Introdução Limites_conceitos1

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Limite e Continuidade
significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x
suficientemente próximo de c. 
Quando isto ocorre dizemos que "o limite de f(x), à medida que x se aproxima de 
c, é L". 
Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira mesmo quando ou 
quando a função sequer está definida em c. 
Limite de Funções
Funções contínuas – Exemplo
f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001 0.4 0.3998 0.3988 0.3882 
À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e consequentemente
temos a igualdade
Sempre que se verifique a igualdade , diz-se que f é contínua em x = c. 
A igualdade não é válida para todas as funções. Vejamos uma função onde tal não acontece:
Seja
O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas 
e consequentemente g não é contínua em x = 2.
Continuidade de uma função
Assim, o conceito de continuidade de uma função em um ponto de seu domínio pode ser colocado
na forma de uma definição precisa:
Definição: f é contínua em um ponto a de seu domínio quando . Quando f é
contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é contínua.
Observamos que para questionarmos se uma dada função é contínua em determinado ponto,
precisamos tomar o cuidado de verificar se esse ponto pertence ao domínio da função. Se tal ponto
não está no domínio, a função não é contínua nesse ponto.
Assim, é uma função contínua em todos os pontos de seu domínio , porém não é
contínua no conjunto R, pois não é contínua em x=0, uma vez que não está definida nesse ponto.
Continuidade de uma função
Análise Gráfica de limites
Análise Gráfica de limites
Análise Gráfica de limites
Análise Gráfica de limites
Análise Gráfica de limites
Exemplo 1
Determinar o limite da função f(x) = x² – 5x + 3, quando x tende a 4.
Nesse caso, devemos aplicar a seguinte regra: o limite das somas é a soma dos limites. 
Portanto, devemos determinar o limite de cada monômio e depois realizar a soma 
entre eles.
Calculando limites
a) lim𝑥→4 𝑥
2 = 42 = 16
b) lim
𝑥→4
−5𝑥 = −5. 4 = −20
c) lim
𝑥→4
3 = 3
d) lim
𝑥→4
𝑥2 − 5𝑥 + 3 = (4)² - 5.4 + 3 = -1
Exemplo 2:
Calcular o limite da função, quando x tende a –2.
Calculando limites
lim𝑥→−2
2𝑥 −3
𝑥 −2
= 
2 −2 −3
−2−2
=
−4−3
−4
=
−7
−4
=
7
4
Se f(x) é uma função real, então o limite de f em x aproximando-se do infinito é L, denotado
se e somente se para todo existe S > 0 tal que sempre x > S
Similarmente, o limite de f em x aproximando-se do infinito negativo é L, 
denotado
se e somente se para todo existe S < 0 tal que sempre x < S.
Por exemplo
Limites envolvendo infinito
Outro exemplo: Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos analisar o comportamento numérico desta 
função pelas tabelas a seguir.
Quando x -> 0, por valores maiores que zero (x -> 0+) os valores da função crescem sem limite.
Comportamento de f à esquerda de x=0
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001
f(x) -1 -10 -100 -1000 -10000
Comportamento de f à direita de x=0
x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
f(x) 1 10 100 1000 10000
Limites envolvendo infinito
Quando x -> 0, por valores menores que zero (x-> 0_) os valores da função decrescem sem limite.
Observamos que próximo de x=0, o comportamento da função é estranho.
Limites envolvendo infinito
Analisaremos agora o comportamento de h(x)=1/x, quando x cresce arbitrariamente (x ) ou
quando x decresce arbitrariamente (x - ).
Comportamento de h para x pequenos
x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000
h(x) -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001
Comportamento de h de h para x grandes
x 1 10 100 1000 10000 100000
h(x) 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
Limites envolvendo infinito
Pelas tabelas observamos que:
Limx + h(x) = 0
Limx - h(x) = 0
e quando construimos o gráfico de h, observamos que existe uma reta (assíntota) horizontal que é a 
reta y=0, que nunca toca a função, mas se aproxima dela em + e em - .
Limites envolvendo infinito