Produto Vetorial: Conceitos e Exercícios

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Produto Vetorial 
O Produto Vetorial é uma operação entre dois vetores cujo resultado é um 
VETOR, que possui certas características específicas. 
Dados dois vetores, 
u
 e 
v
, e  o ângulo entre esses vetores, o produto vetorial 
entre eles é o vetor 
vu
, com as seguintes características: 
 
1. O módulo de 
vu
 é numericamente igual à área do paralelogramo definido por 
u
 e 
v
, e é dado por 
 senvuvu
. Justifique esta igualdade (utilize o 
desenho abaixo). 
 
v
u
h

 
 
2. Sendo 
u
 e 
v
 vetores em relação à base ortonormal do espaço: 
 kji ,,
, e 
tendo as coordenadas de 
 111 z,y,xu 
 e 
 222 z,y,xv 
, o produto vetorial 
entre 
u
 e 
v
 é dado pelo determinante (na verdade, o símbolo abaixo à direita 
da igualdade não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em 
vez de escalares, no entanto, usaremos esta notação pela facilidade de 
memorização que ela propicia no cálculo do produto escalar): 
222
111
zyx
zyx
kji
vu  
3. Desenvolva o determinante acima. 
 
UFJF 
Geometria Analítica e Sistemas Lineares - 2013 
Produto vetorial de dois vetores 
Prof a Maria Cristina Oliveira 
4. Utilizando as coordenadas de 
u
 e 
v
 dadas no item 2, determine os produtos 
escalares: 
(a) entre o vetor 
vu
 e o vetor 
u
. O que podemos dizer sobre esses vetores? 
(b) entre o vetor 
vu
 e 
v
. O que podemos dizer sobre esses vetores? 
5. O produto vetorial é uma operação que admite a propriedade comutativa, isto é, 
podemos afirmar que 
uvvu 
? Justifique sua resposta. 
6. O produto vetorial entre dois vetores pode ser o vetor nulo? Justifique sua 
resposta e, em caso afirmativo, dê um exemplo. 
Exercícios: 
1) Sejam os vetores 
u
 = (1,-1,-4) e 
v
 = (3,2,-2). Determine um vetor que seja: 
(a) ortogonal a 
u
 e 
v
; 
(b) ortogonal a 
u
 e 
v
 e unitário; 
(c) ortogonal a 
u
 e 
v
 e tenha módulo 4; 
(d) ortogonal a 
u
 e 
v
 e tenha cota igual a 7. 
 
2) Dados os vetores 
u
 = (1,-1,1) e 
v
 = (2,-3,4), calcular: 
(a) a área do paralelogramo determinado por 
u
 e 
v
; 
(b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor 
u
. 
 
3) Dados os pontos A (2,1,1), B (3,-1,0) e C (4,2,-2), determinar: 
(a) a área do triângulo ABC; 
(b) a altura do triângulo relativa ao vértice C.