Lista1

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Universidade Federal de Juiz de Fora
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear - MAT 158 - Turma B - 2014/3
Prof.: Laércio José dos Santos
Lista 1 - 29/08 - Justifique cada resposta dada
1. Mostre que o conjunto V , com as operações usuais, é um espaço vetorial sobre K, onde
K = R ou K = C.
(a) V = Kn.
(b) V = M(m,n,K).
(c) V = Pn(K).
(d) V = F(X,R), onde X ⊂ R.
2. Verifique, em cada caso, se o conjunto W dado é um espaço vetorial sobre K, com as
operações usuais do espaço vetorial V .
(a) V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ V : x− y − z = 0}.
(b) V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ V : x+ y + z = 1}.
(c) V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ V : y = x2 + z2}.
(d) V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ V : (x− 1)2 + (y + 1)2 + z2 = 2}.
(e) V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ V : z = ex + sen y}.
(f) V = C2 e W = {(x, x̄) : x ∈ C}.
(g) V = C3 e W = {(x, y, z) ∈ V : z = x− y}.
(h) V = C4 e W = {(z1, z2, z3, z4) ∈ V : z4 + z2 = z1 + z3}.
(i) V = M(2,C) e W =
{(
a b
c d
)
: a+ b = 0
}
.
(j) V = M(n,K) e W = {A ∈ V : At = A} (conjunto das matrizes simétricas).
(k) V = M(n,K) e W = {A ∈ V : At = −A} (conjunto das matrizes antissimétricas).
(l) V = M(n,K) e W o subconjunto das matrizes de traço zero.
(m) V = M(n,K) e W o subconjunto das matrizes triangulares superiores.
(n) V = M(n,K) e W o subconjunto das matrizes triangulares inferiores.
(o) V = M(n,K) e W o subconjunto das matrizes diagonais.
(p) V = P3(R) e W = {a1t+ a3t3 ∈ V : a1 + a3 = 0}.
(q) V = P3(R) e W = P2(R).
(r) V = P3(C) e W = {a0 + a1t+ a2t2 + t3 : a0 + a1 = 0}.
(s) V = F(X,R) e W = C(X,R) = {f ∈ V : f é cont́ınua}, onde X ⊂ R é um
intervalo.
(t) V = F((a, b),R) e W = D((a, b),R) = {f ∈ V : f é derivável}, onde a < b.
(u) V = F([a, b],R) e W = I([a, b],R) = {f ∈ V : f é integrável}, onde a < b.
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3. Seja A ∈ M(m,n,K). Mostre que o subconjunto W de Kn definido por
W = {v ∈ Kn : Av = 0}
é um subespaço de Kn.
4. Sejam A ∈ M(n,K) e c ∈ K. Mostre que o subconjunto W de Kn definido por
W = {v ∈ Kn : Av = cv}
é um subespaço de Kn.
5. Sejam V = M(n,K), V1 e V2 os subespaços de V das matrizes simétricas e antis-
simétricas, respectivamente. Mostre que V = V1 ⊕ V2.
6. Sejam V = F(R,R), V1 = {f ∈ V : f(−x) = f(x), para todo x ∈ R} (conjunto das
funções pares) e V2 = {f ∈ V : f(−x) = −f(x), para todo x ∈ R} (conjunto das funções
ı́mpares). Mostre:
(a) V1 e V2 são subespaços de V .
(b) V = V1 ⊕ V2.
7. Sejam V um espaço vetorial, V1 e V2 subespaços de V . Mostre que as seguintes condições
são equivalentes:
(a) V = V1 ⊕ V2.
(b) Cada vetor v ∈ V escreve-se de maneira única v = v1 + v2, com v1 ∈ V1 e v2 ∈ V2.
8. Verifique se:
(a) w é combinação linear de u e v, sendo
w = (i, −2, −2i− 1), u = (1, i, −1) e v = (0, 1, i+ 1).
(b) A matriz A é combinação linear das matrizes B e C, sendo
A =
(
3 2
1 1
)
, B =
(
1 1
0 1
)
e C =
(
1 0
1 −1
)
.
(c) O polinômio p é combinação linear dos polinômios q e r, sendo
p = 3 + 2t+ t2 + t3, q = 1 + t+ t3 e r = 1 + t2 − t3.
9. Sejam S1 = {(1,−1, 2), (3, 0, 1)} e S2 = {(−1,−2, 3), (3, 3,−4)} subconjuntos do espaço
vetorial R3. Mostre que ger(S1) = ger(S2).
10. Sejam A,B ∈ M(m,n,K). Mostre que Av = Bv, para todo v ∈ Kn se, e somente se,
A = B.
11. Sejam A ∈ M(m,n,K), A = (aij), b ∈ Km e
u1 = (a11, a21, . . . , am1) , . . . , un = (a1n, a2n, . . . , amn)
os vetores colunas de A. Mostre que o sistema Ax = b tem solução se, e somente se,
b ∈ ger{u1, . . . , un}.
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12. Verifique quais dos subconjuntos S são linearmente independente no espaço vetorial V
sobre K.
(a) V = R3, K = R e S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (−1, 1, 2)}.
(b) V = R3, K = R e S = {(0, 0, 0), (1, 1,−2), (2, 0, 1)}.
(c) V = R3, K = R e S = {(1, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 4, 1)}.
(d) V = C3, K = C e S = {(i, 1, 0), (1 + i, 2, 0), (3, 1, 0)}.
(e) V = C3, K = C e S = {(i, 1, 0), (2 + i, 3i, 5− i), (2, 4 + 4i, 4− 6i)}.
(f) V = M(2,R) e S =
{(
3 2
1 1
)
,
(
1 1
0 1
)
,
(
1 0
1 −1
)}
.
(g) V = M(2,R) e S =
{(
1 0
0 −1
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
1 −1
3 2
)}
.
(h) V = P4(R) e S = {1, t− 1, t2 + 2t+ 1, t2}.
(i) V = P4(R) e S = {3 + 2t+ t2 + t3, 1 + t+ t3, 1 + t2 − t3}.
(j) V = P4(R) e S = {t4 + t− 1, t3 − t+ 1, t2 − 1}.
(k) V = F(R,R) e S = {f, g, h}, onde f(x) = 1, g(x) = ex e h(x) = xex.
13. Seja A ∈ M(n,K). Mostre que são equivalentes:
(a) A é inverśıvel.
(b) Se S = {v1, . . . , vm} ⊂ Kn é um subconjunto qualquer, linearmente independente,
então {Av1, . . . , Avm} é linearmente independente.
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