ∈ K e inteiros α1, α2, · · · , αm tais que:
f = k.pα11 · · · pαmm
Demonstração. Seja a o coe�ciente líder de f . Pelo teorema anterior, pode-se
a�rmar que existem em K[X], polinômios mônicos irredutíveis p
′
1, p
′
2, · · · , p
′
s tais
que
f = k.p
′
1.p
′
2 · · · p
′
s.
Observe que os polinômios p1, p2, · · · , ps não são necessariamente distintos
dois a dois. Usando-se uma notação conveniente, segue o resultado.
13
1.4 Zeros de um Polinômio
Considere F (R) o conjunto constituído por todas as funções f: R −→ R tais
que existem números reais ao, a1, · · · , an, com n ∈ N, de modo que
f(t) = ao + a1t+ · · ·+ antn,
para todo t ∈ R. Observe que cada uma destas funções é completamente deter-
minada pelo natural n e por ao, a1, · · · , an. Essas funções são chamadas funções
polinomiais. As operações
(f + g)(t) = f(t) + g(t) e (f.g)(t) = f(t).g(t), ∀t ∈ R
dão a F (R) uma estrutura de anel. (exercício 6)
Neste parágrafo, B denotará um domínio de integridade e A um subanel de
B tal que 0A = 0B.
De�nição 1.4.1 Sejam f =
n∑
i=o
aiX
i ∈ A[X] e x ∈ B. O valor de f no elemento
x, denotado por f(x) é dado por f(x) =
n∑
i=o
aix
i ∈ B.
Observação 1.4.2 Observe que se X é a indeterminada e se x = X, então
f(X) =
n∑
i=o
aiX
i = f , justi�cando a notação f(X) para indicar o polinômio f .
De�nição 1.4.3 Um elemento x ∈ B é uma raiz ou um zero de f se f(x) = 0.
Exemplo 1.4.4 Considere f = X2 + 1 em R[X]. Observe que i e −i são raízes
de f , porém f não possui raízes em R.
Teorema 1.4.5 ( Teorema do resto) Se f ∈ A[X] e se a ∈ A, então f(a) = 0
se, e somente se, X − a |f . ( Dizer que X − a |f é equivalente a dizer que a
divisão de f por X − a é exata).
Demonstração. Segue do algoritmo da divisão que existem q e r em A[X] tais
que f = (X − a).q + r, com r = 0 ou ∂r < ∂(X − a) = 1. Note que a condição
f(a) = 0 é equivalente a r = 0, pois f(a) = (a− a).q(a) + r = r.
Segue que f(a) = 0 se, e somente se, X − a | f .
De�nição 1.4.6 O elemento a ∈ A é uma raiz de f ∈ A[X] de multiplicidade
m se (X − a)m | f e (X − a)m+1 - f .
14
De�nição 1.4.7 Dado um polinômio f ∈ A[X], a função polinomial sobre B
determinada pelo polinômio f é a aplicação fB : B −→ B de�nida por fB(x) =
f(x), para todo x ∈ B.
Uma importante operação algébrica com polinômios é a derivação.
De�nição 1.4.8 Dado um polinômio f =
n∑
i=o
aiX
i ∈ A[X], onde A é um
domínio de integridade, de�ne-se a derivada de f , como sendo o polinômio
f ′ =
n−1∑
i=1
aiX
i.
Observe que há uma grande semelhança com a derivada de uma função, mas
neste caso a de�nição é puramente algébrica e não envolve conceitos do Cálculo
Diferencial. Considerando-se a função D : A[X] −→ A[X] dada por D(f) = f ′,
vê-se que D(Xn) = nXn−1, n = 1, 2, · · · ao passo que se g é constante, então
Dg = 0 e D(gf) = gD(f). Logo:
f ′ = D(
n∑
i=o
aiX
i) =
n−1∑
i=1
aiD(X
i)
Teorema 1.4.9 i) D(f + g) = D(f) +D(g);
ii) D(fg) = D(f)g + fD(g).
O seguinte corolário pode ser provado por indução sobre n.(exercício 7.)
Corolário 1.4.10 Para todo n, tem-se D(fn) = nfn−1D(f).
Há uma conexão entre a solução de equações polinomiais e a derivada, dada
pelo teorema a seguir.
Teorema 1.4.11 Seja α um zero de um polinômio f em A[X], onde para qual-
quer m ≥ 1, ma 6= 0 para a 6= 0 em A. Então α é um zero de multiplicidade m
se, e somente se, é um zero de multiplicidade (m− 1) de f ′.
Demonstração. Seja α um zero de multiplicidade m de f .Então f = (X −
α)mq e q(α) 6= 0.
Segue que
f ′ = m(X − α)m−1q + (X − α)mq′ = (X − α)m−1(mq + (X − α)mq′)
e mq(α) + 0.q′(α) 6= 0. Logo α é um zero de multiplicidade (m− 1) de f ′.
Reciprocamente, todo zero do polinômio f é um zero m-uplo para algum
m, (teorema 2.4.15 a seguir) e se é um zero k-uplo de f ′, então mostramos que
m− 1 = k.
15
Exemplo 1.4.12 1) A função polinomial determinada pelo polinômio constante
a ∈ A é de�nida por fB(x) = a, ∀x ∈ B.
2) Sejam f = X3 − X ∈ Z3[X] e B = Z3. Então f(0) = f(1) = f(2) = 0.
Segue que a função polinomial fB é a função nula fB(x) = 0, ∀x ∈ B. mo 3)
Considere os polinômios f = X3 + 1 ∈ Z3[X] e g = X + 1 ∈ Z3[X] e Z3. Tem-se
que f(0) = g(0); f(1) = g(1); f(2) = g(2). Então fB = gB, porém f 6= g.
De�nição 1.4.13 Sejam f, g ∈ A[X]. Diz-se que f é idêntico a g (f ≡ g) se, e
somente se, f(x) = g(x), ∀x ∈ A. Quando f ≡ 0, então f é identicamente nulo.
Teorema 1.4.14 Sejam K um corpo e f ∈ K[X], f 6= 0. Então f tem no
máximo ∂f raízes em K.
Demonstração. A demonstração será por indução sobre n = ∂f .
Se n = 1, então f = αX + β, onde α, β ∈ K e α 6= 0. Se a ∈ K é tal que
f(a) = 0, então αa + β = 0, donde se conclui que a = −β.α−1, ou seja, f tem
uma única raiz.
Suponha que o resultado é verdadeiro para todos os polinômios de grau menor
que n e seja f em K[X], com ∂f = n.
Se f não tem raízes em K, então o resultado está provado, pois tendo zero
raízes, tem no máximo n raízes.
Suponha assim que f tenha uma raiz a ∈ K e que a tenha multiplicidade m.
Segue que m ≤ n, pois (X − a)m | f . Então f = (X − a)m.q, onde q ∈ K[X] e
∂q = n−m.
Desde que (X−a)m+1 -f , então (X−a) -q, pois se (X−a) |q e como (X−a)m |f
implicaria que (X − a)m+1 |f .
Segue do Teorema do resto que q(a) 6= 0, i.é, a não é raiz de q. Agora, se
b 6= a é uma raiz, em K, de f , então 0 = f(b) = (b− a)mq(b).
Como K é um corpo e b 6= a, então q(b) = 0, ou seja, b é uma raiz de q em K.
Logo, qualquer raiz de f , emK, diferente de a, é raiz de q. Como ∂q = n−m < n,
segue da hipótese de indução que q tem no máximo n−m raízes, em K.
Mas, a é uma raiz de multiplicidade m de f . Então f tem no máximo m +
(n−m) = n raízes em K, o que completa a indução e prova o teorema.
1.5 Critério de Eisenstein
Conforme observado anteriormente a veri�cação da irredutibilidade de um
polinômio sobre um corpo é um problema difícil. Um resultado muito importante
na teoria de transformadas polinomiais é o critério de Eisenstein, que dá condições
su�cientes para que um polinômio em Q[X] seja irredutível em Q. Primeiramente
considera-se polinômios com coe�cientes inteiros.
Teorema 1.5.1 Seja f = anX
n + an−1X
n−1 + · · ·+ a1X + ao um polinômio em
Z[X]. Se r/s é uma raíz racional de f com (r, s) = 1, então r | ao e s | an
16
Demonstração. De fato, se r/s é uma raíz racional de f , então multiplicando
f(r/s) por sn, temos a equação:
anr
n + an−1r
n−1s+ · · ·+ a1rsn−1 + aosn = 0
Segue que r |aosn e s |anrn , assim r |ao e s |an , desde que (r, s) = 1.
De�nição 1.5.2 Um polinômio com coe�cientes inteiros é um polinômio primi-
tivo se o máximo divisor comum de todos seus coe�cientes é 1.
O polinômio f = 15X2 + 12X − 9 pode ser escrito como 3(5X2 + 4X − 3),
onde 5X2 + 4X − 3 é um polinomio primitivo.
Lema 1.5.3 (Lema de Gauss) O produto de dois polinômios primitivos é um
polinômio primitivo.
Demonstração. Sejam f = {ai}i∈N e g = {bi}i∈N dois polinômios primitivos em
Z[X].
Se f.g não é primitivo, então algum número primo p seria um divisor de cada
coe�ciente de h = f.g Sejam ak e bl os coe�cientes, de menor indice, não divisíveis
por p, em f e g, respectivamente. Então cada termo do lado direito da equação
abaixo:
ck+l = aobk+l + a1bk+l−1 + · · ·+ ak−1bl+1 + akbl + · · ·+ ak+lbo
é divisível por p, com exceção de akbl. Isto implica que ck+l não é divisível por p,
uma contradição.
Teorema 1.5.4 Seja h ∈ Z[X] irredutível sobre Z[X]. Então h é irredutível
sobre Q.
Demonstração. Seja h ∈ Z[X] e suponha que h = f.g onde f, g ∈ Q[X]. Fato-
rando pelo mínimo multiplo comum dos denominadores e máximo divisor comum
dos numeradores dos coe�cientes, pode-se considerar que h) = (m/n)f ∗.g∗, onde
(m,n) = 1 e f e g são polinômios primitivos, com mesmo grau de f e de g,
respectivamente. Se di é qualquer coe�ciente de f ∗.g∗, então n | mdi, pois h tem
coe�cientes inteiros, assim n | di dado que (n,m) = 1. Pelo Lema de Gauss, f ∗.g∗
é primitivo, assim tem-se que n = 1 e portanto h se fatora em h = (mf ∗)g∗, com
f ∗, g∗ ∈ Z[X]. O resultado geral, para um numero qualquer de fatores, prova-se
por indução.
Teorema 1.5.5 (Critério de Eisenstein) Para um dado número primo p, seja
f = ao + a1X + · · ·+ anXn ∈ Z[X] tal que
an−1 ≡ an−2 ≡ · · · ≡ ao ≡ 0(mod p)
mas an 6≡ 0(mod p) e ao 6≡ 0(mod p2). Então f é irredutível sobre Q.
17
Demonstração.
Suponha que
f = (bsX
s + · · ·+ bo)(ctX t + · · ·+ co).
Pelo teorema anterior, pode-se assumir que ambos os fatores são polinômios
com coe�cientes inteiros. Pode-se assumir também que ou bo ou co não é divisível
por p, pois boco = ao não é divisível por p2. Assumindo que p - ci, para algum i,
desde que por hipótese an = bsct não é divisívelpor p, seja m o menor índice tal
que cm não é divisível por p. Então da equação
am = bocm + b1cm−1 + · · ·+ bmco
vê-se que am não é divisível por p, pois cada termo da direita é divisível por p,
com exceção de bocm. Assim m = n, pois ai é divisível por p, para i < n, logo f é
irredutível porque não pode ser fatorado em um produto de polinômios de grau
menor.
Observação 1.5.6 No critério de Eisenstein, a condição
an−1 ≡ an−2 ≡ · · · ≡ ao ≡ 0(mod p)
pode ser substituída por: p é um divisor do máximo divisor comum destes coe�-
cientes. Observe porém que o critério nem sempre pode ser aplicado. Considere,
por exemplo, o polinômio f = 3X3 + 5X2 − 3X + 4. O m.d.c entre 5, 3, 4 é 1,
logo não existe nenhum primo p que o divida, porém f é irredutível. De fato, se
r - 4, então r = 3 e se s - 3, então s = 2. Temos (2, 3) = 1, logo f não tem raiz
racional.
Observação 1.5.7 Para provar que um polinômio h é irredutível é su�ciente
provar que h(X + c) é irredutível para algum inteiro c, pois se h = f.g, então
h(X + c) = f(X + c).g(X + c). Por exemplo, considerando-se h = X2 + 1, não
se pode aplicar o critério de Eisenstein, porém para h(X + 1) = (X + 1)2 + 1 =
X2 + 2X + 2, pode-se aplicar usando p = 2 e concluindo que h é irredutível sobre
Q. Uma maneira de escolher c para fazer a substituição de X por X + c é usar a
fórmula de Taylor.
18
Capítulo 2
Exercicios
1. Prove que se f = {ai}i∈N e g = {bi}i∈N são dois polinômios em K[X] e,
de�nindo-se a soma f + g = {ci}i∈N por ci = ai + bi, tem-se que {ci}i∈N ∈ K[X].
2. Prove que K[X] com as operações de adição e multiplicação de�nidas em
2.1. é um anel comutativo, com identidade.
3. Sejam f, g ∈ K[X]. Mostre que se f e g são mônicos, então f ∼ g se, e
somente se, f = g.
4.Se p é irredutível e p = f.g, então ou f ∼ p ou g ∼ p e se f ∼ g, então f é
irredutível se, e somente se, g é irredutível.
5. Mostre que a relação de divisibilidade em K[X] pode ser expressa em
termos de ideais principais:
f | g ⇐⇒ (g) ⊂ (f)
ou ainda f ∼ g ⇐⇒ (g) = (f).
6. Considere no conjunto F (R) constituído por todas as funções polinomiais
f : R −→ R, as operações
(f + g)(t) = f(t) + g(t) e (f.g)(t) = f(t).g(t), ∀t ∈ R.
Mostre que essas operações dão a F (R) uma estrutura de anel.
7. Para todo n, tem-se D(fn) = nfn−1D(f).
8.Encontre o m.d.c entre f e f ′, sobre Q.
a) f = X4 −X3 −X + 1
b) f = X3 + 2X2 −X − 2
9. Seja p = anXn+an−1Xn−1 + · · ·+a1X+a0 um polinômio com coe�cientes
racionais. Mostre que p é irredutível sobre Q se, e somente se, q = a0Xn +
a1X
n−1 + · · ·+ an−1X + an é irredutível sobre Q.
10. Liste todos os polinômios mônicos irredutíveis de grau menor ou igual
a 3 sobre Z3. Escreva cada um dos polinômios abaixo como um produto de
polinômios irredutíveis.
a) X2 − 2X + 1
b) X4 + 2X2 + 2X + 2
19
11. Mostre que existem exatamente (p2−p)/2 polinômios mônicos irredutíveis
de grau 2 sobre Zp.
12. Seja f/g uma função racional, onde f, g ∈ R[X].
a) Mostre que se g(X) = h(X)k(X), com (h(X), k(X)) = 1, então existem
polinômios s e t tais que
f/g = s/h+ t/k
b) Mostre que se h(X) = p(X)m, onde p é irredutível, então existem poli-
nômios q, r0, r1, · · · , rm−1 tais que para cada i ou ri = 0 ou deg(ri) < deg(p)
e
s/h = q + rm−1/p+ · · ·+ r0/pm
.
c) Mostre que f/g pode ser expresso como um polinômio mais uma soma de
"frações parciais"da forma:
c/(X + a)m ou c(X + d)/(X2 + aX + b)m.
Dica: Se p e q são relativamente primos, então existem polinômios a e b com
a.p+ b.q = 1. Portanto
1/(p.q) = a/q + b/p.
13. Mostre que se o inteiro positivo n não é um quadrado perfeito, então para
algum primo p e algum inteiro k, tem-se:
X2−n/p2k satisfaz o critério de Eisenstein. Conclua que
√
n não é um número
racional.
14. Seja f = anXn+an−1Xn−1+ · · ·+a1X+a0 um polinômio com coe�cientes
racionais. Mostre que se b 6= 0 e b é uma raiz de f , então 1/b é uma raiz de
g = a0X
n + a1X
n−1 + · · ·+ an−1X + an.
15. Encontre os fatores irredutíveis de X6 − 1 sobre Q.
16. Prove que R[X]/ < X2 + 1 > é isomorfo a C.
17. Prove que Q[X]/ < X2 − 2 > é isomorfo a Q(
√
2).
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