MecanicaI_EquilibriodeCorposRigidos_18Jun2021

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19/06/2021
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Mecânica para Engenharia Civil I
Equilíbrio de Corpos Rígidos
Prof: Evandro Parente Junior
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
1
Condições de equilíbrio
2
§ Um corpo está em equilíbrio quando as forças e momentos
resultantes em um ponto qualquer são nulas:
𝐅! = #𝐅" = 𝟎 𝐌!! = # 𝐫𝑖 × 𝐅" +#𝐌" = 𝟎
𝐌$ = 𝐌!𝑶 + 𝐫 × 𝐅! = 𝟎Condições necessárias e suficientes:
2
Equilíbrio em 2D
3
§ Sistemas de forças coplanares:
#𝐹% = 0
#𝐹& = 0
#𝑀$ = 0
3
Equilíbrio em 2D
4
§ Alternativa:
#𝐹% = 0
#𝑀$ = 0
#𝑀' = 0
𝑀' = 𝑀$ + 𝐹& , 𝑑% − 𝐹% , 𝑑&
Fx
Fy
dx
dy
MA
∴ 𝑀' = 0 ⟹ 𝐹& = 0
Se 𝑑% ≠ 0:
4
Equilíbrio em 2D
5
§ Alternativa (A, B, C são pontos não colineares):
#𝑀$ = 0
#𝑀' = 0
#𝑀( = 0
𝑀( = 𝑀$ − 𝐹% , 𝑑&
Fx
Fy
dx
dy
MA
∴ 𝑀( = 0 ⟹ 𝐹% = 0 Se 𝑑& ≠ 0
𝑀' = 𝑀$ + 𝐹& , 𝑑% − 𝐹% , 𝑑& ∴ 𝑀' = 0 ⟹ 𝐹& = 0 Se 𝑑% ≠ 0
5
Diagrama de Corpo Livre
6
§ Antes de aplicar as equações de equilíbrio é necessário desenhar o
Diagrama de Corpo Livre (DCL):
• Isolar o corpo rígido do meio externo.
• Desenhar todas as forças e momentos aplicados sobre o corpo
(ações externas e reações de apoio).
• Indicar as forças e momentos conhecidos e desconhecidos.
§ Calcular as incógnitas utilizando as equações de equilíbrio.
§ Apoios são elementos utilizados para impedir os deslocamentos do
corpo rígido.
6
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Apoios
7
Apoio do 1º gênero:
R
Apoio do 2º gênero:
V
H
Apoio do 3º gênero (ou engaste):
V
H
M
7
Apoios
8
8
Apoios
9
9
Apoios
10
10
Apoios
11
Situação real
Idealização
(modelagem)
11
Diagrama de Corpo Livre
12
Situação real DCL
§ Viga uniforme de massa igual a 100 kg:
12
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Diagrama de Corpo Livre
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Situação real
DCL
§ Plataforma com massa igual a 200 kg:
13
Diagrama de Corpo Livre
14
Situação real DCL A
DCL B
Obs: O atrito pode ser desprezado.
§ Tubos lisos com massa igual a 300 kg:
14
Exemplo 1.1
15
§ Determine as reações de apoio da viga abaixo:
DCL
#𝐹% = 600 cos 45o − 𝐵% = 0 𝐵% = 600 cos 45o = 424.3 N⟹
#𝑀' = 100 , 2 + 600 sin 45o , 5 − 600 cos 45o , 0.2 − 𝐴& , 7 = 0
𝐴& =
2236.5
7
= 319.5 N
15
Exemplo 1.1
16
DCL
#𝐹& = 𝐴& + 𝐵& − 100 − 200 − 600 sin 45o = 0
#𝑀$ = 𝐵& , 7 − 200 , 7 − 100 , 5 − 600 sin 45o , 2 − 600 cos 45o , 0.2
𝐴& = 319.5 N
𝐵% = 424.3 N
𝐵& = 404.8 N⟹
Verificação:
#𝑀$ = 0.22 ≈ 0 Ok!
16
Exemplo 1.2
17
§ Determine as reações nos apoios A e B da barra abaixo:
17
Exemplo 1.2
18
§ Determine as reações nos apoios A e B da barra abaixo:
DCL
#𝑀$ = 𝑁' , 0.75 − 60 , 1 − 90 = 0 𝑁' = 200 N⟹
#𝐹% = 𝐴% − 𝑁' sin(30o) = 0 𝐴% = 100 N⟹
100 N
173.2 N
#𝐹& = 𝐴& − 𝑁' cos 30o − 60 = 0 𝐴& = 233.2 N⟹
18
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Exemplo 1.3
19
§ Determine as reações de apoio da estrutura abaixo considerando que a colar A
pode deslizar sem atrito na vertical:
19
Exemplo 1.3
20
§ Determine as reações de apoio da estrutura abaixo considerando que a colar A
pode deslizar sem atrito na vertical:
DCL
#𝐹% = 𝐴% = 0 𝐴% = 0⟹
#𝐹& = 𝑁' − 900 = 0 𝑁' = 900 N⟹
#𝑀$ = 𝑀$ + 𝑁' 3 + 1 cos 45o − 900 , 1.5 − 500 = 0 𝑀$ = −1486 Nm⟹
20
Exemplo 1.4
21
§ Considerando que F1 = 2F2 e que a tração admissível do cabo BC é 1500 N,
determine a carga de falha da estrutura abaixo e a magnitude da reação
correspondente em A:
DCL ABD
F
VA
HA
T
2F
C
0.8 T
0.6 T
21
Exemplo 1.4
22
DCL ABD
F
VA
HA
T
2F
C
0.8 T
0.6 T
#𝑀$ = 0
𝑇 =
5.5 𝐹 cos 30o
2 sin 30o + 1.5 cos 30o
= 2.0718 𝐹
1.5 m
1 m
30o
0.8 𝑇 , 2.5 sin 30o + 0.6 𝑇 , 2.5 cos 30o −
𝐹 , 2.5 cos 30o − 2𝐹 , 1.5 cos 30o = 0
𝑇 = 2.072 𝐹 = 1500 N
#𝐹% = 𝐻$ − 0.8 𝑇 = 0 𝐻$ = 1200 N⟹
𝐹 = 724 N⟹
#𝐹& = 𝑉$ − 2 𝐹 − 𝐹 + 0.6 𝑇 = 0 𝑉$ = 1272 N⟹
Tadm = 1500 N
22
Cabos e polias
23
DCL da Polia
§ A tração em um cabo não se altera quando ele passa por uma
polia sem atrito:
1
2
VO
HO
T2
T1
O
R
R
#𝑀* = 𝑇+ , 𝑅 − 𝑇, , 𝑅 = 0 𝑇+ = 𝑇, = 𝑇⟹
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Exemplo 1.5
24
§ Determine a tração da corda e as reações de apoio em A considerando que o peso
do cilindro é igual a 800 N:
5 m 5 m 3 m
Obs: O raio da polia pode
ser desprezado. ∑𝑀$ = 𝑇 , 5 + 𝑇 sin 𝜃 , 10 − 800 , 13 =	0
DCL ABC
800NVA
HA
D
q
5 m 5 m 3 m
q = 63.43o
T T
𝑇 =
10400
5 + 10 sin 𝜃
= 745.8 N
24
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Exemplo 1.5
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∑ 𝐹% = 𝐻$ − 𝑇 cos 𝜃 =	0
DCL ABC
800NVA
HA
D
q
5 m 5 m 3 m
q = 63.43o
T T
𝑇 = 745.8 N
𝐻$ = 333.5 N
∑ 𝐹& = 𝑉$ + 𝑇 + 𝑇 sin 𝜃 =	800
𝑉$ = −612.9 N
#𝑀- = −800 , 3 − 𝑇 , 5 − 𝑉$ , 10 = 0
Verificação:
E
Ok!
25
Elementos de 2 forças
26
§ As forças atuantes em um elemento de 2 forças são sempre
colineares, com a mesma magnitude e sentidos opostos:
#𝐹%’ = 𝐹 − 𝐹 = 0
FB
FA
A
B F
Fp
F
Fp
#𝑀$ = 𝐹/ , 𝑑 = 0#𝐹&’ = 𝐹/ − 𝐹/ = 0
A
B F
F
26
Exemplo 1.6
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§ Determine as reações de apoio da estrutura abaixo:
Elemento de 2 forças
DCL da viga
4 kN
VA
HA
FDC
q
#𝑀( = −4 , 1.5 − 𝑉$ , 1.5 = 0 𝑉$ = −4 kN⟹
#𝐹& = 𝑉$ + 𝐹0( sin 45o − 4 = 0 𝐹0( =
8
sin 45o
= 11.31 kN⟹
#𝐹% = 𝐻$ + 𝐹0( cos 45o = 0 𝐻$ = −8 kN⟹
27
Exemplo 1.7
28
§ Determine as reações de apoio da estrutura abaixo:
28
Exemplo 1.7
29
§ Determine as reações de apoio da estrutura abaixo:
Elemento de 2 forças
#𝑀( = 800 + 400 , 2 + 𝐹$' cos 45o , 1 − 𝐹$' sin 45o , 3 = 0 𝐹$' = 1131.4N
#𝐹& = 𝑉( + 𝐹$' sin 45o − 400 = 0 𝑉( = 400 kN⟹
#𝐹% = 𝐹$' cos 45o − 𝐻( = 0 𝐻( = 800 N⟹
DCL da barra
400 N
VC
HC
FAB
q
800 Nm
29
Exemplo 1.8
30
§ Determine as reações de apoio em A e C para um peso do cilindro igual a 500 N:
30
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Exemplo 1.8
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§ Determine as reações de apoio em A e C para um peso do cilindro igual a 500 N:
DCL ABD
500 N
VA
HA
FBC
500 N
#𝑀$ = 500 , 1 − 500 , 1.3 + 𝐹'( , 0.6 = 0 𝐹'( = 250 N⟹
Elemento de
2 forças
31
Exemplo 1.8
32
DCL ABD
500 N
VA
HA
FBC
500 N#𝐹% = 𝐻$ − 500 − 𝐹'(= 0
𝐹'( = 250 N
𝐻$ = 750 N
#𝐹& = 𝑉$ − 500 = 0
𝑉$ = 500 N
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Equilíbrio em 3D
33
§ Um corpo está em equilíbrio quando as forças e momentos
resultantes em um ponto qualquer são nulas:
#𝐅" = 𝟎
#𝐌1 # = 𝟎
33
Equilíbrio em 3D
34
#𝐹% = 0
#𝐹& = 0
#𝐹2 = 0
#𝑀% = 0
#𝑀& = 0
#𝑀2 = 0
Forças Momentos
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Apoios
35
35
Apoios
36
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Apoios
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37
Apoios
38
38
Determinação estática
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§ Os problemas de estática podem ser classificados de acordo com os
apoios do sistema:
• Estaticamente determinados (isostáticos): os apoios são na
quantidade exata para impedir todos deslocamentos de corpo
rígido.
ü Número de incógnitas = número de equações de equilíbrio.
• Estaticamente indeterminados (hiperestáticos): existem mais
apoios que os necessários para impedir os deslocamentos de
corpo rígido.
ü Número de incógnitas > número de equações de equilíbrio.
• Impróprios (hipostáticos): os apoios não são suficientes para
impedir os deslocamentos de corpo rígido.
39
Sistemas hiperestáticos
40
𝑛3 = 5
𝑛45 = 3
𝑛3 > 𝑛45⟹
40
Sistemas hiperestáticos
41
𝑛3 = 8𝑛45 = 6 𝑛3 > 𝑛45⟹
41
Sistemas hipostáticos
42
Rotação em torno de A não é impedida!
Rotação em torno de AB não é impedida!
42