Prova de Cálculo limites resolvida (32)

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Universidade Federal de Goiás Tutor: Prof. Maxwell
Instituto de Matemática e Estatística Disciplina: MA22(PROFMAT)
Goiânia, 03 de Maio de 2012 Turma: Polo de Anápolis
Lista 4 - GABARITO
OBS: Esta lista DEVE ser entregue ATÉ dia 10/05/2012!
1) Considere f : R→ R dada por f(x) =


3x+ 6a, x < −1
3ax− 7b, −1 ≤ x ≤ 1
x− 12b, x > 1.
. Determine de a e b de modo f seja contínua.
Sol: Basta que
{
f(−1) = lim
x→−1
f(x)
f(1) = lim
x→1
f(x)
. Mas isso implica que


−3a− 7b = lim
x→−1−
3x+ 6a = −3 + 6a
3a − 7b = lim
x→1+
x− 12b = 1− 12b
⇐⇒
{
9a+ 7b = 3
3a+ 5b = 1
⇔ a = 1
3
, b = 0.
2) Pela desigualdade de Bernoulli, (1 + b)n ≥ 1 + nb para todo b ≥ 0 e para todo n ∈ IN.
a) Veri�que que se x > 1, então lim
n→∞
xn =∞.
Sol: Se x > 1, existe b > 0 tal que x = 1 + b. Logo xn = (1 + b)n ≥ 1 + nb→∞, se n→∞.
b) Utilizando a item a) e as propriedades dos limites, veri�que que se 0 < x < 1, então lim
n→∞
xn = 0.
Sol: Se 0 < x < 1, então 1
x
> 1. Logo existe b > 0 tal que 1
x
= 1 + b. Portanto, 1
xn
= (1 + b)n ≥ 1 + nb. Logo, 0 ≤ xn ≤ 1
1+nb
→ 0, se n→∞.
c) Seja f(x) = lim
n→∞
(
x+
2x
1 + xn
)
, x ≥ 0. Encontre uma lei de formação para f que não envolva o limite e esboçe seu grá�co.
Sol: Pelas letras a) e b) temos que f(x) =


3x, se 0 ≤ x < 1
2, se x = 1
x, se x > 1
d) O grá�co de g(x) = lim
n→∞
(
x+
2x
1− xn
)
, x ≥ 0, possui alguma assíntota?
Sol: Note que g(x) não está de�nida em x = 1. Além disso, agindo como nos itens anteriores, g(x) =
{
3x, se 0 ≤ x < 1
x, se x > 1
.
Note que lim
x→1−
g(x) = lim
x→1−
x = 1 6= 3 = lim
x→1+
3x = lim
x→1+
g(x)
Portanto, o grá�co de g não possui assíntota.