Exercício de Algebra Linear (68)

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a) S é o conjunto de todos os múltiplos de 5.
◦ É claro que S não é vazio porque 5 ∈ S .
◦ Sejam x, y ∈ S . Então existem inteiros m, n ∈ � tais que x = 5m e y = 5n.
◦ x − y = 5m − 5n = 5 (m − n)︸ ︷︷ ︸
∈�
∈ S
◦ x · y = (5m)(5n) = 5 (5mn)︸︷︷︸
∈�
∈ S
Fica mostrado dessa forma que S é um subanel de A
b) Consideremos os dois seguintes elementos de S (escolhidos aleatoriamente):
x =

1 1 1
2 2 0
3 0 0
 e y =

2 2 2
−1 −1 0
4 0 0
. Temos que seu produto é xy =

5 1 2
2 2 4
6 6 6
 <
S . Logo, S não é subanel de A.
8) Verifique se (I,+, ·) é um ideal do anel (A,+, ·) em cada um dos seguintes casos:
a) I = { f : � −→ � | f (−1) = f (1) = 0}, A = ��.
b) I = { f : � −→ � | f (−1) = f (1) = 2}, A = ��.
Solução:
a) ◦ Seja f a função nula f (x) = 0. Então f ∈ I ⇒ I , ∅.
◦ Sejam f , g ∈ I. Então, f (−1) = f (1) = g(−1) = g(1) = 0⇒ ( f − g)(−1) =
f (−1) − g(−1) = 0 − 0 = 0 e ( f − g)(1) = f (1) − g(1) = 0 − 0 = 0. Logo,
f − g ∈ I.
◦ Se f ∈ I e h ∈ A, então (h · f )(−1) = h(−1) · f (−1) = h(−1) · 0 = 0 e
(h · f )(1) = h(1) · f (1) = h(1) · 0 = 0. Logo, h · f ∈ I.
Pelo que foi mostrado, concluı́mos que I é um ideal de A.
b) Um exemplo de elemento de I pode ser dado por f (x) = x2 + 1. Seja g(x) = x ∈
A. Temos que h(x) = f (x) · g(x) é tal que h(x) = x3 + x, h(−1) = −2 e h(1) = 2.
Logo, h(x) < I de onde podemos concluir que I não é ideal de A.
9) Verifique se (3�,+, ·) e (5�,+, ·) são anéis isomorfos.
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