SIMULADO MODELAGEM MATEMÁTICA

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SIMULADO MODELAGEM MATEMÁTICA 
 
 
1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Para evitar erros de cancelamento em operações de subtração de dois números 
numa notação de ponto flutuante, é comum reorganizar as operações. Seja a 
expressão: 
s=√ x+1−√ x �=�+1−� 
onde x=100000�=100000 num computador FP(10,5,−6,6)��(10,5,−6,6), 
observe que nesse computador x+1=x�+1=�, para x=100000�=100000, 
resultando s=0�=0. Determine uma expressão equivalente e o seu valor 
para x=100000�=100000. 
 
 ln(√ x+1+√ x )e1,5811x10−3��(�+1+�)e1,5811�10−3 
 1√ x+1 +√ x e1,5811x10−31�+1+�e1,5811�10−3 
 x2√ x2+1 +1e0,013x10−3�2�2+1+1e0,013�10−3 
 1√ x+1 −√ x e1,5811x10−31�+1−�e1,5811�10−3 
 ln(√ x+1−√ x )e1,5811x10−3��(�+1−�)e1,5811�10−3 
Respondido em 19/03/2023 13:22:15 
 
Explicação: 
Gabarito: 1√ x+1 +√ x e1,5811x10−31�+1+�e1,5811�10−3 
Justificativa: 
Tem-se que a expressão equivalente pode ser obtida da seguinte maneira: 
s=√ x+1−√ x �=�+1−� 
ou seja, 
s=1√ x+1 +√ x �=1�+1+� 
Então, o valor de s para x=100000�=100000 é 
s=1√ x+1 +√ x =12√ 100000 =1,5811×10−3�=1�+1+�=12100000=1,5811×10−3 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Calcule o valor aproximado de x na equação √ x +√ x−1=3�+�−1=3, utilizando o 
método de Newton com chute inicial igual a 6 e com 5 iterações. 
 
 
1.7777 
 2.7777 
 0,2777 
 
0,32000 
 
0,1777 
Respondido em 19/03/2023 13:25:16 
 
Explicação: 
Gabarito: 2.7777 
Justificativa: 
Substituindo os dados da questão e fazendo a i=x�=�, temos a seguinte função, na qual 
desejamos encontrar a raiz: 
f(x)=√ x +√x−1−3�(�)=�+�−1−3 
Aplicando o método de Newton: 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
 
def f(x): 
return np.sqrt(x) + np.sqrt(x-1) -3 
 
def df(x): 
return 1/2*((1/np.sqrt(x)) + (1/np.sqrt(x-1))) 
 
x= np.linspace(1,10,1001) 
y= f(x) 
plt.plot(x,y) 
 
def newton(chute, iteracoes=10): 
raiz = chute 
 
for i in range(iteracoes): 
raiz = raiz - f(raiz)/df(raiz) 
return raiz 
 
print(`x=¿,newton(6,5)) 
 
x=2.777777777777777 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Foram dados um conjunto de coordenadas abaixo com finalidade de encontrar um 
polinômio interpolador, então foram utilizados três Métodos: Combinação linear de 
monômios, Lagrange e Newton, obtendo respectivamente os polinômios p(x), l(x) e 
n(x), quando calcula-se p(1.5) , l(1.5) e n(1.5), pode-se afirmar que: 
 
 
 
p(1.5) > l(1.5) > n(1.5) 
 p(1.5) = l(1.5) = n(1.5) 
 
p(1.5) = l(1.5) < n(1.5) 
 
p(1.5) < l(1.5) < n(1.5) 
 
p(1.5) < l(1.5) = n(1.5) 
Respondido em 19/03/2023 13:26:19 
 
Explicação: 
Pela definição de interpolação e como vimos nos exemplos do módulo 3, todos os métodos 
apresentam o mesmo resultado quando se utiliza o mesmo conjunto de dados. 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Durante um experimento físico em um laboratório foram obtidos os seguintes dados: 
 
Determine a função qf(x)=m1log(x)+m2cos(x)+m3 ex ue melhor se ajuste aos dados e 
calcule f(5.1) 
 
 
6.41 
 4.41 
 
8.41 
 
5.41 
 
7.41 
Respondido em 19/03/2023 13:28:57 
 
Explicação: 
Executando o seguinte script: 
 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - cos(x) no 
intervalo de 1 a 2. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2: 
 
 
1,47217 
 
1,41217 
 
1,45217 
 1,43217 
 
1,49217 
Respondido em 19/03/2023 13:33:01 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- A técnica de integração a ser utilizada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de partições (n) 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = x - cos(x); 
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 1; 
- O valor final do intervalo de integração é 2; e 
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python 
indicado a seguir: 
 
import scipy as sp 
from scipy import integrate 
func = lambda x: x - sp.cos(x) 
result = integrate.romberg(func, 1, 2, show=True) 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de cos(-x) no intervalo 
de 0 a 1. Divida o intervalo de integração em 10 partes. Utilize o método de Simpson: 
 
 
0,641 
 
0,941 
 
0,741 
 
0,541 
 0,841 
Respondido em 19/03/2023 13:38:11 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo). 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = cos(-x); 
- O valor inicial do intervalo de integração é 0; 
- O valor final do intervalo de integração é 1; e 
- O intervalo de integração é dividido em 10 partes, de modo que o tamanho de cada 
intervalo é 0,1. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Simpson, temos o código em Python 
indicado a seguir: 
 
import numpy as np 
import math 
f = lambda x: np.cos(-x) 
a = 0; b = 1; N = 10 
x = np.linspace(a,b,N+1) 
y = f(x) 
dx = (b-a)/N 
soma_Simpson = dx/3 * np.sum(y[0:-1:2] + 4*y[1::2] + y[2::2]) 
print("Integral:",soma_Simpson) 
 
O resultado obtido corresponde à alternativa indicada como correta na questão. 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO 
de 1ª ordem y' = sen(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-
Kutta: 
 
 
2,32 
 
2,52 
 
2,42 
 2,22 
 
2,62 
Respondido em 19/03/2023 13:43:27 
 
Explicação: 
Aa resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = sen(y); 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,2. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.22. 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da 
EDO de 1ª ordem y'= y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,30. Utilize o método de 
Runge-Kutta: 
 
 
2,785 
 
2,685 
 2,985 
 
2,585 
 
2,885 
Respondido em 19/03/2023 13:45:32 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y'= y2; 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.98. 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0Adaptado de Cesgranrio - Concurso Petrobrás/2012, cargo: Analista de Pesquisa Operacional 
Júnior 
Determinada fábrica de móveis produz mesas, escrivaninhas e cadeiras de madeira. Esses 
três produtos passam pelo setor de carpintaria. Se o setor de carpintaria se dedicasse apenas 
à fabricação de mesas, 1.000 unidades seriam produzidas por dia; caso o setor se dedicasse 
apenas à fabricação de escrivaninhas, 500 unidades seriam produzidas por dia; se o setor de 
carpintaria se dedicasse à fabricação de apenas cadeiras, seriam produzidas 1.500 cadeiras 
por dia. Cada cadeira contribui em R$100,00 para o lucro da empresa, cada escrivaninha 
contribui em R$400,00 e cada mesa contribui em R$500,00. Considere as seguintes variáveis 
inteiras como variáveis de decisão: 
X1 = quantidade de mesas produzidas 
X2 = quantidade de cadeiras produzidas 
X3 = quantidade de escrivaninhas produzidas 
O valor ótimo da função objetivo deste problema é: 
 
 
150.000,00 
 
50.000,00 
 
750.000,00 
 
650.000,00 
 500.000,00 
Respondido em 19/03/2023 13:53:06 
 
Explicação: 
 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Adaptado de Cesgranrio - Concurso Petrobrás/2012, cargo: Analista de Pesquisa Operacional 
Júnior 
Considere o seguinte problema de programação linear: 
Maximize Z = 2x1 + 3x2 - 4x3 
Sujeito a: 
x1 + x2 + 3x3 ≤ 15 
 x1 + 2x2 - x3 ≤ 20 
 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 
O valor ótimo da função objetivo é: 
 
 
15 
 
25 
 
45 
 35 
 
5 
Respondido em 19/03/2023 13:51:50 
 
Explicação: 
A Figura apresenta a tela de saída do Solver do Excel com a solução ótima para o problema baseado 
nas restrições e na função objetivo.