problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (626)

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15.6 Miscelánea de números complejos (2)
⇔ (z + w) (z + w) = (z − w) (z − w)
⇔ (z + w) (z + w) = (z − w) (z − w)
⇔ zz + wz + zw + ww = zz − wz − zw + ww
⇔ 2wz + 2zw = 0⇔ 2
(
zw + zw
)
= 0
⇔ 2Re (zw) = 0⇔ Re (zw) = 0.
Entonces,
w
z
=
wz
zz
=
Re (wz) + i Im (wz)
|z|2
=
Im (wz)
|z|2
i,
luego w/z es imaginario puro.
8. Toda circunferencia o recta del plano tiene por ecuación
λx2 + λy2 + ax+ by + c = 0 con λ, a, b, c ∈ R.
Para que sea circunferencia ha de ser λ 6= 0.Ademas, completando cuadrados
queda (
x+
a
2λ
)2
+
(
y +
b
2λ
)2
=
a2 + b2 − 4λc
4λ2
,
con lo cual también se ha de verificar a2 + b2− 4λc > 0. Para que sea recta,
ha de ser λ = 0 y a, b no simultáneamente nulos.
Usando coordenadas conjugadas complejas x = (z + z) /2, y = (z − z) /2i :
λ
z2 + z2 + 2zz
4
− λz
2 + z2 − 2zz
4
+ a
z + z
2
− biz − z
2
+ c = 0,
λzz +
(
a
2
− b
2
i
)
z +
(
a
2
+
b
2
i
)
z + c = 0.
Llamando A = a/2+bi/2 y c = B queda λzz+Az+Az+B = 0. Si λ 6= 0 la
condición a2 + b2 − 4λc > 0 equivale a λB < AA siendo además λ,B reales
por hipótesis.
Si λ = 0, como a y b no son simultáneamente nulos, AA > 0 luego 0 = λB <
AA.