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Derivação Funções trigonométricas Importância: representação de muitos fenômenos naturais. Derivada: descrição de variações periódicas. 1 Prova: Pela definição Derivada da função seno A derivada da função seno é a função cosseno. h xhx h xfhxf xf hh )(sen)(sen lim )()( lim)( 00 h xxhhx xf h sen)cossen()cos(sen lim)( 0 h xhhx xf h )cossen()1cos(sen lim)( 0 x dx xd cos )sen( Derivação 2 Do slide anterior: Derivada da função seno (continuação) h xhhx xf h )cossen()1cos(sen lim)( 0 h h x h h xxf hh sen coslim )1cos( senlim)( 00 h h x h h xxf hh sen lim)(cos )1cos( lim)sen()( 00 xxf cos)( 1)(cos0)sen()( xxxf Exemplo 1: Calcule a derivada da função 22 sen)(cos/)sen(/)sen( )( x xxx x dxdxxdxxdx xf x x xf sen )( Derivação 3 Prova: Pela definição: Derivada da função cosseno A derivada da função cosseno é dada por: h xhx xf h )(cos)(cos lim)( 0 h xhxhx xf h cos)sensencoscos( lim)( 0 h hxhx xf h )sensen()1cos(cos lim)( 0 x dx xd sen )cos( Lembrando que: hxhxhx sensencoscos)(cos h h x h h xxf hh sen limsen 1cos limcos)( 00 0 1 x dx xd xf sen )cos( )( Derivação 4 Exemplo 2: Calcule a derivada da função xe x xxxx y 2)sen1( )cos(cos)sen)(sen1( xe x x y sen1 cos Rearrumando: xx e x x e x xxx y 22 22 )sen1( sen1 )sen1( cossensen Finalmente: xe x y )sen1( 1 Derivação 5 Movimento Harmônico Simples Exemplo 3: Suponha que o corpo suspenso em uma mola é deslocado em 5 unidades da posição de repouso e solto, no instante t = 0, para oscilar. Sendo sua posição dada por s = 5 cos t, calcule v(t) e a(t). t dt ds tv sen5)( t dt dv ta cos5)( Quando s = 0: velocidade é máxima. Período: 2. Amplitude: 5 A aceleração é o oposto da posição. É nula no repouso. Derivação 6 Exercício 1: Determine a primeira e a segunda derivadas da função H() = (sen ). Exercício 2: Um corpo em uma mola vibra horizontalmente sobre uma superfície lisa. Sua equação de movimento é dada abaixo na qual t é medido em segundos e x em centímetros. Pede-se: ttx sen8)( b. A posição, velocidade e aceleração do corpo em t = 2/3. Em que sentido ele está se movendo nesse instante? a. A velocidade e a aceleração no instante t. Derivação 7 Exercício 3: Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado. )1,0(; cossen 1 xx y Resp: y = 1 - x Derivada de outras funções trigonométricas Como sen x e cos x são funções deriváveis de x, as funções relacionadas a elas também são deriváveis para qualquer valor de x nos quais elas são definidas. x dx xd 2sec )tg( x dx xd 2cosec )cotg( xx dx xd tgsec )sec( xx dx xd cotgcosec )cosec( Derivação 8 Calculando a derivada da cotangente usando a Regra do Quociente: x xxxx x x dx d dx xd 2sen )(cos)(cos)sen()sen( sen cos)cotg( xx xx dx xd 22 22 sen 1 sen )cossen()cotg( x dx xd 2cosec )cotg( Derivação 9 Exercício 1: Determine as derivadas das funções abaixo: b. a. q q p tg1 tg Resp: df/d = sec2 - cosec2 )cosec()(sec)( f 2 2 )tg1( sec q q dq dp Resp: Exercício 2: Encontre todos os pontos da curva y = cotg x para 0 < x < , onde a tangente é paralela à reta y = - x. Determine a(s) reta(s) tangente(s) neste(s) ponto (s). Derivação – Regra da Cadeia Derivada de funções compostas: a derivada da composta de duas funções deriváveis é o produto de suas derivadas calculadas em pontos adequados. 10 Sol: )3( 2 1 2 3 xxy Exemplo 4: Sendo a função composta de e como as derivadas destas funções se relacionam? uy 2 1 xu 3 3; 2 1 ; 2 3 dx du du dy dx dy 2224 )13(169 xxxy Exemplo 5: Sendo a função composta de e verificar a relação das derivadas. 2uy 13 2 xu x dx du xu du dy xx dx dy 6;262;1236 23 dx du du dy dx dy dx du du dy dx dy Derivação – Regra da Cadeia Teorema da Regra da Cadeia: Se f (u) é derivável no ponto u = g(x) e g(x) é derivável em x, então a função composta (f (g (x)) é derivável em x e: 11 dx du du dy dx dy )())(()()( xgxgfxgf Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x), então: Derivação – Regra da Cadeia 12 Exemplo 6: Um objeto se desloca ao longo do eixo x, sendo sua posição dada por x(t). Determine a velocidade do objeto em função de t. )1(cos)( 2 ttx Sol: No exemplo, x é a composta de x = cos u e u = t 2 + 1. tem-se, pela Regra da Cadeia que: Sendo: t dt du u du dx 2;sen )1(sen2sen2 2 ttut dt du du dx dt dx Assim, a velocidade é dada por: )1(sen2)( 2 tt dt dx tv Derivação Regra do “de fora para dentro” É uma forma mais fácil de memorizar a Regra da Cadeia. 13 Derivada da “de fora” )(.))((:))((Se xgxgf dx dy xgfy Derivada da “de dentro” )1(cos)( 2 ttxNo exemplo anterior: tt dt dx 2.)1(sen 2 Derivada da “de fora” Derivada da “de dentro” )1(sen2 2 tt dt dx Derivação – Regra da Cadeia 14 Exemplo 7: Seja a função y(x) abaixo, a composta das funções u(x) e f(x). Encontre dy/dx utilizando a Regra da Cadeia. xey cos Sol: )())(())(( xgxgfyxgfy Generalizando: dx du ee dx d uu xxgu cos)( xexf )( )(cos)( coscos x dx d ee dx d y xx xee dx d y xx sen)( coscos Uso Repetido da Regra da Cadeia - Exemplo 8: Calcule a derivada de f(t). )2sen5(tg)( ttf )2sen5()2sen5(sec)( 2 t dt d ttf ]/)2(.2cos0[)2sen5(sec)( 2 dttdtttf Finalmente: )2sen5(sec2cos2)( 2 tttf Derivação Regra da Cadeia com as Potências de uma Função Sendo f (u) = u n, sabe-se pela regra de derivada da potenciação que: 15 1)( nunuf Assim, se u é uma função diferenciável de x, tem-se, pela Regra da Cadeia, que: dx du unu dx d nn 1 Exemplo 9: Encontre a derivada da função 4 13 12 )( x x xf Sol: Reorganizando, chega-se a: 13 12 13 12 4)( 3 x x dx d x x xf 2 3 )13( 3)12(2)13( 13 12 4)( x xx x x xf 5 3 )13( )12(20 )( x x xf Derivação – Regra da Cadeia 16 Exemplo 10: Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva xy 5sen Sol: xx dx dy cossen5 4 3)21( 1 x y Em qualquer ponto da curva com x ≠ 1/2, o coeficiente angular da reta tangente à curva dada é o quociente de dois números positivos. no ponto x = /3. No ponto x = /3: 3 cos 3 sen5 4 3 xdx dy 32 45 2 1 2 3 5 4 3 xdx dy Exemplo 11: Mostre que o coeficiente angular de qualquer reta tangente à curva é positivo. 3)21( xySol: 4 4 )21( 6 )2()21(3 x yxy Derivação – Regra da Cadeia 17 Exercício 1: Determine a primeira derivada das funções abaixo: b. a. 4 3 1 2 8 1 )25( x xy 7)2(tg)( xxxf Exercício 2: Determine a segunda derivada das funções abaixo: b. a. )5(tg 2 xey x 7)(sen)( 2 xexxf
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