Resumo | Inequações

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INEQUAÇÕES 
 
 
Definição 
Inequação é toda desigualdade da forma 	
𝑓(𝑥) > 0,	𝑓(𝑥) ≥ 0,	𝑓(𝑥) < 0	ou	𝑓(𝑥) ≤ 0, onde 
𝑓(𝑥) é uma função. 
 
Inequação do 1º e 2º grau 
São inequações em que 𝑓(𝑥) é uma função do 
primeiro ou segundo grau. Para resolver essas 
inequações, seguimos os passos a seguir: 
1. Determinar as raízes da função; 
2. Verificar o sinal da função em cada um 
dos intervalos determinados pelas raízes; 
3. Observar os intervalos (ou o intervalo) 
que satisfazem a desigualdade solicitada. 
 
Exemplos: 
• 𝑥 − 4 ≤ 3𝑥 + 4 
 
Inicialmente vamos deixar na forma 𝑓(𝑥) ≤ 0: 
𝑥 − 4 ≤ 3𝑥 + 4 ⟹ −2𝑥 − 8 ≤ 0 
 
Logo, devemos determinar onde a função 
𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 8 é menor ou igual a zero. Será 
igual a zero na raiz: 
−2𝑥 − 8 = 0 ⟹ −2𝑥 = 8 
																								⟹ 𝑥 = −4 
 
Como a função é decrescente, pois o coeficiente 
de 𝑥 é negativo, o esboço de seu gráfico é: 
 
 
 
 
 
A função é menor que zero para todo 𝑥 > −4, 
mas como queremos 𝑓(𝑥) ≤ 0 devemos incluir a 
raiz, ou seja, a solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ	|	𝑥 ≥ −4}. 
 
• 𝑥! − 3𝑥 − 4 < 0 
 
Como a função é quadrática, as raízes devem ser 
obtidas pela fórmula de Bhaskara: 
𝑥! − 3𝑥 − 4 = 0 ⟹ 𝑥 =
3 ± √25
2 =
3 ± 5
2 
																										⟹ 𝑥 = 4		ou		𝑥 = −1 
A concavidade da parábola é voltada para cima, 
pois o coeficiente de x é positivo: 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a parte negativa da função está entre 
as raízes, logo, 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ	| 	− 1 < 𝑥 < 4}. 
 
Inequação produto e quociente 
São inequações onde 𝑓(𝑥) é um produto ou um 
quociente de outras funções. Nesse caso, 
fazemos o estudo do sinal de cada função como 
anteriormente, e em seguida determinamos o 
sinal do produto ou quociente em cada intervalo. 
Exemplo: 
• Resolva a inequação 
−3𝑥 + 6
𝑥 − 1 ≤ 0 
 
No numerador, a raiz é 𝑥 = 2 e a reta é 
decrescente. 
 
 
 
 
 
 
Já no denominador, a raiz é 𝑥 = 1 e a reta é 
crescente. 
 
 
 
 
 
 
Observe que em 𝑥 = 1 a bolinha é aberta (o 
extremo não faz parte do intervalo), pois o 
denominador não pode ser zero. Agora, olhando 
para o quociente (a ideia é a mesma no produto), 
lembre-se que dividindo números com sinais 
iguais o resultado é positivo e com sinais 
diferentes é negativo. 
 
 
 
 
O quociente será zero apenas em 𝑥 = 2, e menor 
que zero para 𝑥 < 1 ou 𝑥 > 2. Então a solução 
é dada por 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ	|	𝑥 < 1		ou		𝑥 ≥ 2}. 
 
 
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RESUMOS 
-4 
++ + 
++ ++ ++ −− −− −− 
x 
−− −− 
−− −− − 
-1 x 4 
2 
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x 
1 
++ ++ ++ + −− −− − 
x 
1 
++ +				− − −− −− −− − 
x 2