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DINÂMICA DOS CORPOS
AULA 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Profª Eimi Veridiane Suzuki
CONVERSA INICIAL
Agora entraremos na parte da disciplina que trata da Dinâmica dos corpos. Enquanto a estática
estuda os corpos em repouso ou em movimento constante em equilíbrio, a dinâmica vai estudar os
corpos quando em movimento com aceleração.
Nesta aula vamos ver alguns conceitos básicos relacionados à dinâmica dos corpos, veremos
conceitos de princípios básicos da cinemática: posição, deslocamento, velocidade e aceleração.
Vamos ver como ficam os gráficos dos movimentos retilíneos. E veremos também como analisar o
movimento curvilíneo.
TEMA 1 – INTRODUÇÃO À DINÂMICA
O estudo dos corpos submetidos a uma aceleração se divide em duas partes: cinemática e
cinética. A cinemática se refere aos aspectos geométricos do movimento, ela não vai estar
preocupada com o porquê de o movimento estar acontecendo, ela estudará fatores como posição,
velocidade e aceleração.
Já a cinética vai estudar as forças que atuam no corpo e o movimento que elas ocasionam, ou
seja, a partir de determinada força pode-se prever o movimento do corpo ou ainda calcular qual a
força necessária para produzir determinado movimento.
1.1 CONCEITOS BÁSICOS
Em dinâmica dos corpos, o corpo citado é um conjunto de várias partículas, sem um número
definido, mas que se pegarmos dois pontos quaisquer pertencentes ao corpo a distância entre esses
dois pontos nunca se altera. Se pegarmos, por exemplo, um cão: o animal não pode ser considerado
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um corpo nesta disciplina, pois a distância entre dois pontos quaisquer do cão vai se alterar com o
tempo. Mas, pode-se considerar uma bola ou um carro como um corpo, segundo esta definição.
Outro termo que precisa ser analisado é ponto material, este termo é usado quando não se leva
em conta o tamanho do corpo, ou seja, a análise será feita sem levar em conta sua forma e suas
dimensões, sejam elas grandes como um carro ou um avião ou pequenas como uma bola de gude.
A diferença entre deslocamento e distância percorrida também será importante na cinemática.
No deslocamento só é importante a posição inicial e final, não importa se ele retrocedeu em algum
trecho ou se pegou o caminho mais curto entre os dois pontos. Se um corpo inicia o movimento no
ponto A se move até B e depois volta para A, o deslocamento total dele será zero, pois sua posição
inicial e final será a mesma.
Já distância percorrida é o quanto o corpo se movimentou, ele leva em consideração todo o
percurso, sem levar em conta o sentido do movimento. Se, na mesma situação, um corpo inicia o
movimento no ponto A se move em linha reta até B e depois volta em linha reta também para A, e a
distância em linha reta entre A e B for de 2 metros, por exemplo, a distância total percorrida será de 4
metros.
Para a análise da existência de movimento precisa-se sempre verificar o referencial. Se temos
quatro pessoas em um carro em uma estrada, e o carro está a 80km/h, esta velocidade é do carro
tendo como referencial a estrada, mas se mudarmos o referencial para uma das passageiras do carro
então o carro estará em repouso.
Outro exemplo de referencial é você. Se você está sentado neste momento lendo este texto,
você está em repouso ou em movimento? A resposta é: depende do referencial. Tendo como
referencial sua casa, ou o planeta Terra, você está em repouso. Mas se mudarmos o referencial para o
Sol, como o planeta Terra está sempre em movimento, em relação ao Sol você está em movimento.
1.2 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Cefet-PR). Imagine um ônibus escolar parado no ponto de ônibus e um aluno
sentado em uma de suas poltronas.
Quando o ônibus entra em movimento, sua posição no espaço se modifica: ele se afasta do
ponto de ônibus. Dada esta situação, podemos afirmar que a conclusão ERRADA é que:
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a. o aluno que está sentado na poltrona, acompanha o ônibus, portanto também se afasta do
ponto de ônibus.
b. podemos dizer que um corpo está em movimento em relação a um referencial quando a sua
posição muda em relação a esse referencial.
c. o aluno está parado em relação ao ônibus e em movimento em relação ao ponto de ônibus, se
o referencial for o próprio ônibus.
d. neste exemplo, o referencial adotado é o ônibus.
e. para dizer se um corpo está parado ou em movimento, precisamos relacioná-lo a um ponto ou
a um conjunto de pontos de referência.
Solução: analisando a conclusão ‘a’ podemos ver ela está correta, pois se o aluno está dentro do
ônibus em movimento ele também está em movimento em relação ao ponto de ônibus.
A alternativa ‘b’ também está correta. A alternativa ‘c’ diz que o aluno está parado em reação ao
ônibus, o que está correto pois a posição de um não muda em relação ao outro com o tempo. Esta
alternativa diz também que o aluno está em movimento em relação ao ponto de ônibus, o que é
correto desde que a posição do aluno em relação ao ponto de ônibus vai mudar.
A afirmação da alternativa ‘d’ está incorreta, pois no enunciado é dito que o ônibus se afasta do
ponto de ônibus, ou seja, o referencial para o movimento do ônibus é o ponto de ônibus. Já a
afirmação ‘e’ está correta, pois este é o procedimento correto para se determinar um movimento.
Portanto a resposta ERRADA é a letra ‘d’.
Exemplo 02: Um carro percorre 3 km a direção sul e depois faz uma curva de 90° e percorre
mais 4 km na direção oeste. Qual foi seu deslocamento e qual foi a distância total percorrida pelo
carro.
Solução: Como o deslocamento só se importa com o ponto inicial e final, o deslocamento será
uma linha reta entre um ponto e outro, então é formado um triângulo retângulo.
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Deslocamento = ∆x = 5 km.
Já a distância total percorrida leva em consideração todo o percurso, portanto:
Distância total percorrida = 3 + 4 = 7 km.
TEMA 2 – MOVIMENTO RETILÍNEO
Começaremos estudando o movimento retilíneo de um ponto material onde será determinada a
posição, velocidade e aceleração para cada instante de tempo.
2.1 POSIÇÃO
No movimento retilíneo a trajetória do ponto material será em linha reta. Definimos uma origem
da reta com o ponto O que será fixo e determinamos também qual será o sentido positivo e qual
será o sentido negativo da reta. A distância entre o ponto O e a posição do ponto material naquele
instante de tempo será chamado de x, como mostra a Figura 1, e ela será coordenada de posição do
ponto.
Figura 1
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2011.
Na Figura 1 o ponto P é positivo, pois nesta representação à direita de O será positivo, portanto,
se o ponto P estivesse à esquerda da origem x seria negativo. Outro ponto que deve ser observado é
que posição é uma quantidade vetorial, ou seja, além de uma intensidade ela também possui uma
direção e um sentido. Na Figura 1 a direção é no sentido do eixo x.
Se um ponto material está numa posição inicial, que chamaremos de xo, e depois de um tempo
ele se encontra em um segundo ponto, x, esta variação da posição do ponto material é chamado de
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deslocamento e é representado por ∆x (Figura 2), sendo que o x diz que estamos falando de posições
e o ∆ indica a variação. O deslocamento também é uma grandeza vetorial, e tanto o deslocamento
quanto a posição têm sua unidade em metros (m).
Figura 2
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2011.
Se x for maior do que xo o deslocamento será positivo e se xo for maior do que x, o
deslocamento será negativo.
2.2 VELOCIDADE
A velocidade é uma grandeza vetorial, ou seja, possui módulo, direção e sentido, que relaciona a
variação da posição em um determinado espaçode tempo. Pelo S.I. a unidade de velocidade é m/s.
Neste capítulo iremos mostrar a diferença entre velocidade média escalar e velocidade escalar
instantânea.
Velocidade média é a velocidade necessária para vencer um determinado espaço em um
determinado tempo, ela não se preocupa se houve variação na velocidade, apenas analisa a média
das velocidades e é dada pela divisão do deslocamento pelo tempo (Figura 3):
Figura 3
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Fonte: Adaptado de Beer et al., 2019.
Quando não se possui a direção ou o sentido da velocidade média, a chamamos de escalar, ou
seja, velocidade média escalar.
Para se obter a velocidade escalar instantânea, ou seja, a velocidade do ponto material em um
determinado instante, pode-se reduzir ∆t para valores cada vez menores e em consequência valores
de deslocamento cada vez menores também até que se obtém:
Ou ainda:
Se o valor de v for positivo isso significa que o ponto está se movendo no sentido positivo de x,
se for negativo significa que o valor de x está diminuindo.
2.3 ACELERAÇÃO
A aceleração relaciona a variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, quando a
velocidade é constante, ou seja, não muda em relação ao tempo, a aceleração é nula. No S.I. a
unidade da aceleração é m/s2.
Na aceleração também se tem a aceleração média e a aceleração instantânea.
A aceleração média representa a média das acelerações no espaço de tempo estudado, sem se
importar se houve uma variação da mesma durante esse espaço de tempo. E é definida como:
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 A aceleração instantânea visa determinar a aceleração do ponto material em um determinado
instante de tempo, e para isso a partir da equação da velocidade média pegando ∆t cada vez
menores, e por consequência ∆v cada vez menores também:
Ou ainda:
Se a aceleração é um valor positivo, isso significa que a velocidade escalar está aumentando, ou
ainda, pode-se dizer que a velocidade está aumentando no sentido positivo ou diminuindo no
sentido negativo. Da mesma maneira se a aceleração é um valor negativo, isso significa que a
velocidade escalar está diminuindo, ou ainda, pode-se dizer que a velocidade está aumentando no
sentido negativo ou diminuindo no sentido positivo.
A partir da regra da derivação em cadeia tem-se:
 E como: 
Portanto:
2.3 EXEMPLO
Exemplo 01: (Hibeller, 2011). Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta com uma
velocidade , onde t é dado em segundos. Quando t=1s, a partícula está localizada
10 metros à esquerda da origem. Determine a aceleração quando t=4s, o deslocamento de t=0 para
t=10s e a distância que a partícula percorre durante este período.
Solução: Organizando os dados fornecidos:
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𝑣 = (12−3𝑡²)𝑚/𝑠
Para 𝑡 = 1𝑠; 𝑥 = −10𝑚
Para 𝑡 = 4; 𝑎 = ?
Para 0 < 𝑡 < 10; Δ𝑥 = ?; distancia percorrida = ?
Como 𝑣 = 𝑓(𝑡), a aceleração pode ser dada com:
 
Para 𝑡 = 4:
E:
Para 𝑡=0:
Para 
Portanto 
Agora para achar a distância percorrida:
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Podemos então verificar dois trechos: entre 0 e 2s e entre 2 e 10s.
TEMA 3 – MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME E MOVIMENTO
RETILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Aqui estudaremos alguns casos específicos de movimento retilíneo: o movimento retilíneo
uniforme e o movimento retilíneo uniformemente acelerado.
3.1 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
Neste tipo de movimento a velocidade permanece constante, e isso acontece quando a
aceleração é nula para qualquer valor de t.
Sabendo que v é constante podemos fazer a seguinte integração a partir da equação abaixo:
Resolvendo a integral tem-se:
Lembrando que esta equação encontrada só pode ser usada quando a aceleração é nula, ou
seja, a velocidade é constante.
3.2 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Quando a aceleração é constante pode-se integrar as equações abaixo para se obter as fórmulas
que relacionam aceleração, velocidade, posição e tempo.
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Tendo como base a suposição que quando t = 0: v = vo e x = xo. Iniciando-se com a segunda
fórmula:
Integramos:
Resolvendo a integral tem-se:
Para a primeira fórmula:
Sabendo que  e substituindo:
Integramos:
Resolvendo a integral tem-se:
Para a última fórmula:
Integramos, sabendo que a aceleração é constante:
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Resolvendo a integral tem-se:
Lembrando que para utilizarmos as equações de movimento retilíneo uniformemente acelerado
a aceleração deve ser constante.
3.3 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Hibeller, 2011). Um carro parte do repouso e com aceleração constante chega a
uma velocidade de 15 m/s quando percorre uma distância de 200m. Determine a aceleração do carro
e o tempo exigido.
Solução: Primeiro vamos organizar os dados fornecidos:
Se ele parte do repouso então: 
Como a aceleração é constante pode-se usar as fórmulas que encontramos para quando a
aceleração é constante;
;
Se a distância percorrida é 200m, assumindo se tratar de movimento retilíneo, então
;
Com os valores eu temos: vo, v e ∆x a fórmula que pode ser usada para encontrar a aceleração
é:  .
Portanto: , isolando a variável a: .
Resolvendo a equação encontramos: 
Agora encontramos o valor de t utilizando qualquer uma das duas outras fórmulas que tem o
tempo:
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Ou ainda, como  pode-se considerar e :
Exemplo 02: (Beer et al, 2011) O movimento de um ponto material é definido pela relação
, onde x é expresso em metros e t em segundos. Determinar a posição, velocidade
e a aceleração, quando .
Solução: Com a equação da posição: ,e sabendo que a velocidade é a
derivada da posição pelo tempo e a aceleração é a derivada da velocidade pelo tempo temos:
Então, para , substituímos nas fórmulas para encontrar as incógnitas:
Posição:
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Velocidade:
Aceleração:
TEMA 4 – SOLUÇÃO GRÁFICA PARA PROBLEMAS DE MOVIMENTO
RETILÍNEO
Quando, dentro do movimento retilíneo, temos um movimento variável ou irregular não se tem
apenas uma função contínua que descreve seus elementos, há uma função para cada uma de suas
partes. Para essas ocasiões pode-se representar a relação entre a posição, velocidade, aceleração e
tempo através de gráficos.
Após a confecção de um dos gráficos, que relacionará duas das variáveis: x, v, a e t, outros
gráficos podem ser traçados através das relações encontradas no tema 2 deste texto.
4.1 GRÁFICOS PARA MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME E PARA MOVIMENTO
RETILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Antes de analisar os gráficos dos casos variáveis e irregulares vamos verificar os gráficos dos
casos que já estudamos.
No movimento retilíneo uniforme a aceleração deve ser nula e que faz com que a velocidade
seja constante. Portanto, o gráfico da a – t é uma reta que horizontal nula como mostra a Figura 4 (c).
Neste tipo de movimento a velocidade constante gerará um gráfico v - t com uma reta horizontal
não nula, como na Figura 4 (b). Já o gráfico x-t será uma reta obliqua, Figura 4 (a).
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Figura 4
Fonte: Eimi Veridiane Suzuki.
Para o movimento retilíneo uniformemente variado temos que ter a aceleração constante,
portanto o gráfico a – t é uma linha reta horizontal, Figura 5 (c). A velocidade neste tipo de
movimento gera um gráfico v- t linear com uma reta obliqua, Figura 5 (b). Já o gráfico x – t será uma
parábola, Figura 5 (a).
Figura 5
Fonte: Eimi Veridiane Suzuki.
4.2 GRÁFICOS DOS CASOS VARIÁVEIS E IRREGULARES
No tema anterior foram vistas as equações:
   e  
Com a primeira equação e a definição de derivada pode-se concluir que em um gráfico x – t ainclinação do gráfico em um determinado ponto nos dá a velocidade neste instante, como na Figura
6.
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Figura 6
Fonte: Adaptado de Beer et al., 2019.
Portanto, para desenhar o gráfico v – t a partir do gráfico x – t podemos pegar vários pontos do
gráfico x – t, e achando a inclinação dos vários pontos, encontramos a velocidade para aqueles
tempos e com isso podemos desenhar o gráfico v – t.
Seguindo a mesma linha de raciocínio para a segunda equação, temos que em um gráfico v – t, a
inclinação do gráfico em um determinado tempo nos fornecerá a aceleração para este ponto, como
mostra a Figura 7.
Figura 7
Fonte: Adaptado de Beer et al., 2019.
Para achar o gráfico da aceleração (a – t) a partir do gráfico v – t, pega-se vários pontos do
gráfico e com a inclinação dos pontos do gráfico descobre-se as acelerações para aqueles instantes
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de tempo. Com esses dados, então, é possível traçar o gráfico a – t.
Com o gráfico da posição (x – t) temos que derivar para encontrar o gráfico da velocidade,
trecho por trecho, da mesma maneira que para encontrarmos o gráfico da aceleração temos que
derivar trecho por trecho do gráfico da velocidade. Como a derivada transforma um polinômio de
grau n em um polinômio de grau n – 1, se o gráfico da posição for uma parábola, um polinômio do
segundo grau, ele irá gerar um gráfico com uma linha obliqua, um polinômio do primeiro grau, que
irá gerar um gráfico de aceleração constante, um polinômio de grau zero. 
Caso o caminho inverso seja necessário, com o gráfico a – t obter-se o gráfico v – t deve-se
integrar a equação .
Esta fórmula nos diz que a área abaixo do gráfico entre dois instantes de tempo nos dá a
variação da velocidade no mesmo espaço de tempo, como mostra a Figura 8.
Figura 8
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Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2011.
 No exemplo da Figura 8 foi determinado a variação da velocidade para o intervalo de tempo de
t = 0 até t = t1.
Da mesma maneira para se determinar o gráfico x – t a partir do gráfico v – t, deve-se integrar a
equação 
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Esta fórmula nos diz que a área abaixo do gráfico entre dois instantes de tempo quaisquer nos
fornece a variação o deslocamento para aquele espaço de tempo, como mostra a Figura 9.
Figura 9
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2011.
4.3 EXEMPLOS
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Exemplo 01: (Beer et al., 2019) A figura mostra o diagrama v – t de um ponto material m
movimento retilíneo. No instante inicial, x = - 8m. Esboce os diagramas a – t e x- t, para 0 < t < 20s e
determine (a) a distância total percorrida pelo ponto entre t = 0 e t = 15 s e (b) os instantes para os
quais o ponto passa pela origem.
Solução: Primeiramente vamos construir a curva a - t.
Para 0 < t < 5s o ∆t=5s; ∆v=0, portanto 
Para 5 < t < 9s o ∆t=4s; ∆v=4, portanto 
Para 9 < t < 15s o ∆t=6s; ∆v=-12, portanto 
Para 15 < t < 20s o ∆t=5s; ∆v=0, portanto 
Desenhando:
Agora vamos construir a curva x – t, calculando a área abaixo do gráfico v - t:
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Para 0 < t < 5s : 
Para 5 < t < 9s: 
Para 9 < t < 12s: 
Para 12 < t < 15s: 
Para 15 < t < 20s: 
Para traçar o gráfico x – t deve-se lembrar que xo = - 8m, e que aonde, no gráfico v – t, temos
linha obliquas termos parábolas em x – t. Uma maneira de determinar a curvatura da parábola é
achando outro valor da curva:
Para 5 < t < 7s: 
Com a variação de x em cada trecho traçamos:
a. Distância total percorrida pelo ponto entre t = 0 e t = 15 s
b.
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c. Para achar os instantes para os quais o ponto passa pela origem vamos observar o gráfico. A
curva mostra que temos 2 instantes em que a x = 0.
Para 0 < t < 5s, como a aceleração neste trecho é nula:
Para 15 < t < 20s, como a aceleração neste trecho é nula também:
E como cada uma desses cálculos foi feito levando em conta os dados do trecho:
 
Portanto, a distância total percorrida pelo ponto entre t = 0 e t = 15 s foi de 44 metros e os
instantes para os quais o ponto passa pela origem são 4 segundos e 18 segundos.
Exemplo 02: (Hibbeler, 2011). Um míssil partindo do repouso move-se ao longo de uma pista
reta e por 10s tem uma aceleração, como mostrado. Trace o gráfico v-t que descreve o movimento e
descubra a distância percorrida em 10s.
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Solução: Vamos descobrir a velocidade nos tempos 5 e 10s com a equação da aceleração que
nós vimos na teoria e a equação da aceleração dada no gráfico:
Quando  :
Agora fazemos a mesma coisa para  
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Quando  :
Como o gráfico é uma parábola, pegamos mais um ponto para formar a curva:
Quando  :
Quando  :
 
 
 
Para encontrar a distância em 10s usamos, inicialmente o intervalo de :
Agora fazemos a mesma coisa para  
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TEMA 5 – MOVIMENTO CURVILÍNEO
O movimento curvilíneo acontece quando uma partícula se move ao longo de uma curva. Essa
partícula ainda vai ter uma posição, velocidade e aceleração, e todas são grandezas vetoriais, o que
será muito importante neste tema pelo movimento ser curvilíneo.
5.1 MOVIMENTO CURVILÍNEO GERAL
No movimento curvilíneo o vetor posição será medida a partir da origem do sistema, e chamado
de r (Figura 10). O deslocamento será dado por ∆r, como na Figura 11, e é r’ – r. Observe que ∆r e x
são diferentes, o primeiro é uma linha reta e o segundo curva.
Figura 10
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2011.
Figura 11
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Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2011.
De maneira similar ao que foi visto:
O vetor velocidade sempre será tangente a curva. O vetor aceleração será a resultante de dois
componentes, o primeiro no sentido da velocidade que será responsável por aumentar ou diminuir o
módulo da velocidade. A segunda componente da aceleração é apontada para a origem e é
responsável por manter o movimento curvo, sem ela o movimento seria retilíneo.
5.2 MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
Para se estudar o movimento de um projétil, estuda-se separadamente as componentes verticais,
eixo y, das horizontais, eixo x. Portanto o início do movimento terá a posição (xo; yo) e a velocidade
inicial será (vox; voy). A aceleração vertical, ou em y, é a gravidade que neste curso será considerada
9,81 m/s² para baixo e a aceleração horizontal, caso a resistência do ar seja desprezada será nula.
Outro ponto importante é verificar o sentido de cada vetor, pois isso influenciará no resultado.
Devemos sempre verificar se o vetor está orientado no sentido negativo ou positivo. Temos como
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exemplo a aceleração da gravidade, que sempre é para baixo, e tomando o sentido mais usado de y,
ou seja, positivo para cima e negativo para baixo, a gravidade é negativa.
Na direção em que a aceleração é nula, ou seja, a horizontal pode-se usar a equação de
movimento retilíneo uniforme, vista anteriormente:
Na direção em que a aceleração é a aceleração da gravidade g, a direção vertical, pode ser usada
as seguintes equações:
Aonde são usadas as equações de movimento retilíneo uniformemente acelerado apenas
substituindo a aceleração a pela gravidade – g.
5.3 MOVIMENTO CURVILÍNEO / COMPONENTES: NORMAL E TANGENCIAL
Em movimento curvilíneo falamos que a velocidade sempre é tangencial e a aceleração possui
duas componentes, uma tangencial e a outra apontando para o centro da curvatura, ou seja, normal.
Para indicaressas direções temos os vetores  e   , que são vetores unitários que indicam a
direção e o sentido do módulo que o acompanha. Para a velocidade temos:
Ou seja, a velocidade vetorial é igual ao módulo da velocidade, ou também conhecida de
velocidade escalar, mais o veto unitário tangencial.
Já a aceleração tem dois componentes que são:
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Ou ainda, a resultante:
Aonde o ρ é o raio da curvatura da trajetória.
5.4 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Beer et al., 2019). Dispara-se um projétil, da extremidade de uma colina de 150 m
de altura, com uma velocidade inicial de 180 m/s, num ângulo de 30° com a horizontal.
Desprezando-se a resistência do ar, determinar (a) a distância horizontal da arma ao ponto onde o
projétil atinge o solo, (b) a altura máxima que o projétil alcança em relação ao solo.
Fonte Beer et al., 2019.
Solução: A primeira coisa a ser feita e organizar os dados fornecidos e o que foi solicitado,
tomando como origem o ponto onde o projétil foi lançado:
y = -150m, O 150 é chamado de y pois está na direção vertical é negativo o sentido dele é para
abaixo.
𝑣𝑜 = 180𝑚/𝑠;
𝛼 = 30°;
𝑥 = ?
Elevação máxima = ?
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Com isso percebemos que a velocidade deve ser decomposta em x e y.
Para encontrar a distância horizontal, como na horizontal não temos aceleração, usamos:
. Aonde x é a incógnita, xo zero, a velocidade é constante, portanto vox e percebemos
que precisa-se do tempo, que não temos. Mas podemos determinar o tempo do movimento em y e
então utilizar o tempo achado na fórmula acima:
Resolvendo esta equação do segundo grau chegamos a duas respostas:
 e          t=-1,5678s
Como o tempo não pode ser negativo usa-se a primeira resposta.
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a. Para descobrir a altura máxima do projétil temos que perceber que trabalharemos na vertical e
que quando se atinge a altura máxima a velocidade será nula. Como não temos nem y nem t utiliza-
se:
Agora que temos o tempo:
Mas esse resultado não é em relação ao solo, e sim ao yo que é a colina então adicionamos a
altura da colina:
Portanto, a distância horizontal da arma ao ponto onde o projétil atinge o solo foi de 3.099,9835
metros e a altura máxima que o projétil alcança em relação ao solo foi de 412,844 metros.
Exemplo 02: (Hibbeler, 2011). Quando se projeta a curva de uma autoestrada, é necessário
considerar que os carros viajando a uma velocidade escalar constante de 25 m/s não tenham uma
aceleração que exceda 3m/s². Determine o raio de curvatura mínimo da curva.
Solução: O raio de curvatura é o que chamamos de ρ, para achar o ρ temos que ter a aceleração,
mas se a velocidade é constante a 25 m/s então a aceleração tangencial é zero, portanto a aceleração
dada no enunciado é a no sentido normal:
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FINALIZANDO
Nesta aula, aprendemos que a dinâmica é dividida em duas partes: cinemática e cinética. E
focamos na parte de cinemática que estuda a posição, tempo, velocidade e aceleração de um ponto
material em movimento, vimos as fórmulas que relacionam esses elementos e os gráficos que são
gerados, quando em movimento retilíneo uniforme e movimento retilíneo uniformemente acelerado.
Aprendemos, também, a analisar e calcular elementos com bases em gráficos x – t, v – t e a – t. E no
final da aula estudamos sobre como funciona como se faz a análise do movimento curvilíneo.
REFERÊNCIAS
BEER, P.; JOHNSTON JR, E. R; CORNWELL, J.; SELF, P.; SANGHI, S.   Mecânica Vetorial para
Engenheiros: Dinâmica. 11. ed. Porto Alegre: AMGH Editora LTDA, 2019.
HIBBELER, R.C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do
Brasil Ltda, 2011.