Usando coordenadas polares, qual é o valor da integral dupla: x2 + 2 dxdy, onde do plano xy limitado por x2 + y 2 = + y2 = 9? a. 3 b. 38 3 c. 17 3...

Para resolver essa integral dupla usando coordenadas polares, precisamos primeiro encontrar os limites de integração em termos de r e θ. A região de integração é limitada pelas curvas x² + y² = 9 e y² = x². Podemos reescrever essas equações em coordenadas polares como r² = 9 e r² cos² θ = r² sen² θ, respectivamente. Simplificando a segunda equação, obtemos r = 3 cos θ sen θ. Agora podemos escrever a integral dupla em coordenadas polares: ∫∫R (x² + 2) dA = ∫θ=0 to 2π ∫r=0 to 3cosθsenθ (r² cos² θ + 2) r dr dθ Resolvendo a integral interna em relação a r, obtemos: ∫r=0 to 3cosθsenθ (r² cos² θ + 2) r dr = [1/3 r³ cos² θ + 2r] de r=0 a r=3cosθsenθ Substituindo os limites de integração e resolvendo a integral externa em relação a θ, obtemos: ∫θ=0 to 2π [1/3 (3cosθsenθ)³ cos² θ + 2(3cosθsenθ)] dθ = 38/3 Portanto, a resposta correta é a letra b) 38/3.