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1 Profª Aline Purcote Estatística Aplicada às Análises Contábeis Aula 4 Conversa Inicial O que é probabilidade? Qual a utilização da probabilidade no dia a dia? "Improvável”, “impossível” ou “provavelmente” Grau de incerteza Probabilidade Probabilidade Grau de incerteza de um determinado acontecimento Não se pode afirmar o que ocorrerá, mas o que pode ocorrer É a possibilidade ou chance de ocorrência, ou medida de ocorrência, de um evento definido sobre um espaço amostral, que por sua vez está relacionado a algum experimento aleatório Probabilidade Experimento aleatório: Poderá ser repetido sob as mesmas condições indefinidamente Somos capazes de relatar os possíveis resultados Espaço amostral (S): conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Espaço equiprovável 2 Exemplos: Lançamento de um dado: S={1,2,3,4,5,6} Lançamento de dois dados: Urna que contém 6 bolas vermelhas, 8 bolas pretas e 4 bolas verdes S={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} Evento: Qualquer conjunto de resultados de um experimento Subconjunto do espaço amostral Indicado por qualquer letra maiúscula Exemplos: Lançamento de um dado Urna que contém 6 bolas vermelhas, 8 pretas e 4 verdes Evento simples: A = {sair número maior que 5} = {6} Evento composto: B = {sair número ímpar} = {1,3,5} Evento certo: C = {ocorrência de valor par ou ímpar} = {1,2,3,4,5,6} Evento impossível: D = {ocorrência de valor par e ímpar} = { } Cálculo probabilidade: Lançamento de um dado: S={1,2,3,4,5,6} Sair o número 3: A = {3} Um número ímpar: B={1,3,5} 𝑷 𝑨 𝑨 𝑺 𝑷 𝑨 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒐 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒐 𝒆𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 𝑷 𝑨 𝟏 𝟔 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟏𝟔, 𝟔𝟕% 𝑷 𝑨 𝟑 𝟔 𝟎, 𝟓𝟎 𝟓𝟎% Numa caixa há 6 bolas brancas e 4 vermelhas. Qual é a probabilidade de retirar: Bola vermelha? Bola branca? Qual a probabilidade de ocorrer soma igual a 5 na jogada de dois dados? 𝑷 𝑨 𝟒 𝟏𝟎 𝟎, 𝟒𝟎 𝟒𝟎% 𝑷 𝑨 𝟔 𝟏𝟎 𝟎, 𝟔𝟎 𝟔𝟎% 𝑷 𝑨 𝟒 𝟑𝟔 𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏, 𝟏𝟏% S={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} Eventos Exclusivos 3 Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do outro Ocorrendo um deles não pode ocorrer o outro Não podem ocorrer simultaneamente 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 𝑷 𝑨 𝑷 𝑩 Eventos exclusivos No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o n. 2 ou o n. 5? A= {2} B= {5} 𝑷 𝑨 𝟏 𝟔 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝑷 𝑩 𝟏 𝟔 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 𝟏 𝟔 𝟏 𝟔 𝟐 𝟔 𝟎, 3333 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑 Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade de obtermos um número menor que 3 e maior que 4? A= {1,2} B= {5,6} 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 𝟐 𝟔 𝟐 𝟔 𝟒 𝟔 𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟕 𝟔𝟔, 𝟔𝟕% Um lote possui 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que ela seja boa ou tenha defeitos graves A = Boa B = Defeitos graves 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 𝟏𝟎 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔 𝟏𝟐 𝟏𝟔 𝟎, 𝟕𝟓 𝟕𝟓% Eventos Não Exclusivos Eventos que podem ocorrer simultaneamente Exemplos: Lançamento de dois dados Venda de produtos Eventos não exclusivos 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 𝑷 𝑨 𝑷 𝑩 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 𝑷 𝑨 𝑷 𝑩 4 Se dois dados forem lançados, qual a probabilidade de sair o n. 4 no 1º dado e o n. 5 no 2º dado? A={4} B={5} 𝑷 𝑨 𝟏 𝟔 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝑷 𝑩 𝟏 𝟔 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟎, 𝟎𝟐𝟕𝟖 𝟎, 𝟑𝟎𝟓𝟔 𝟑𝟎, 𝟓𝟔% 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟎, 𝟎𝟐𝟕𝟖 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 𝑷 𝑨 𝑷 𝑩 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 Uma importadora tem 25% de chance de vender um produto A e tem 40% de vender um produto B. Qual a probabilidade de vender ou o produto A, ou o produto B? 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 𝟎, 𝟐𝟓 𝟎, 𝟒𝟎 𝟎, 𝟏𝟎 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 𝟎, 𝟐𝟓 𝟎, 𝟒𝟎 𝟎, 𝟏𝟎 𝟎, 𝟓𝟓 𝟓𝟓% A previsão do tempo informa que a probabilidade de chover é de 60%, de fazer calor é de 70% e de chover e fazer calor é de 50%. Qual a probabilidade de que chova ou faça calor? P(AUB)= 60%+70%-50%=80% Probabilidade Condicional Probabilidade condicionada de ocorrer o evento A quando o evento B já tiver ocorrido Notação: P(A/B) Probabilidade condicional 𝑷 𝑨/𝑩 𝒏° 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑨 ∩ 𝑩 𝒏° 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑩 𝑷 𝑨/𝑩 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 𝑷 𝑩 Ao lançarmos um dado, qual a probabilidade de sair o n. 2 sabendo que já saiu um número par? A= {2} B = {2,4,6} 𝑨 ∩ 𝑩 𝟐 𝑷 𝑨/𝑩 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 𝑷 𝑩 𝟏 𝟑 𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑, 𝟑𝟑% 5 Calcular a probabilidade de lançarmos dois dados e obtermos a soma igual a 6, sabendo que os lançamentos resultaram em dois números pares A = soma ser 6 = {1,5},{2;4},{3;3},{4;2},{5;1} B = dois números pares = {2,2},{2,4},{2,6},{4,2},{4,4},{4,6},{6,2},{6,4},{6,6} 𝑨 ∩ 𝑩 𝟐, 𝟒 , 𝟒, 𝟐 𝑷 𝑨/𝑩 𝟐 𝟗 𝑷 𝑨/𝑩 𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐, 𝟐𝟐% Uma pesquisa registrou que 650 pessoas trabalham com cartões de crédito MasterCard, que 550 com cartões VISA e que 200 trabalham com ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de, ao escolhermos uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, também utilizar o cartão MasterCard? 𝑷 𝑨/𝑩 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 𝑷 𝑩 𝟐𝟎𝟎 𝟓𝟓𝟎 𝟎, 𝟑𝟔𝟑𝟔 𝟑𝟔, 𝟑𝟔% Regra da Multiplicação Probabilidade da ocorrência conjunta de dois eventos Probabilidade de ocorrência simultânea Com reposição x sem reposição Regra da multiplicação 𝑷 𝑨/𝑩 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 𝑷 𝑩 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 𝑷 𝑩 𝑷 𝑨 𝑩⁄ Uma urna contém 3 bolas brancas e 8 pretas. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas e ambas serem pretas, sem reposição? 1ª preta: 2ª preta: 𝑷 𝑨 𝟖 𝟏𝟏 𝟎, 𝟕𝟐𝟕𝟑 𝑷 𝑨 𝟕 𝟏𝟎 𝟎, 𝟕𝟎 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 𝟎, 𝟕𝟐𝟕𝟑. 𝟎, 𝟕𝟎 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 𝟎, 𝟓𝟎𝟗𝟏 𝟓𝟎, 𝟗𝟏% Retirar, sem reposição, 3 bolas de uma caixa com 10 bolas brancas e 5 pretas. Calcular a probabilidade de tirar a 1ª branca, 2ª preta e 3ª branca 1ª branca 2ª preta 3ª branca 𝟏𝟎 𝟏𝟓 𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟕 𝟓 𝟏𝟒 𝟎, 𝟑𝟓𝟕𝟏 𝟗 𝟏𝟑 𝟎, 𝟔𝟗𝟐𝟑 𝟎, 𝟏𝟔𝟒𝟖 𝟏𝟔, 𝟒𝟖% 6 Na Prática Cálculo de probabilidade na tomada de decisão Utilização de probabilidade na área de seguros Análise de investimento Análise de riscos Aplicações Finalizando Conceitos da probabilidade: espaço amostral e evento Cálculo da probabilidade de um evento ocorrer Evento exclusivo Evento não exclusivo Probabilidade condicional Regra da multiplicação Aula 4
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