Vetores e Transformações de Lorentz

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Aula 5: 1 de abril 5-1
Curso: Relatividade 01/2019
Aula 5: 1 de abril
Profa. Raissa F. P. Mendes
Até agora só falamos sobre cinemática, sobre como descrever o movimento. É como se tivéssemos
voltado ao curso de F́ısica 1 e percebido que tudo aquilo que foi dito nas primeiras aulas e que serviu
de base para todo o resto precisa ser modificado. O nosso próximo objetivo é discutir um pouco
sobre dinâmica, sobre como as leis da mecânica, hidrodinâmica, etc., precisam ser modificadas para
levar em conta a nova cinemática da Relatividade Especial. Para isso, é fundamental discutirmos
a noção de vetores. Por quê?
Vetores são importantes porque expressam algumas das simetrias das leis da F́ısica! Para falar
sobre o espaço (ou o espaço-tempo), precisamos de um sistema de coordenadas, uma forma de
rotular os eventos. Mas esse sistema de coordenadas tem aspectos que não são f́ısicos. Por exem-
plo, as leis da F́ısica não se importam com a origem do sistema de coordenadas. Se olhamos para
essa transformação de um ponto de vista ativo, isso significa que as leis da F́ısica devem ser as
mesmas em qualquer ponto do espaço (contanto que todas as condições ambientais que determi-
nam o fenômeno sejam também deslocadas espacialmente). Logo, elas devem ser invariantes por
translações espaciais. Além disso, as leis da F́ısica não devem depender da orientação dos eixos.
Do ponto de vista de transformações ativas de coordenadas, se eu faço dois experimentos que só
diferem por uma rotação, eles devem dar resultado iguais. Isso é sempre verdade? Não parece ser
no caso de um pêndulo, por exemplo! Por quê? Por que existe um agente externo que é importante
para o funcionamento do pêndulo: a Terra. Se giramos o pêndulo e a Terra, áı sim, tudo acontece
da mesma forma. As leis da F́ısica devem ser invariantes por rotações 9.
Podemos então apreciar a vantagem de escrever as leis da Mecânica de forma vetorial: vetores são
objetos geométricos invariantes por translações e rotações do sistema de coordenadas. É claro que
em um sistema de coordenadas diferente, as componentes de um vetor mudam. Mas mudam de
forma que o objeto ~v = vxî+ vy ĵ + vkk̂ permanece o mesmo.
O que nós discutimos no curso até agora é, essencialmente, mais uma simetria das leis da F́ısica:
pelo postulado P1, as leis da F́ısica devem ser as mesmas em todos os referenciais inerciais. Então
o nosso objetivo é escrevê-las a partir de objetos geométricos que sejam invariantes por translações,
rotações e transformações de Lorentz (ou boosts). Para isso precisamos falar de vetores e tensores
no espaço-tempo.
9Note que não estamos dizendo que a F́ısica de um corpo que gira é a mesma do corpo parado, o que equivaleria,
do ponto de vista passivo, a um sistema de coordenadas que gira. Nós podemos, a partir de experimentos, determinar
se a Terra está girando, mas não que ela girou! Ver o livro do Feynman.
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5.16 Vetores
Para lembrar: Um espaço vetorial (real) é uma coleção de objetos que podem ser somados, e
multiplicados por números reais, de uma forma linear [(a + b)(V + W ) = aV + bV + aW + bW ].
O espaço vetorial tem um vetor nulo. Outras operações, como produto escalar, exigem estrutura
além da básica em um espaço vetorial.
O nosso quadri-vetor protot́ıpico é o vetor deslocamento. Vamos definir o vetor ∆~x que, no referen-
cial O, possui componentes ∆~x→O (c∆t,∆x,∆y,∆z). Ou ∆~x→O {∆xα}, onde ı́ndices gregos vão
representar 0, 1, 2 e 3, com x0 = ct, x1 = x, etc. Usaremos a notação do Schutz, com a seta sobre
os vetores (no Carroll, não se usa seta). Note que o vetor é um objeto geométrico. Assim como um
vetor no plano tem componentes diferentes em sistemas cartesianos relacionados por uma rotação,
um quadri-vetor tem componentes diferentes em referenciais distintos, mas o vetor é independente
do sistema de coordenadas. Em um referencial Ō, ∆~x→Ō {∆xᾱ}, com uma barra (ou ’) no ı́ndice
para indicar o referencial. Quais são as novas componentes? São dadas pelas transformações de
Lorentz. Quando a velocidade relativa entre os dois referenciais é ao longo do eixo-x, já vimos que

∆x0̄
∆x1̄
∆x2̄
∆x3̄
 =

γ −vγ 0 0
−vγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


∆x0
∆x1
∆x2
∆x3
 . (5.9)
De forma geral, a matriz de transformação de um referencial O para um referencial Ō que se move
com velocidade v = vn em relação a O pode ser escrita como:
∆x0̄
∆x1̄
∆x2̄
∆x3̄
 =

γ −vγnx −vγny −vγnz
−vγnx 1 + (γ − 1)n2x (γ − 1)nxny (γ − 1)nxnz
−vγny (γ − 1)nynz 1 + (γ − 1)n2y (γ − 1)nynz
−vγnz (γ − 1)nznx (γ − 1)nzny 1 + (γ − 1)n2z


∆x0
∆x1
∆x2
∆x3
 , (5.10)
A matriz que realiza essa transformação é chamada matriz de Lorentz e é denotada pelo śımbolo
Λ:
Λ =

Λ0̄0 Λ
0̄
1 Λ
0̄
2 Λ
0̄
3
Λ1̄0 Λ
1̄
1 Λ
1̄
2 Λ
1̄
3
Λ2̄0 Λ
2̄
1 Λ
2̄
2 Λ
2̄
3
Λ3̄0 Λ
3̄
1 Λ
3̄
2 Λ
3̄
3
 =

γ −vγnx −vγny −vγnz
−vγnx 1 + (γ − 1)n2x (γ − 1)nxny (γ − 1)nxnz
−vγny (γ − 1)nynz 1 + (γ − 1)n2y (γ − 1)nynz
−vγnz (γ − 1)nznx (γ − 1)nzny 1 + (γ − 1)n2z
 .
Portanto, a Eq. (5.10) pode ser escrita de forma mais condensada como
∆xᾱ =
3∑
β=0
Λᾱβ∆x
β.
Essa expressão na verdade resume um conjunto de quatro equações, uma para cada valor que o
ı́ndice ᾱ pode assumir. A razão dos ı́ndices em cima e embaixo vai ficar clara depois. Por enquanto,
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vamos usá-la para definir a convenção de soma de Einstein: sempre que uma expressão contém um
ı́ndice sobrescrito e o mesmo ı́ndice subscrito, uma somatória estará impĺıcita. Então temos
∆xᾱ = Λᾱβ∆x
β.
β é um ı́ndice mudo (ou ı́ndice de soma) e pode ser substitúıdo por qualquer ı́ndice de sua pre-
ferência. Por outro lado, ᾱ é um ı́ndice livre: uma equação com ı́ndices livres é válida para qualquer
valor que aquele ı́ndice possa assumir. Se quisermos mudar o ı́ndice, precisamos mudar em todos
os lugares na equação. Muitas vezes será útil separarmos expressões na parte temporal e na parte
espacial. Índices latinos servirão para descrever a parte espacial e assumirão valores 1,2,3. Portanto,
∆xᾱ = Λᾱ0∆x
0 + Λᾱi∆x
i.
Um quadri-vetor geral é definido por uma coleção de números ~A →O (A0, A1, A2, A3) = {Aα}, e
pela regra que em outro referencial Ō suas componentes se transformam como o vetor deslocamento:
Aᾱ = ΛᾱβA
β.
5.16.1 Vetores de base
Uma base é qualquer conjunto de vetores (i) linearmente independentes e tais que (ii) qualquer
vetor pode ser escrito como uma combinação linear de vetores nesse conjunto.
Em qualquer referencial inercial O há uma base especial de quatro vetores definidos por suas
componentes: ~e0 →O (1, 0, 0, 0), ~e1 →O (0, 1, 0, 0), etc. Da mesma forma, há um conjunto de
vetores especiais em Ō, tais que ~e0̄ →Ō (1, 0, 0, 0), etc. Note que (~eα)β = δ
β
α. Escrevemos
~A = Aµ~eµ
Nota: nós colocamos o ı́ndice µ como subescrito para poder escrever essa expressão usando a
convenção de soma de Einstein. Em alguns textos, como no Carroll, os vetores de base são denotados
por ~e(ν), sendo que o parênteses deixa claro que não são componentes de um vetor, mas um conjunto
de 4 vetores; esse ı́ndice tem um caráter distinto dos ı́ndices que indicam componentes.
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Transformação de vetores de base. Igualmente, podemos escrever ~A = Aµ̄~eµ̄. Como os vetores
de base em Ō se relacionam com aqueles em O? Partimos do fato de que o vetor ~A é invariante
por transformações de Lorentz. Logo, Aµ~eµ = A
µ̄~eµ̄. Usando a lei de transformação para as
componentes, obtemos que
ΛᾱβA
β~eᾱ = A
α~eα.
Usando o fato de que β e ᾱ são ı́ndices mudos (e que, sendo as somas finitas, sua ordem não
importa), temos
Aα(Λβ̄α~eβ̄ − ~eα) = 0.
Como ~A é um vetor arbitrário, devemos ter
~eα = Λ
β̄
α~eβ̄ → ~eγ̄ = (Λ−1)αγ̄~eα (5.11)
Mas quem é a matriz inversa? Note que a única coisa de que Λ depende é a velocidade relativa entre
os doisreferenciais: Λβ̄α(~v). Logo, a inversa deve corresponder a uma transformação de Lorentz
com −~v: (Λ−1)αγ̄ = Λαγ̄(−~v). Entendemos que a matriz com componentes Λ
β̄
α é a mesma matriz
que Λµν̄ , só com ~v substitúıdo por −~v. As barras nos ı́ndices servem para indicar os referenciais
envolvidos: servem para lembrar que a matriz Λ é constrúıda usando a velocidade do referencial
correspondente ao ı́ndice de cima relativa ao ı́ndice de baixo. Nesse sentido, a velocidade está
impĺıcita na notação. Diremos, por exemplo, Λν
β̄
(−~v)Λβ̄α(~v) = δνα e muitas vezes deixaremos
impĺıcita a dependência na velocidade.
Note que a transformação de vetores de base é diferente da lei de transformação de componentes
de vetores; uma é o inverso da outra!
Observação: Nós mostramos a Eq. (5.11) partindo da propriedade que um vetor arbitrário deve
ser invariante por transformações de Lorentz. Mas vale a pena verificar que a transformação obtida
está de acordo com a nossa ideia intuitiva sobre os vetores de base. Para isso, vamos considerar um
referencial O e um referencial Ō que se move com velocidade v em relação a O, no sentido positivo
do eixo-x. Em particular, temos que ~e0 →O (1, 0, 0, 0) e ~e1 →O (0, 1, 0, 0). Como obtemos o vetor
~e0̄? Pela Eq. (5.11),
~e0̄ = Λ
α
0̄~eα = Λ
0
0̄~e0 + Λ
1
0̄~e1 = γ~e0 + γv~e1.
Ou seja, no referencial O,
~e0̄ →O (γ, γv, 0, 0).
Tente se convencer de que o ponto (γ, γv, 0, 0) num diagrama t − x corresponde ao evento com
ct′ = 1 e x′ = 0, o que está de acordo com o que esperaŕıamos desse vetor de base.
5.17 Produto escalar e a magnitude de um vetor
Nós vimos que o intervalo espaço-temporal pode ser visto como determinando uma espécie de
distância entre eventos. Podemos dizer que se ∆~x é o vetor deslocamento entre dois eventos, ∆s2
nos dá a magnitude do vetor ∆~x: ∆s2 = ∆~x · ∆~x. Então temos uma noção de produto escalar
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(e módulo de vetor) que não é a mesma noção Euclideana10. Em geral, produto escalar pode ser
entendido como um mapa linear que leva dois vetores em um número, e que é simétrico. Então
definimos ∆~x ·∆~x = −(∆x0)2 + (∆x1)2 + (∆x2)2 + (∆x3)2. A diferença para a noção Euclideana
está no sinal de menos. A razão de não definirmos com o sinal de + é que essa noção de magnitude
do vetor não seria invariante por transformações entre referenciais inerciais. Um vetor é uma
quantidade invariante, e queremos uma noção de magnitude que também seja invariante. Por isso,
definimos em geral
~A2 = ~A · ~A = −(A0)2 + (A1)2 + (A2)2 + (A3)2.
Como as componentes de ~A se transformam da mesma forma que as componentes do vetor des-
locamento, é verdade que a magnitude de ~A definida assim será invariante por transformações de
Lorentz:
−(A0)2 + (A1)2 + (A2)2 + (A3)2 = −(A0̄)2 + (A1̄)2 + (A2̄)2 + (A3̄)2.
Uma consequência dessa definição é que a magnitude de um vetor não precisa ser positiva. De fato,
vamos usar a mesma classificação que vimos anteriormente para intervalos aqui: se ~A2 é positivo,
dizemos que ~A é tipo espaço; se é negativo, dizemos que ~A é tipo tempo e se é igual a zero, dizemos
que ~A é tipo luz, ou um vetor nulo (embora as componentes sejam não nulas!).
Da mesma forma, definimos o produto escalar de dois vetores:
~A · ~B = −A0B0 +A1B1 +A2B2 +A3B3.
Para mostrar que essa definição é invariante, basta notar que ( ~A+ ~B)·( ~A+ ~B) = ~A· ~A+ ~B · ~B+2 ~A· ~B.
Dois vetores são ortogonais se ~A · ~B = 0. Esses vetores não precisam fazer ângulos retos entre si.
Deem exemplos11!
Com a noção de magnitude de um vetor e produto interno entre vetores, agora podemos definir
uma base ortonormal (ou tetrada). Exigimos que
~e0 · ~e0 = −1, ~e1 · ~e1 = ~e2 · ~e2 = ~e3 · ~e3 = 1, ~eα · ~eβ = 0 (α 6= β).
Como o produto interno é invariante por transformações de Lorentz, todos os observadores inerciais
concordam que uma base é ortonormal. Outra forma de escrever as relações acima é
~eα · ~eβ = ηαβ
onde ηαβ é semelhante à delta de Kronecker, mas com η00 = −1:
η =

−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

10Essa não é a primeira noção de produto escalar diferente da noção Euclideana que vocês veem. Qual é o módulo
de um número complexo z? Temos z2 = z · z = zz̄. Além disso, o produto interno de duas funções reais de quadrado
integrável pode ser escrito como 〈ψ, χ〉 =
∫
ψ(x)χ(x)dx.
11Dois vetores são perpendiculares se fazem ângulos iguais com a linha a 45o que representa a propagação de raios
de luz.
Note que os vetores base de Ō também satisfazem ~eᾱ · ~eβ̄ = ηᾱβ̄.
Para dois vetores quaisquer, ~A e ~B, podemos escrever, para o produto interno:
~A · ~B = (Aα~eα) · (Bβ~eβ)
(veja a importância de distinguirmos os ı́ndices na expressão acima!). Pela linearidade do produto
escalar, temos então:
~A · ~B = AαBβ(~eα · ~eβ) = AαBβηαβ.
Para casa: Ler as seções 2.1, 2.2 e 2.5 do Schutz. Fazer as questões 1, 2 e 3 da Lista 2!
5-6
	Vetores
	Vetores de base
	Produto escalar e a magnitude de um vetor