Questão resolvida - Calculando a integral dupla Rysen(xy)dA, onde R[1,2]x[0,pi], obtém-se - Calculo I - Faculdade Eniac

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- Calculando a integral dupla , onde , obtém-seysen xy dA∫
R
∫ ( ) R = 1, 2 x 0, 𝜋[ ] [ ]
 a. □ -3
 b. □ 1
 c. □ 5
 d. ⬛ 0
 e. □ 2
 
 
Resolução:
 
De acordo com as informações apresentadas pelo enunciado, uma representação gráfica 
aproximada dessa região que desejamos saber o volume é vista abaixo;
 
 
x
z
21
𝜋
0
f x, y = ysen xy( ) ( )
Os limites de integração são definidos pelo retângulo que é a base do sólido e está no eixo 
;xy
 
Veja que em o retângulo vai de a , em y o retângulo vai de a , com isso, podemos x 1 2 0 𝜋
escrever a integral dupla do volume desejado como;
 
V = ysen xy dxdy
0
∫
𝜋 2
1
∫ ( )
Resolvendo;
 
V = ysen xy dxdy
0
∫
𝜋 2
1
∫ ( )
 
Integrar, primeiro, na forma indefinida e em relação a ;x
 
ysen xy dxdy, u = xy du = ydx ydx = du dx =∫∫ ( ) → → → du
y
mas; u = xy, então ysen xy dxdy = - cos xy dy→∫∫ ( ) ∫ ( )
 
 
x
y
1 2
𝜋
0
Assim ysen u dy = sen u dudy = -cos u dy = - cos u dy→∫∫ ( )du
y
∫∫ ( ) ∫( ( )) ∫ ( )
Voltando para a integral definida, temos;
 
V = ysen xy dxdy = - cos xy dy = - cos 2y - cos y dy =
0
∫
𝜋 2
1
∫ ( ) ∫ ( )
2
1 0
∫
𝜋
( ( ) ( ))
 
V = cos y - cos 2y dy = cos y dy - cos 2y dy = sen y - cos 2y dy
0
∫
𝜋
( ( ) ( ))
0
∫
𝜋
( )
0
∫
𝜋
( )) ( )
𝜋
0 0
∫
𝜋
( ))
 
V = sen 𝜋 - sen 0 - cos 2y dy = 0 - 0 - cos 2y dy = - cos 2y dy( ) ( )
0
∫
𝜋
( ))
0
∫
𝜋
( ))
0
∫
𝜋
( ))
 
 
Vamos resolver a integral que restou em sua forma indefinida;
 
1)
 
cos 2y dy, fazemos t = 2y dt = 2dy 2dy = dt dy =∫ ( ) → → → → dt
2
 
 
Então : cos 2y dy = cos t = cos t dt = sen t + c∫ ( ) ∫ ( )dt
2
1
2
∫ ( ) 1
2
( )
 
mas, t = 2y cos 2y dy = sen 2y + c→∫ ( ) 1
2
( )
 
Voltando para a integral definida, o volume é;
 
V = sen 2y = - sen 2𝜋 - - sen 2 ⋅ 0 = - ⋅ 0 + sen 0 = - 0 + ⋅ 0
1
2
( )
𝜋
0
1
2
( )
1
2
( )
1
2
1
2
( )
1
2
 
V = 0 u. v.
 
 
(Resposta )