Limites11Mar19_Slide19

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Limites 
 São utilizados para descrever como uma função varia (presença de 
 saltos, continuamente). 
 São fundamentais para o cálculo da velocidade de um objeto. 
Quantifica a taxa de variação da função 
 Taxas de Variação e Limites 
 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 
A velocidade média de um corpo em movimento durante um intervalo 
de tempo é dada pela razão entre a distância percorrida e o tempo 
gasto para percorrê-la. 
 Geometricamente: definição de retas tangentes a curvas, levando 
 ao conceito de derivada de uma função. 
1 
Limites 
 Exemplo 1: Uma pedra cai do topo de um penhasco. Qual sua 
 velocidade média durante: 
a. Os primeiros 2 segundos de queda? 
b. O intervalo entre o segundo 1 e o segundo 2? 
Sol: Queda livre – gravidade é a única força que atua. 
2
2
1
tgy  29,4 ty  Como: 
t
y
vm



02
)0(9,4)2(9,4 22


mv smvm /8,9
12
)1(9,4)2(9,4 22


mv smvm /7,14
a. 
b. 
2 
Limites 
 Exemplo 2: Calcule a velocidade da pedra em queda livre nos 
 instantes t = 1s e t = 2s 
Sol: A velocidade média da pedra no intervalo [t0 , t0 + h] de duração h é: 
h (segundos) vm (início em t0 = 1) vm (início em t0 = 2) 
1 14,7 24,5 
0,1 10,29 20,09 
0,01 9,849 19,649 
0,001 9,8049 19,6049 
0,0001 9,80049 19,60049 
h
tht
t
y 20
2
0 )(9,4)(9,4 

 Não pode ser usada para cálculo da 
velocidade “instantânea“ em to (h = 0) 
Tende a 9,8 m/s a medida 
que o intervalo diminui 
Tende a 19,6 m/s a medida 
que o intervalo diminui 3 
Limites 
Algebricamente, substituindo t0 = 1s na expressão 
h
tht
t
y 20
2
0 )(9,4)(9,4 


h
hh
h
hh
h
h
t
y 2222 9,48,99,4)21(9,4)1(9,4)1(9,4 







Para h ≠ 0: ht
y
9,48,9 

 Assim, pode-se perceber o motivo da 
vm apresentar o valor limite 9,8 m/s à 
medida que h tende a zero (h 0) 
Analogamente, para t0 = 2s: 
h
hh
h
hh
h
h
t
y 2222 9,46,19)4(9,4)44(9,4)2(9,4)2(9,4 







Para h ≠ 0: ht
y
9,46,19 

 Quando h  0 a velocidade média em 
t0 = 2s atinge o valor limite 19,6 m/s. 
4 
Limites 
O coeficiente angular da reta secante 
que passa pelos pontos P e Q é: 
 Taxas Médias de Variação e Retas Secantes 
 A taxa média de variação de uma função arbitrária y = f (x) em relação a x 
 no intervalo [x1, x2] é: 
0;
)()()()( 11
12
12 







h
h
xfhxf
xx
xfxf
x
y
 Geometricamente: 
x
y
m



Taxa de variação da 
função f (x) 
 As taxas instantâneas são os valores limite das taxas médias. 
 As taxas instantâneas estão intimamente ligadas às retas tangentes. 5 
Limites 
 Limites dos Valores das Funções – Definição (informal) 
 Seja f (x) uma função definida ao longo de um intervalo aberto em torno 
 de x0. Se f (x) fica arbitrariamente próximo (tão próximo quanto se queira) 
 de L para todos os valores suficientemente próximos de x0 diz-se que: 
Lxf
xx


)(lim
0
Embora f (1) não seja definida, pode-se tornar o valor de 
f (x) tão próximo de 2 quanto se queira, escolhendo um 
valor de x suficientemente próximo de 1. 
 Exemplo: Como a função se comporta em torno de x = 1? 
Sol: Para x  1: 
1
1
)(
2



x
x
xf
1
)1()1(
1
1
)(
2






x
xx
x
x
xf 1)(  xxf
6 
Limites 
 Assim, diz-se que f (x) se aproxima do limite 2 quando x se aproxima de 1: 
2)(lim
1


xf
x
x f (x) 
0,9 1,9 
1,1 2,1 
0,99 1,99 
1,01 2,01 
0,999 1,999 
1,001 2,001 
2
1
1
lim
2
1



 x
x
x
 ou: 
É importante ressaltar que o valor do limite não 
depende do modo como a função é definida em x0. 
 Por exemplo: 








1,1
1,
1
1
)(
2
x
x
x
x
xg 2)(limmas,1)1( 1


xgg
x
2)1()(lim
1


hxh
x
7 
Limites 
 Exemplos: Determinação de a partir do cálculo de f(x0) )(lim
0
xf
xx
 Sendo f (x) = 5x - 3, calcule: )(lim
2
xf
x
73)2(5)2()35(lim
2


fx
x
 Sendo f (x) = x , calcule: )(lim
2
xf
x
 Função identidade. Neste caso, pode-se dizer que: 0)(lim
0
xxf
xx


 Sendo f (x) = 3 , calcule: )(lim
2
xf
x
 Função constante. No caso da função constante (f (x) = k), pode-se dizer que: 
Assim: 2lim
2


x
x
kkxf
xxxx

 00
lim)(lim Assim: 33lim)(lim
22

 xx
xf
8 
Limites 
 Importante: Uma função pode não ter limite em um dado ponto do seu 
 domínio. 
Não há um valor único de limite para o qual 
a função se aproxime quando x  0 
Salto 
A função cresce demais para ter 
 um limite quando x  0 
9 
Limites 
 Exercícios: Quais as afirmações sobre as funções y = f (x) abaixo são 
 verdadeiras? 
 
10 
existe.)(lim
0
xf
x
).1,1(empontotodoemexiste)(lim 0
0


xxf
xx
0)(lim
0


xf
x
1)(lim
0


xf
x
1)(lim
1


xf
x
0)(lim
1


xf
x
existe.não)(lim
2
xf
x
2)(lim
2


xf
x
existe.não)(lim
1
xf
x
).1,1(empontotodoemexiste)(lim 0
0


xxf
xx
).3,1(empontotodoemexiste)(lim 0
0
xxf
xx
Leis dos Limites 
 Sendo L, M, c , k números reais, e tem-se: 
 
MLxgxf
cx


)]()([lim1. Soma: 
4. Multiplicação por constante: 
5. Quociente: 
Lxf
cx


)(lim Mxg
cx


)(lim
MLxgxf
cx


)]()([lim2. Subtração: 
MLxgxf
cx


)]()([lim3. Produto: 
Lkxfk
cx


])([lim
0,
)(
)(
lim 

M
M
L
xg
xf
cx
11 
Leis dos Limites 
 A partir dos exemplos, pode-se perceber que o cálculo de limites de polinômios e 
 funções racionais é feito por substituição. Contudo, no caso das funções racionais, 
 a substituição só é válida se o limite do denominador não for nulo. 
srsr
cx
Lxf //)]([lim 

6. Potenciação: Se r e s são inteiros, não têm um fator comum e s  0: 
OBS: Se s é par, pressupõe-se L > 0. 
343lim4limlim)34(lim 232323 

ccxxxx
cxcxcxcx
Desde que Lr/s seja um número real 
5
1
5limlim
1limlimlim
5
1
lim
2
24
2
24
2
24










 c
cc
x
xx
x
xx
cxcx
cxcxcx
cx
 Exemplos: Calcule as expressões a partir das regras de limites 
12 
Limites 
Teorema: Limites de Funções Polinomiais: podem ser obtidos por 
 substituição 
 
 Se então: 
 
n
n
n
n xaxaxaaxP 


1
110 ...)(
n
n
n
n
cx
cacacaacPxP  

1
110 ...)()(lim
Teorema: Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por 
 substituição, caso o limite do denominador não seja nulo. 
 
 Se P(x) e Q(x) são polinômios e Q(c)  0, então: 
 
)(
)(
)(
)(
lim
cQ
cP
xQ
xP
cx


13 
Limites 
 Eliminação Algébrica de Denominadores Nulos 
 O último teorema só é válido se Q (c) ≠ 0. Se o denominador for nulo, 
 pode-se reduzir a fração a uma outra (sem denominador nulo) cancelando 
 fatores comuns no numerador e denominador. 
 Identificando fatores comuns: 
 Se Q (c) = 0, então (x – c) é um fator de Q (x). 
 Se o numerador também for nulo em x = c, então (x – c) é um fator comum 
 aos dois. 
 
14 
Limites 
xx
xx
xQ
xP
xx 


 2
2
11
2
lim
)(
)(
lim Exemplo 1: Calcule 
Sol: P(1) = Q(1) = 0. Assim, o fator (x -1) é um fator comum: 
x
x
xx
xx
xx
xx )2(
)1(
)2()1(2
2
2 






para x ≠ 1 
Assim: 3
2
lim
2
lim
12
2
1





 x
x
xx
xx
xx
15 
Apresentam o mesmo limite 
 quando x  1 
Limites 
 Exemplo 2: Calcule 
Sol: Não é possível substituir x = 0 e, assim, não há um fator comum 
 óbvio. Pode-se criar um fator comum fazendo: 
para x ≠ 0 
Assim: 
2
2
0
10100
lim
x
x
x


10100
1
)10100(
100100
10100
1010010100
222
2
2
2
2
2









xxx
x
x
x
x
x
20
1
10100
1
lim
10100
lim
202
2
0




 xx
x
xx
16 
Limites 
Teorema do Confronto (Teorema do Sanduiche) 
 
 Supondo que g(x)  f (x)  h (x) para qualquer x em um intervalo aberto 
 contendo c, exceto possivelmente em x = c e supondo ainda que: 
 
 Lxhxg
cxcx


)(lim)(lim então: Lxf
cx


)(lim
 Exemplo: Sendo , calcule: 11para5)(25
22  xxxfx
)(lim
0
xf
x 
Sol: Como: 55lim25lim
2
0
2
0


xx
xx
então 5)(lim
0


xf
x
17 
Limites 
Teorema 
 
 Se f (x)  g (x) para qualquer x em um intervalo aberto contendo c, exceto 
 possivelmente no próprio x = c e os limites de f e g existem quando x se 
 aproxima de c, tem-se: 
 
 
)(lim)(lim xgxf
cxcx 

 O teorema a seguir apresenta outra propriedade dos limites: 
18 
Limites 
19 
 Exercício 1: Calcule os limites a seguir: 
 
9
3
lim
9 

 x
x
x
a. 
b. 
3
52
lim
2
3 

 x
x
x
Resp: 1/6 
Resp: 3/2 
 Exercício 2: Se: , calcule 
 
4
2
5)(
lim
2



 x
xf
x
)(lim
2
xf
x 
Resp: 5