Gabarito 6 1 Mecanica Quantica

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12/05/2023, 15:03 Gabarito
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1
No problema de Sturm-Liouville particular
 
 
Assinale a opção que apresenta a solução particular.
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Gabarito: 
Justificativa:
d
dr
[r d
dr
R(r)] = −1
y(x) = r
y(x) = −r
y(x) = −r2
y(x) = r2
y(x) = r + 3
y(x) = −r
undefined Questão 1 de 10
Exercício - Mecânica Quântica em Três Dimensões.
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 (1)
 
 (2)
 
 (3)
 
 (4)
 
Considerando a solução mais simples com , tem-se
 
 (5)
2
Os respectivos autovalores e autovetores normalizados do operador  são:
A
B
C
d
dr
[r d
dr
R(r)] = −1
r d
dr
R(r) = −r + C
dR(r) = −r+C
r
dr
R(r) = −r+Cr dr = −r + C ln r + D
C = D = 0
R(r) = −r
 = [ ]0 1
1 0
1, 0, 1
√2
[ ] e 1
√2
[ ]
1
1
1
−1
0, −1, 1
√2
[ ] e 1
√2
[ ]1
1
1
−1
1, −1, 1
√3
[ ] e 1
√3
[ ]1
1
1
−1
undefined Questão 1 de 10
Exercício - Mecânica Quântica em Três Dimensões.
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D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Gabarito: 
Justificativa:
 
 (1)
 
 (2)
 
 (3)
 
 (4)
 
 (5)
3
1, −1, 1
√2
[ ] e 1
√2
[ ]1
1
1
−1
1, −1, 1
√5
[ ] e 1
√5
[ ]1
1
1
−1
1, −1, 1
√2
[ ] e 1
√2
[ ]1
1
1
−1
[ ] = 0
0 − λ 1
1 0 − λ
λ2 − 1 = 0
λ1 = 1eλ2 = −1
[ ] [ ] = λ1 [ ] → [ ]
0 1
1 0
x
y
x
y
1
1
[ ] [ ] = λ2 [ ] → [ ]
0 1
1 0
x
y
x
y
1
−1
undefined Questão 1 de 10
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O vetor  normalizado é dado por:
A
B
C
D
E
Resposta correta
|Â⟩ =
⎡⎢⎣ 12i√5⎤⎥⎦| ~A⟩ = ⎡⎢⎣ 1√102i√10√ 25 ⎤⎥⎦| ~A⟩ = ⎡⎢⎣ 1√102i√10√ 34 ⎤⎥⎦| ~A⟩ = ⎡⎢⎣ 1√102i√10√ 23 ⎤⎥⎦| ~A⟩ = ⎡⎢⎣ 1√102i√10√ 12 ⎤⎥⎦| ~A⟩ = ⎡⎢⎣ 1√102i√10√ 13 ⎤⎥⎦undefined Questão 1 de 10Exercício - Mecânica Quântica em Três Dimensões.
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Gabarito comentado
Gabarito: 
Justificativa: 
 
 (1)
 
e
 
4
A energia mínima de um próton em um poço esférico finito de raio  é de:
A
B
C
|
~
A⟩ =
⎡⎢⎣ 1√102i√10√ 12 ⎤⎥⎦||A⟩ ∣= √10| ~A⟩ = |A⟩||A⟩∣ = ⎡⎢⎣ 1√102i√10√ 12 ⎤⎥⎦ 10, 6×10−11m0, 056eV0, 046eV0, 036eVundefined Questão 1 de 10Exercício - Mecânica Quântica em Três Dimensões.
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D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Gabarito: 
Justificativa: Utilizando , tem-se:
 
 (1.72)
5
Quais são os ângulos entre e o eixo , para ?
A
B
C
D
0, 026eV
0, 016eV
0, 016eV
Emínimo =
π2ℏ2
2ma2
Eminimo  =
π2ℏ2
2mpa2
= 0, 016eV
L z l = 1
π/4 e π/2
π/2 e π
π/3 e π
π/3 e π/2
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E
Resposta correta
Gabarito comentado
Gabarito: 
Justificativa: Para , tem-se
 
 (1)
 
 (2)
 
Em que
 
 (3)
 
Sendo
 
6
Os coeficientes de Clebsch-Gordan  e  são, respectivamente:
π/4 e π
π/4 e π/2
l = 1
L = √l(l + 1)ℏ = √2ℏ
ml = −1, 0, 1
Lz = mlℏ
cos θ = Lz
L
→ θ = {π/4
π/2
C 1 0 1−1 0 −1 C
3 0 2
2 0 2
undefined Questão 1 de 10
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A 0 e 0
B 0 e 1/2
C 1 e 0
D 1 e 1/2
E 1/2 e 0
Resposta correta
Gabarito comentado
Gabarito: 1 e 0
Justificativa: Da Eq.(XX), tem-se
Então
e
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7
Os autovalores do operador   são:
A 0 e 1
B 0 e 2
C 2 e 3
D 2 e 4
E 2 e 5
Resposta correta
Gabarito comentado
Gabarito: 0 e 1
Justificativa:
 
 (1)
 
 (2)
 
 = [ ]cos
2 θ cos θ ⋅ sen θ
cos θ ⋅ sen θ sen2 θ
[ ] = 0
cos2 θ − λ cos θ ⋅ sen θ
cos θ ⋅ sen θ sen2 θ − λ
λ2 − λ (cos2 θ + sen2 θ) = 0
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 (3)
8
Os respectivos autovalores e autovetores do operador  são:
A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: D
Gabarito comentado
Gabarito: 
Justificativa:
λ1 = 0eλ2 = 1
B̂ = [ ]1 2
3 2
6, 9, [ ]e [ ]−3
5
1
2
5, 10, [ ]e [ ]−3
4
2
2
4, 11, [ ]e [ ]−3
1
1
1
4, −1, [ ]e [ ]2
3
1
−1
2, 13, [ ]e [ ]−3
3
1
2
4, −1, [ ]e [ ]2
3
1
−1
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 (1)
 
 (2)
 
 (3)
 
 (4)
 
 (5)
9
Qual é o menor comprimento de onda na série de Balmer?
A
B
C
D
[ ] = 01 − λ 2
3 2 − λ
λ2 − 3λ − 4 = 0
λ1 = 4eλ2 = −1
[ ] [ ] = λ1 [ ] → [ ]
1 2
3 2
x
y
x
y
2
3
[ ] [ ] = λ2 [ ] → [ ]
1 2
3 2
x
y
x
y
1
−1
172nm
182nm
192nm
202nm
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E
Resposta correta
Gabarito comentado
Gabarito: 
Justificativa: Substituindo em ,  e , se tem que
.
10
O vetor  normalizado é
A
B
C
D
E
212nm
182nm
ν = Ei−Ef
h
nf = 2 ni → ∞
λ = 182nm
|Ψ⟩ = C(|+⟩ + 2i|−⟩)
|Ψ⟩ = 15 (|+⟩ + 2i|−⟩)
|Ψ⟩ = 1
√5
(|+⟩ + 2i|−⟩)
|Ψ⟩ = 2
√5
(|+⟩ + 2i|−⟩)
|Ψ⟩ = 25 (|+⟩ + 2i|−⟩)
|Ψ⟩ = 3
√5
(|+⟩ + 2i|−⟩)
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Resposta correta
Gabarito comentado
Gabarito: 
Justificativa: Aplicando a condição de normalização
 
 
Em que 
 
 (2)
 
 (3)
 
Como e  são ortogonais e , tem-se
 
 (4)
|Ψ⟩ = 1
√5
(|+⟩ + 2i|−⟩)
⟨Ψ ∣ Ψ⟩ = 1
⟨Ψ ∣ Ψ⟩ = CC ∗(⟨+| − 2i⟨−|)(|+⟩ + 2i|−⟩)
⟨Ψ ∣ Ψ⟩ = CC ∗(⟨+ ∣ +⟩ + 2i⟨+ ∣ −⟩ − 2i⟨− ∣ +⟩ + 4⟨− ∣ −⟩) = 1
⟨+|−⟩ ⟨−|+⟩ ⟨+|+⟩ = ⟨−|−⟩ = 1
|Ψ⟩ = 1
√5
(|+⟩ + 2i|−⟩)
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