OPERAÇÕES_COM_MATRIZES

Prévia do material em texto

Universidade Estadual do Paraná
UNESPAR - Campus Apucarana
CURSO LATEX 4ª EDIÇÃO
DAYANE RODRIGUES DA SILVA
OPERAÇÕES COM MATRIZES
AGOSTO - 2022
Sumário
1 Adição de Matrizes 1
2 Produto de uma matriz por um escalar 1
3 Produto de Matrizes 2
4 Propriedades das Operações com Matrizes 3
4.1 Propriedades da adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.2 Propriedades do Produto por um Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.3 Propriedades do Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Adição de Matrizes
Dadas as matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn , a adição das matrizes A e B é a matriz C = [cij]mxn,
onde cij = aij + bij ∀i, j.
Notação: C = A+B. large
C = A+B = [aij + bij]mxn
Exemplo:
Se A =

0 2 0 −1
−2 0 2 −t
0 −2 0 0
1 t 0 0
 e S =

s11 2 0 −1
2 y −2 −t
0 −2 0 0
1 −t 0 0
, calcule C = A+S para t, y, e s11 quaisquer
números reais.
C =

s11 4 0 −2
2 y 0 −2t
0 −4 0 0
2 0 0 0

2 Produto de uma matriz por um escalar
Dado o escalar1 α , o produto da matriz A pelo escalar é uma matriz da mesma ordem cujos elementos
foram multiplicados pelo valor α. Em outras palavras, se A = [aij]mxn e α ∈ R, o produto de A pelo escalar
α é uma matriz C de elementos cij com cij = αaij para todos os valores i, j definidos na matriz A. Isto é:
C = [cij]mxn, tal que cij = αaij ∀i, j.
Notação: C = αA = [αaij]mxn.
Exemplo:
Multiplique a matriz I4 pelo escalar α = −2.
C = αI4 = −2

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 =

−2 0 0 0
0 −2 0 0
0 0 −2 0
0 0 0 −2

1Na maioria dos casos, é um número real α ∈ R . É posśıvel, também, tomarmos os escalares como números complexos,
α ∈ C . Os escalares podem ser tomados de qualquer sistema numérico no qual podemos somar, subtrair, multiplicar e
dividir de acordo com as leis habituais da aritmética.
1
3 Produto de Matrizes
Dadas as matrizes A = [aik]mxt e B = [bkj]txn , o produto das matrizes A e B é uma
matriz C = [cij]mxn cujos elementos cij são da forma:
cij =
t∑
k=1
aikbkj .
Isto é, ao definirmos as matrizes
A =

a11 a12 . . . a1t
a21 a22 . . . a2t
...
... . . .
...
am1 am2 . . . amt
 , B =

b11 b12 . . . b1t
b21 b22 . . . b2t
...
... . . .
...
bm1 bm2 . . . bmt
 e C =

c11 c12 . . . c1t
c21 c22 . . . c2t
...
... . . .
...
cm1 cm2 . . . cmt
 ,
os elementos da matriz produto adotam a forma:
cij = ai1b1j + ai2b12 + · · ·+ aitbtj
cij =
t∑
k=1
aikbkj.
Note que o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz
B.
Notação: C = AB =
[
t∑
k=1
aikbkj
]
3x4
Exemplo:
Seja a matriz A =
2 3 43 4 5
4 5 6
 e a matriz B =
1 1 1 12 4 8 16
3 9 27 81
 . Obter a matriz produto
C = AB.
C =
20 50 134 37426 64 170 472
32 78 206 570

Observação: Ao multiplicarmos matrizes devemos tomar cuidado com a ordem das
linhas e colunas, ou seja, poderemos fazer o produto de matrizes quando o número de
colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. Assim, a matriz
produto C terá um número de linhas igual ao número de linhas da matriz A e um número
de colunas igual ao número de colunas de B.
2
4 Propriedades das Operações com Matrizes
Considere A = [aij]mxn , B = [bij]mxn e C = [cij]mxn, então temos as seguintes
propriedades:
4.1 Propriedades da adição
1. Comutatividade: A+B = B + A;
2. Associatividade: (A+B) + C = A+ (B + C) ;
3. Elemento Neutro da Soma: A+O = A,O = [0]mxn ;
4. Elemento Simétrico: A+ (−A) = O (A− A = O).
Observação: 0 é zero escalar e O é a matriz zero.
4.2 Propriedades do Produto por um Escalar
Sejam A e B duas matrizes da mesma ordem e α, β dois escalares, então:
1. α(βA) = (αβ)A;
2. α(A+B) = αA+ αB ;
3. (α + β)A = αA+ βA ;
4. 1.A = A.
4.3 Propriedades do Produto de Matrizes
1. Distributiva: A(B + C) = AB + AC;
2. Associativa: (AB)C = AB + AC;
3. (A+B) = AC +BC;
4. α(AB) = (αA)B = A(αB).
Observação: É importante observar que em geral AB ̸= BA.
3