Lista 6 - Integral Dupla - Cálculo B UFBA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA (UFBA)
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
DISCIPLINA: MATA03 - CÁLCULO B
LISTA 6
Integral dupla
(1) Calcule as integrais:
(a)
∫∫
R
xex
y
dA, onde R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2}.
(b)
∫∫
R
(x+ y)−2 dA, onde R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2}.
(c)
∫∫
R
xy√
x2 + y2 + 1
dA, onde R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
(d)
∫∫
R
1 + x2
1 + y2
dA, onde R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
(e)
∫∫
R
xyex
2y dA, onde R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}.
(2) Se [w] denota o maior inteiro menor ou igual a w, calcule a integral∫∫
R
[x+ y] dA
onde R = {(x, y) ∈ R2; 1 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 5}.
(3) Calcule as integrais abaixo:
(a)
∫∫
R
x
√
y2 − x2 dA, onde R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}.
(b)
∫∫
R
x cos y dA, onde R é a região limitada por y = 0, y = x2 e x = 1.
(c)
∫∫
R
x+ y dA, onde R é a região limitada por y =
√
x, y = x2.
(d)
∫∫
R
2xy dA, onde R é região triangular com vértices em (0, 0), (0, 3) e (1, 2).
(e)
∫∫
R
ex
2
dA, onde R = {(x, y) ∈ R2; 3y ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}.
(f)
∫∫
R
√
x3 + 1 dA, onde R = {(x, y) ∈ R2;√y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
(g)
∫∫
R
x3 sen(y3) dA, onde R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1}.
1
2
(4) Determine o volume do sólido:
(a) abaixo da superf́ıcie z = 2x+ y2 e acima da região limitada por x = y2 e x = y3.
(b) limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3x+ 2y + z = 6.
(c) limitado por y = x2, y = 4, z = 0 e z = 4.
(d) localizado no primeiro octante e limitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pela
superf́ıcie z = 4− y2.
(e) limitado por z = x, y = x, x+ y = 2 e z = 0.
(f) limitado pelos cilindros x2 + y2 = r2 e z2 + y2 = r2 .
(g) localizado no primeiro octante e limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos y = z,
x = 0, z = 0.
(h) dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 16 e fora do cilindro x2 + y2 = 4.
(i) acima do cone z =
√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
(j) limitado pelos paraboloides z = 4− x2 − y2 e z = 3x2 + 3y2.
(k) abaixo do plano z = 2x+ 2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 1.
Integral dupla
(1) (a) ln 2, (b) ln
(4
3
)
, (c)
1
3
(3
√
3− 4
√
2 + 1), (d)
π
3
, (e)
1
2
(e2 − 3); (2)) 30; (3) (a) 1
12
, (b)
1− cos 1
2
, (c)
3
10
(d)
7
4
(e)
e9 − 1
6
(f)
2
9
(2
√
2− 1) (g) 1− cos 1
12
; (4) (a)
19
210
(b) 6 (c)
128
3
(d) 16 (e)
1
3
(f)
16r3
3
(g)
1
3
(h) 32
√
3π (i)
π
3
(2−
√
2), (j) 2π, (l) 2π.