Exercício de aula-1

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Exemplo de aula – Projeto do controlador PI
Supor uma planta, G(s), com a seguinte função de transferência:
Projetar o controlador PI (proporcional-integrativo) para o sistema, de forma a anular o erro em regime permanente.
1) Cálculo do tempo integrativo (Ti)
Sendo: 
: É o quanto em graus o controlador terá que atrasar na fase do sistema [graus]
: É a frequência de cruzamento do projeto do controlador [rad/s]
: Margem de Fase desejada. Pode ser um critério de projeto
: É o ângulo de fase original do sistema
Critérios de projeto:
 = 5 Hz (frequência de cruzamento)
1.1) Identificar o ângulo de fase no diagrama de Bode do sistema G(s)
Plotagem do diagrama de Bode e identificação dos pontos desejados:
1.2) Cálculo do ângulo 
Agora é possível retornar ao início em que desejávamos obter Ti.
2) A função de transferência do sistema parcialmente compensado 
Plotando o diagrama de Bode de 
O ângulo de fase depois da compensação parcial é igual a -120 graus.
E a margem de fase do sistema após a compensação parcial foi atingida:
 (primeiro critério de projeto atingido).
Note que o ganho do sistema parcialmente compensado foi:
Obs.: 
Porém o projeto requer ainda que o ganho seja unitário na frequência .
3) Cálculo do ganho integrativo Ki e ganho proporcional Kp
O ganho integrativo Ki será multiplicado pela função , de forma que o ganho se torne unitário em .
Então a função de transferência do sistema compensado é:
Aqui tem-se a definição do ganho proporcional Kp:
4) Sistema compensado (totalmente) e diagrama de Bode para confirmar o projeto
O sistema compensado pode ser dado por:
O diagrama de Bode mostra que o ganho é unitário (aproximadamente) e a margem de fase é de 60 graus.
A resposta ao degrau unitário indica o erro nulo em regime permanente.