Exercícios de Cálculo Integral

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Exerćıcios Sugeridos da 5ª Semana
Exerćıcio 1. Calcule as integrais
a)
∫∫∫
R
y sin(xy)z2 dV onde R = {(x, y, z) ∈ R3 | 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ π/2, −2 ≤ z ≤ 3}
b)
∫∫∫
R
x2y cos(xyz) dV onde R = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ π/4, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 3}
Exerćıcio 2. Calcule
a)
∫∫∫
E
x2ey dV , onde E é o solido limitado pelo ciĺındro parabólico z = 1− y2 e os planos z = 0, x = 1
e x = −1;
b)
∫∫∫
T
xyz dV onde T é o tetraedro sólido com vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1).
c)
∫∫∫
E
z dV , onde E é o sólido delimitado pelo ciĺındro y2 + z2 = 9 e os planos x = 0, y = 3x e z = 0
no primeiro octante.
d)
∫∫∫
E
xy dV , onde E é o sólido delimitado pelos ciĺındros parabólicos y = x2 e x = y2 e os planos
z = 0 e z = x+ 1;
Exerćıcio 3. Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada indicada abaixo:
a)
∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ 2−2z
0
dy dz dx
b)
∫ 2
0
∫ 2−y
0
∫ 4−y2
0
dx dz dy.
Exerćıcio 4. Calcule a integral iterada
∫ 1
−1
∫ 1
0
∫ 1
y
ex + cosx+ z
x
dx dy dz.
Exerćıcio 5. Calcule o volume do sólido W em R3 delimitado pelas superf́ıcies de equações: z + x2 = 9,
y + z = 4, y = 0, y = 4.
Exerćıcio 6. Calcule a integral tripla ∫∫∫
W
z2 dV
onde W é a região limitada pelas superf́ıcies de equações: x2 + y2 = 4 + z2 e z = x2 + y2 − 4.
Exerćıcio 7. Encontre o volume do sólido W limitado pelo ciĺındro x2− x+ y2 = 0, o plano z = 0 e o cone
z =
√
x2 + y2.
Exerćıcio 8. Calcule a integral tripla ∫∫
E
(x3 + xy2) dV
onde E é o sólido no primeiro octante delimitado pelo parabolóide z = 1− x2 − y2.
Exerćıcio 9. Calcule a integral tripla ∫∫∫
Ω
x2 + y2
z2
dV ,
onde Ω = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≤ z}.
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Exerćıcio 10. Calcule a integral tripla ∫∫∫
W
z2 dV
onde W = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≥ 1, x2 + y2 + (z − 2)2 ≤ 4, z ≥
√
x2 + y2 .
Exerćıcio 11. Calcule o volume do sólido Ω em R3 dado por
Ω = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≥ 4, x2 + y2 + z2 ≤ 4z} .
Exerćıcio 12. Calcule o volume do sólido S definido pela interseção das esferas x2 + y2 − 4y + 4 + z2 = 9
e x2 + y2 + 4y + 4 + z2 = 9.
Exerćıcio 13. Calcule a integral tripla ∫∫∫
W
y cos(x+ z) dV
onde W é a região limitada pelo cilindro parabólico x = y2 e os planos x+ z = π/2 e z = 0.
Exerćıcio 14. Usando mudança de variáveis na integral tripla encontre o volume da região definida pelas
desigualdades:
0 ≤ 2x− 3y + z ≤ 5, 1 ≤ x+ 2y ≤ 4, −3 ≤ x− z ≤ 6.
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