02 viga Gerber

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Estruturas Isostáticas e 
Hiperestáticas
Viga Gerber
Análise Estrutural - Conceitos
Bibliografia:
SUSSEKIND, J. C., Curso de Análise Estrutural Globo, vol. 1, 1980.
HIBBELER. R. C. Análise de estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson Education, 2013. E-book. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/3819/pdf/0
BOTELHO, Manoel Henrique Campos. Resistência dos materiais: para entender e gostar. 2.ed. São Paulo: Blucher,
2013. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/177895/pdf/0
KASSIMALI, A. Análise Estrutural. Cengage Learning, 5ª edição, 2015, ISBN: 978-85-221-2498-5
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/3819/pdf/0
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/177895/pdf/0
Cargas coplanares: Esforços externos: 
Reações de apoio:𝐴𝑦; 𝐴𝑥; 𝑀𝐴
Cargas aplicadas: P1 e P2;
Esforços internos: 
esforços na seção a-a: 
Diagrama de esforços internos em vigas:
Momento fletor: MB
Normal: NB
Cortante: VB
CONVENÇÃO DE SINAL PARA ESFORÇOS INTERNOS:
Somatório das forças internas: será igual a zero, pois essas
forças entre as partículas do próprio corpo ocorrem aos
pares, são opostas e de mesma intensidade, conforme a
terceira lei de Newton.
Somatório das forças externas: 
∑𝐹𝑥 = 0
∑𝐹𝑦 = 0
∑𝑀𝑜 = 0
Representação gráfica:
V
x x
M
Diagrama de cortante Diagrama de momento fletor
N
x
Diagrama de normal 
Observação: no eixo horizontal ‘x’ temos os pontos da viga.
Aspecto geral das curvas nos diagramas:
Carregamento:
Curva dos diagramas
Observação
M(x) V(x)
carga distribuída linear 3° grau 2° grau
M’(x) = V e 
V’(x) = w
carga distribuída 
constante (w) 
2° grau 1° grau
M’(x) = V e 
V’(x) = w
força pontual (F) 1° grau
força 
constante
ΔV = |F|
momento fletor
aplicado (M0)
momento 
constante
nula ΔM = |M0|
Aspecto geral das curvas nos diagramas:
V: esforço cortante
M: momento fletor
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −𝑤 𝑥
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉
Exemplos:
Calcular o diagrama de esforços internos para a viga a seguir.
A B C
A B C
𝑨𝒚
𝑨𝒙
𝑩𝒚
Reações de apoio:
↶ ∑𝑀𝐴 = 0: 𝐵𝑦 ∙ 4 − 10 ∙ 2 − 10 ∙ 6 = 0 ∴ 𝐵𝑦 = 20 𝐾𝑁 ↑
↑ ∑𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 − 10 + 20 − 10 = 0 ∴ 𝐴𝑦 = 0
∑𝐹𝑥 = 0: 𝐴𝑥 = 0
Diagrama de cortante: 
aplicando equação de equilíbrio: ∑𝐹𝑦 = 0
Trecho AB: equação de 1° grau
Trecho BC: constante
𝑉𝐴 = 0
𝑉𝐵
𝐴𝐵: ↑ ∑𝐹𝑦 = 0:−10 − 𝑉𝐵
𝐴𝐵 = 0 ∴ 𝑉𝐵
𝐴𝐵 = −10 𝐾𝑁
Menos no resultado significa que o sentido que eu coloquei para 
𝑉𝐵
𝐴𝐵 tem que ser trocado para que o equilíbrio exista. 
Internamente a força à direita do ‘corpo’ para cima é negativo.
𝑉𝐵
𝐵𝐶: ↑ ∑𝐹𝑦 = 0:−10 − 𝑉𝐵
𝐴𝐵 + 20 = 0 ∴ 𝑉𝐵
𝐴𝐵 = 10 𝐾𝑁
Mais no resultado significa que o sentido que eu coloquei para 
𝑉𝐵
𝐵𝐶 está certo para que o equilíbrio exista. Internamente a força 
à direita do ‘corpo’ para baixo é positivo.
𝑉𝐶 = 10 𝐾𝑁
2,5 × 4 = 10 𝐾𝑁2 m
+
-10
10
20 10
No ponto B, para o diagrama de 
cortante existirá uma 
descontinuidade que vale a força 
aplicada em B (reação de apoio). 
O mesmo ocorre para o ponto C 
(10 KN).
A B C
𝑨𝒚
𝑨𝒙
𝑩𝒚
2,5 × 4 = 10 𝐾𝑁2 m
-10
10
Outra forma para calcular o diagrama de cortante
Se eu ‘caminhar’ na viga da esquerda para a direita, basta seguir o
sentido da força que estarei respeitando a convenção de sinais para
cortante interno.
Ou seja:
• se a força está para baixo eu subtraio o valor no diagrama
• se a força está para cima eu somo no diagrama
𝑉𝐴 = 0 (não tenho força aplicada em A)
𝑉𝐵
𝐴𝐵 = 0 − 2,5 × 4 = −10 (acrescento a carga distribuída em 4 m)
𝑉𝐵
𝐵𝐶 = −10 + 20 = 10 (somo a força aplicada em B de 20 KN)
𝑉𝐶 = 10 − 10 = 0 (chego com o valor de 10 KN constante até C e
acrescento a força aplicada de 10 KN)
+
A B C
𝑨𝒚
𝑨𝒙
𝑩𝒚
2,5 × 4 = 10 𝐾𝑁2 m
-10
10
Diagrama de momento:
aplicando equação de equilíbrio: ∑𝑀 = 0
Trecho AB: 2° grau
Trecho BC: 1° grau
Nos extremos sempre tenho zero. Se eu tiver um momento aplicado nos
extremos tenho zero mais o momento aplicado. Não é o caso do ponto
A e C.
𝑀𝐴 = 0
𝑀𝐶 = 0
Em B tenho o mesmo valor de momento interno para os 2 trechos
porque não tenho momento aplicado em B.
𝑀𝐵: ↶ ∑𝑀𝑠 = 0: 10 ∙ 2 +𝑀𝐵 = 0
𝑀𝐵 = −20 𝐾𝑁𝑚
+
Para que o equilíbrio exista preciso que o
momento esteja sentido contrário ao que
considerei inicialmente. O momento à
direita do corpo no sentido horário é
negativo internamente.
-20
V (KN)
M (KNm)
Vigas com Dentes Gerber:
• Definição de viga Gerber: trata-se da associação de vigas com
estabilidade própria com outras sem estabilidade própria apoiadas
sobre as primeiras, que dão a estabilidade ao conjunto.
Tem estabilidade própria
Não tem estabilidade própria
A parte que não tem estabilidade própria se apoia na parte que tem estabilidade própria.
Como o ponto C é um ponto de transmissão de forças, não
transmitindo momento algum, ele será representado por uma
rótula:
Procedimento para resolver viga Gerber:
1. Decompor a viga Gerber nas vigas que a constituem;
2. Inicialmente resolver aquelas sem estabilidade própria;
3. Em seguida as dotadas de estabilidade própria, para as cargas que
lhe estão diretamente aplicadas, acrescidas, para estas últimas,
das forças transmitidas pelas rótulas.
• Para determinar as quatro reações de apoio, dispomos das três
equações da Estática no plano (∑𝑿 = 𝟎, ∑𝒀 = 𝟎, ∑𝑴 = 𝟎) e,
devido à existência da rótula em C (o que significa não haver
transmissão de momento em C), temos uma quarta equação
dizendo que o momento fletor em C é nulo (𝑴𝑪 = 𝟎).
• 4 equações e 4 incógnitas → 𝑨𝒙, 𝑨𝒚, 𝑩𝒚 e 𝑫𝒚 → diagramas
solicitantes na viga Gerber.
As vigas Gerber tiveram seu aparecimento por motivos de ordem
estrutural e construtiva.
Exemplos de decomposição:
7 Reações de apoio
3 equações de equilíbrio
4 rótula, logo temos 4
equações (momento interno
na rótulo vale zero).
Tem estabilidade e o número
de equações é igual ao
número de reações:
Isostática!
https://www.youtube.com/watch?v=JmNMuVzD_A4
https://www.youtube.com/watch?v=JmNMuVzD_A4
1) Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber da Figura abaixo:
Exemplos:
2) Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber da Figura abaixo:
3) Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber da Figura abaixo:
4) Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber da Figura abaixo:
5) Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber da Figura abaixo:
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	Slide 14: Vigas com Dentes Gerber: 
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	Slide 24: Exemplos de decomposição:
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	Slide 28: Exemplos:
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