Distribuições de Probabilidade e Intervalos de Confiança

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Profª Aline Purcote
Estatística Aplicada 
às Análises Contábeis
Aula 5
Conversa Inicial
O que é uma distribuição de probabilidade? 
Qual a utilização das distribuições?
O que são intervalos de confiança e para que 
servem?
Quando aplicar testes de hipótese?
Distribuição de probabilidade
Distribuição Binomial
Distribuição discreta 
É a probabilidade de um evento ocorrer X 
vezes em N tentativas:
N = tentativas
X = vezes
p = probabilidade do sucesso
q=1- p
Distribuição binomial
𝑷 𝒙
𝑵!
𝑿! 𝑵 𝑿 !
𝒑𝒙𝒒𝑵 𝑿
Determinar a probabilidade de ocorrer 3 
vezes o n. 4 em 5 jogadas de um dado 
N = 5
X = 3
p = 
q=1- p
q=1-0,1667=0,833
𝑷 𝒙
𝟓!
𝟑! 𝟓 𝟑 !
𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕𝟑𝟎, 𝟖𝟑𝟑𝟑𝟓 𝟑
𝑷 𝒙
𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟐
𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟐
𝑷 𝒙
𝟏𝟐𝟎
𝟔 𝟐 !
𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟔.𝟎, 𝟔𝟗𝟒𝟒 𝑷 𝒙
𝟏𝟐𝟎
𝟔. 𝟐
𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟐
𝑷 𝒙 𝟏𝟎. 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟐 𝟎, 𝟎𝟑𝟐. 𝟏𝟎𝟎 𝟑, 𝟐%
𝟏
𝟔
𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕
2
Os registros de uma empresa indicam que 
30% das faturas expedidas são pagas após o 
vencimento. De 10 faturas emitidas, qual a 
probabilidade de exatamente três serem 
pagas com atraso? 
N=10
X=3
p=0,30
q=1- 0,30 = 0,7
𝑷 𝒙
𝟏𝟎!
𝟑! 𝟏𝟎 𝟑 !
𝟎, 𝟑𝟎𝟑𝟎, 𝟕𝟏𝟎 𝟑
𝑷 𝒙
𝟑. 𝟔𝟐𝟖.𝟖𝟎𝟎
𝟔 𝟕 !
𝟎, 𝟎𝟐𝟕. 𝟎, 𝟎𝟖𝟐𝟑𝟓
𝑷 𝒙
𝟑. 𝟔𝟐𝟖.𝟖𝟎𝟎
𝟔. 𝟓𝟎𝟒𝟎
𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐
𝑷 𝒙
𝟑. 𝟔𝟐𝟖.𝟖𝟎𝟎
𝟑𝟎. 𝟐𝟒𝟎
𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐
𝑷 𝒙 𝟏𝟐𝟎 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐 𝟎, 𝟐𝟔𝟔𝟖𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟔,𝟔𝟖𝟏%
Em um concurso, 10% dos candidatos foram 
aprovados. Se escolhermos aleatoriamente 
10 candidatos, qual a probabilidade de que 
exatamente dois deles tenham sido 
aprovados?
𝑵 𝟏𝟎
𝑿 𝟐
𝒑 𝟏𝟎% 𝟎, 𝟏𝟎
𝒒 𝟏 𝒑 𝟏 𝟎, 𝟏𝟎 𝟎, 𝟗𝟎
𝑷 𝒙
𝑵!
𝑿! 𝑵 𝑿 !
𝒑𝒙𝒒𝑵 𝑿
𝑷 𝒙
𝟏𝟎!
𝟐! 𝟏𝟎 𝟐 !
𝟎, 𝟏𝟎𝟐𝟎, 𝟗𝟎𝟏𝟎 𝟐
𝑷 𝒙
𝟑. 𝟔𝟐𝟖, 𝟖𝟎𝟎
𝟐 𝟒𝟎. 𝟑𝟐𝟎
𝟎, 𝟎𝟏 𝟎, 𝟒𝟑𝟎𝟓
𝑷 𝒙 𝟒𝟓 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟑𝟎𝟓
𝑷 𝒙
𝟑. 𝟔𝟐𝟖,𝟖𝟎𝟎
𝟐 𝟒𝟎.𝟑𝟐𝟎
𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟑𝟎𝟓
𝑷 𝒙 𝟎, 𝟏𝟗𝟑𝟕 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟗, 𝟑𝟕%
𝑷 𝒙
𝟑. 𝟔𝟐𝟖,𝟖𝟎𝟎
𝟐 𝟖 !
𝟎, 𝟎𝟏. 𝟎, 𝟗𝟎𝟖
Distribuição Poisson
Probabilidade de um número designado de 
sucessos por unidade de tempo
Exemplos:
Distribuição Poisson
𝑷 𝒙
𝝀𝒙𝒆 𝝀
𝑿!
e = 2,71828
𝒆 𝟓 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 𝟓
𝟏
𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 𝟓
𝟏
𝟏𝟒𝟖, 𝟒𝟏𝟐𝟔𝟔
𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟒
𝝀 𝒆 𝝀 𝝀 𝒆 𝝀
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
1,00000
0,90484
0,81873
0,74082
0,67032
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,08208
0,07427
0,06721
0,06081
0,05502
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,60653
0,54881
0,49639
0,44933
0,40657
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
0,04979
0,04076
0,03337
0,02732
0,02237
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,36788
0,33287
0,30119
0,27253
0,24660
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
0,01832
0,01500
0,01228
0,01005
0,00823
1,5 0,22313 5,0 0,00674
Um departamento recebe em média 5 
solicitações por hora. Qual a probabilidade 
de receber 2 solicitações numa hora 
selecionada aleatoriamente? 
𝝀=5
X=2
𝑷 𝒙
𝝀𝒙𝒆 𝝀
𝑿!
𝑷 𝒙
𝟓𝟐𝒆 𝟓
𝟐!
𝟐𝟓. 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟒
𝟐
𝑷 𝒙
𝟎, 𝟏𝟔𝟖𝟒𝟓
𝟐
𝟎, 𝟎𝟖𝟒𝟐𝟐 𝟖, 𝟒𝟐𝟐%
3
Clientes chegam a um banco com uma taxa 
média igual a 3 clientes por minuto, qual a 
probabilidade de ocorrer exatamente 3 
chegadas no período de um minuto?
𝑷 𝒙
𝝀𝒙𝒆 𝝀
𝑿!
𝑷 𝒙
𝟑𝟑𝒆 𝟑
𝟑!
𝟐𝟕 𝟎, 𝟎𝟒𝟗𝟖
𝟔
𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟐, 𝟒𝟏%
Distribuição Normal
Distribuição contínua 
Probabilidade de uma variável assumir um 
valor em um determinado intervalo 
Dois parâmetros: média e desvio padrão
Distribuição normal
𝒁
𝑿 𝝀
𝑺
Tabela valores Z:
Z = 1,00 = 34,13%
-3 -2 -1 0 1 2 3
Desvio padrão
0,13% 0,13%
2,14% 13,60% 34,13% 2,14%13,60%34,13%
Um estudo indicou que o salário semanal dos 
operários de uma empresa está em torno de uma 
média de R$ 80,00 com desvio padrão de R$ 
5,00. Calcule a probabilidade de um operário 
ter um salário entre R$ 80,00 e R$ 85,00 
𝝀 = 80
S = 5
X=85
Z = (85 – 80) / 5 = 1
Z = 1,00 = 34,13%
A média de preços das ações das empresas que 
compõem certo grupo é US$ 30, e o desvio 
padrão é US$ 8,20. Suponha que os preços das 
ações se distribuam normalmente e calcule qual 
é a probabilidade de uma empresa ter um preço 
menor a US$ 20 para suas ações 
0,50 – 0,3888=0,1112 x 100 = 11,12%
𝒛
𝟐𝟎 𝟑𝟎
𝟖, 𝟐𝟎
𝟏, 𝟐𝟐
4
As idades de um grupo apresentaram média 
igual a 20 anos e desvio padrão igual a 2 
anos. Determine o percentual desse grupo 
que tem idade entre 17 e 22 anos
Tabela = 0,4332 / 
Tabela = 0,3413
0,4332 +0,3413 = 
0,7745 = 77,45%
𝒛
𝟏𝟕 𝟐𝟎
𝟐
𝟏, 𝟓 𝒛
𝟐𝟐 𝟐𝟎
𝟐
𝟏
Intervalo de Confiança
Amostragem
Amostra x erro
Estimação:
Por ponto
Por intervalo: intervalo de confiança 
Intervalo de confiança
𝒄 𝒁
𝝈
𝒏
𝑿 𝒄 𝝁 𝑿 𝒄
intervalo
c c
𝑿
Determine o intervalo de confiança para os 
empregados de uma empresa que possuem 
salário médio de R$ 1.840,00 com desvio 
padrão de R$ 300,00. Supor nível de 
confiança igual a 95% e uma amostra 
de 96 empregados 
Cálculo do Z:
95% / 2 = 47,5%
47,5% / 100 = 0,475
Z = 1,96
Z = 1,96
Salário médio = R$ 1.840,00
Desvio padrão = R$ 300,00
Amostra = 96 empregados
𝒄 𝒁
𝝈
𝒏
𝑪 𝟏, 𝟗𝟔
𝟑𝟎𝟎
𝟗𝟔
𝟏, 𝟗𝟔. 𝟑𝟎, 𝟔𝟏𝟖𝟔𝟐 𝟔𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓
𝟏𝟖𝟒𝟎 𝟔𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 𝝁 𝟏𝟖𝟒𝟎 𝟔𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓
𝟏, 𝟕𝟕𝟗, 𝟗𝟖𝟕𝟓 𝝁 𝟏. 𝟗𝟎𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓
Uma pesquisa deseja estimar a renda média para 
o primeiro ano de trabalho de um contador. Qual 
o tamanho da amostra que se deve ter para que, 
com uma probabilidade de 95% de confiança, 
sua estimativa não esteja a menos de R$ 500,00 
da verdadeira média populacional? Suponha que 
o desvio padrão seja de R$ 6.250,00
95% / 2 = 47,5%
47,5% / 100 = 0,475
Z = 1,96
𝒏
𝒛. 𝝈
𝒄
𝟐
𝒏
𝟏, 𝟗𝟔. 𝟔𝟐𝟓𝟎
𝟓𝟎𝟎
𝟐
𝒏
𝟏𝟐𝟐𝟓𝟎
𝟓𝟎𝟎
𝟐
𝟐𝟒, 𝟓 𝟐 𝟔𝟎𝟎, 𝟐𝟓
5
Testes de Hipóteses
Têm a função de comparar as medidas 
obtidas de uma amostra com os dados da 
população 
Aferem se o valor amostral é correto ou não 
Permitem aceitar ou rejeitar a hipótese 
estatística
Hipótese estatística = suposição quanto ao 
valor de um parâmetro populacional
Testes de hipóteses
Hipótese Nula (H0) = hipótese a ser testada
Hipótese Alternativa (H1) = hipótese 
diferente da hipótese nula ou qualquer 
hipótese que afirma que a hipótese nula é 
falsa
Erros: Aceita-se a 
hipótese nula (H0)
Rejeita-se a 
hipótese nula (H0)
H0 é verdadeira Decisão foi correta Erro do tipo 1
H0 é falsa Erro do tipo 2 Decisão foi correta
Região de rejeição x Região de aceitação:
Estimador:
𝒁𝒓
𝑿 𝝁
𝝈
𝒏
𝑯𝟎:𝝁 𝝁𝟎 𝑯𝟏:𝝁 𝝁𝟎
Valor tabelado
RR Ho
RA Ho
𝑯𝟎:𝝁 𝝁𝟎 𝑯𝟏:𝝁 𝝁𝟎
Valor tabelado
RR Ho
RA Ho
𝑯𝟎:𝝁 𝝁𝟎 𝑯𝟏:𝝁 𝝁𝟎
Valor tabelado
RR Ho
RA Ho
Valor tabelado
RR Ho
Um fabricante anuncia que o conteúdo de seu 
produto é, em média, de 2.000 g, com desvio 
padrão de 40 g. Ao investigar uma amostra 
de 64 latas, verifica-se média de 1.990 g. 
Fixado o nível de significância em 5%, deverá 
o fabricante ser multado por efetuar a venda 
abaixo do especificado?
𝟎, 𝟓 𝟎, 𝟎𝟓 𝟎, 𝟒𝟓
𝒛
𝟏𝟗𝟗𝟎 𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟒𝟎
𝟔𝟒
𝟏𝟎
𝟓
𝟐
Na Prática
6
Utilização das distribuições de probabilidade 
na tomada de decisão
Aplicações de distribuição normal: finanças, 
investimentos e análise de risco 
Intervalos de confiança para avaliar 
variações
Aplicações
Finalizando
Distribuições de probabilidade:
Intervalo de confiança
Teste de hipótese
Aula 5 
Binomial
N Tentativas
X Vezes
p = probabilidade 
de sucesso
q = 1-p probabilidade 
do insucesso
𝑷 𝒙
𝑵!
𝑿! 𝑵 𝑿 !
𝒑𝒙𝒒𝑵 𝑿
Poisson
𝝀 = média
Unidade de tempo
𝑷 𝒙
𝝀𝒙𝒆 𝝀
𝑿!
Normal
𝝀 = média
S = desvio padrão
𝒁
𝑿 𝝀
𝑺