Séries de Fourier e Ortogonalidade

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EDAM7Série de Fourier e Ortogonalidade
Profa. Dra. Anna Karina Fontes Gomes
IFSP - Campus Cubatão
INSTITUTO FEDERAL
DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
São Paulo
Câmpus Cubatão
Séries de Fourier
I As séries de Fourier surgem no estudo de EDPsnaturalmente, quando buscamos a solução da equação do
Calor.
I Esse tipo de série tem aplicações em diversas áreas deconhecimento como, por exemplo, análise de vibrações,processamento de imagens e sinais, etc.
I Nesta aula, vamos relembrar uns conceitos sobre essasérie e discutir um pouco sobre ortogonalidade dasfunções seno e cosseno.
Série de Fourier
Definição (Série de Fourier)Uma série de Fourier é uma série da Forma
a0
2
+ ∞∑
n=1
[
an cos(nπx
L
)+ bn sin(nπx
L
)]
em que L > 0 é um parâmetro e a0, an bn são os coeficientes dasérie, para n = 1, 2, . . .
Série de Fourier
I A série de Fourier é utilizada para representar funçõesperiódicas como uma soma infinita
Definição (Função Periódica)Sreja f : D → R uma função periódica com peŕıodo T > 0.Então,
f (x + T ) = f (x), ∀ x ∈ D .O menor T que satisfaz a definição é chamado de peŕıodo
fundamental de f .
Série de Fourier - Exemplos
I As funções cos (nπxL ) e sin (nπxL ), para n = 1, 2, . . ., sãoperiódicas com peŕıodo T = 2Ln .
I A função
f (x) = { 1 , 0 ≤ x < π−1 , π ≤ x < 2πtal que f (x + 2π) = f (x), é periódica de T = 2π.
Série de Fourier
I Para as funções periódicas, temos os sequintes resultados.
Teorema 1Se f1, f2, . . . , fn são funções periódicas de peŕıodo T , então asoma
S(x) = c1f1(x) + c2f2(x) + · · ·+ cnfn(x),com c1, c2, . . . , cn constantes, também é periódica de peŕıodo
T .
Teorema 2A função
a0
2
+ ∞∑
n=1
[
an cos(nπx
L
)+ bn sin(nπx
L
)]
é periódica com peŕıodo T = 2L.
Ortogonalidade de funções seno e cosseno
I Em um espaço de funções, definimos o produto internousual de duas funções f e g , definidas em [a, b], por
< f , g >= ∫ b
a
f (x)g (x)dx .
I Sendo assim, duas funções f e g são ditas ortogonais em[a, b] se o produto interno < f , g > é nulo, ou seja,∫ b
a
f (x)g (x)dx = 0.
Ortogonalidade de funções seno e cosseno
I Então, um conjunto de funções {f1, f2 . . . , fm} em umespaço de funções C[−L, L] é um conjunto ortogonal se
< fi , fj >= 0, sempre que i 6= j .
I Se considerarmos as funções cos (nπxL ) e sin (nπxL ), éposśıvel obter relações interessantes com o cálculo doproduto interno entre elas.
Ortogonalidade de funções seno e cosseno
I Seja fn(x) = cos(nπx
L
) e gn(x) = sin(nπx
L
). Temos que
< fn, fm >= ∫ L
−L
cos(nπx
L
) cos(mπx
L
) = { 0 , m 6= n,
L , m = n
< fn, gm >= ∫ L
−L
cos(nπx
L
) sin(mπx
L
) = 0, ∀m, n
< gn, gm >= ∫ L
−L
sin(nπx
L
) sin(mπx
L
) = { 0 , m 6= n,
L , m = n
I Então as funções fn e gn satisfazem as relações deortogonalidade e, com isso, formam um conjunto ortogonalde funções no intervalo [−L, L].
Fórmulas de Euler-Fourier
I Se a série de Fourier converge para uma função f ,escrevemos que
f (x) = a0
2
+ ∞∑
n=1
[
an cos(nπx
L
)+ bn sin(nπx
L
)]
é a série de Fourier de f .
I Os coeficientes da série são definidos pelas fórmulas de
Euler-Fourier
an = 1
L
∫ L
−L
f (x) cos(nπx
L
)
dx , n = 0, 1, 2, . . .
bn = 1
L
∫ L
−L
f (x) sin(nπx
L
)
dx , n = 1, 2, 3, . . .
Fórmulas de Euler-Fourier
DefiniçãoSeja f : R→ R uma função periódica de peŕıodo 2L, integrávele absolutamente integrável em cada intervalo limitado; emparticular, ∫ L−L|f (x)|dx <∞. Os números an, para n ≥ 0, e bn,para n ≥ 1, dados pela Fórmula de Euler-Fourier são definidoscomo os coeficientes de Fourier da função f .
I A exigência da integrabilidade e integrabilidade absolutade f é necessária para que as expressões dadas façamsentido.
Convegência Uniforme da Série de Fourier
Teorema de FourierSeja f : R→ R uma função seccionalmente diferenciável e depeŕıodo 2L. Então a série de Fourier da função f converge, emcada ponto x0 para
1
2
[ lim
x→x+0 f (x) + limx→x−0 f (x)
]
,
ou seja,
1
2
[ lim
x→x+0 f (x) + limx→x−0 f (x)
] = a0
2
+ ∞∑
n=1
[
an cos(nπx
L
)+ bn sin(nπx
L
)]
Fórmulas de Euler-Fourier
I Com an e bn dados pelas Fórmulas de Euler-Fourier, asérie converge para f (x) em todos os pontos em que f écont́ınua e converge para
1
2
[ lim
x→x+0 f (x) + limx→x−0 f (x)
]
nos pontos x0 em que f é descont́ınua.
Fórmulas de Euler-Fourier
Convegência Uniforme da Série de Fourier
TeoremaSeja f periódica de peŕıodo 2L, seccionalmente cont́ınua e talque a derivada primeira é de quadrado integrável. Então asérie de Fourier de f converge uniformemente para f em todointervalo fechado que não contenha pontos de descontinuidadede f .