Sistemas Lineares Lista 2

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de Engenharia de Computação e Automação
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecatrônica
EGM0002 - Sistemas Lineares
Prof. Carlos Eduardo Trabuco Dórea
Lista de Exerćıcios - Realimentação de Estado, Observadores e Alocação de Polos
1. Considere um sistema linear invariante no tempo descrito por:
ẋ(t) =
[
−0, 5 0, 5
−0, 5 −0, 5
]
x(t) +
[
−0, 5
0, 5
]
u(t),
y(t) =
[
1 1
]
x(t).
(1)
Com o objetivo de controlar seu comportamento transitório e tendo em vista a impossibilidade de se medirem ambas
as variáveis de estado, é aplicada a este sistema uma realimentação do estado estimado, u(t) = −Kx̂(t) + r(t), sendo
r(t) o sinal de referência, e x̂(t) o estado estimado através de um observador de ordem completa dado por:
˙̂x(t) = Ax̂(t) +Bu(t) + L(y(t)− Cx̂(t)).
Determinar K =
[
K1 K2
]
e L =
[
L1
L2
]
de modo que:
• os polos de malha fechada do sistema sejam iguais a {−2;−4}.
• a evolução do erro de observação e(t) = x(t)− x̂(t) seja governada pelos autovalores {−8± j4}.
2. Considere um sistema linear invariante no tempo descrito por:
ẋ(t) =
[
−7 −6
4 4
]
x(t) +
[
−3
4
]
u(t),
y(t) =
[
0 1
]
x(t).
(2)
(a) Colocá-lo na forma canônica observável por meio de uma mudança de variáveis;
(b) Deseja-se aplicar uma realimentação de estado u(t) = −Kx(t)+ r(t) de modo que o sistema seja assintoticamente
estável em malha fechada e um dos autovalores de malha fechada seja igual a −2. Determinar uma matriz K que
satisfaça essas condições e calcular a função de transferência de malha fechada resultante.
3. Considere o seguinte sistema de controle com realimentação unitária:
+ +
+
_
r(t) y(t)
w(t)
C(s) G(s)
Figura 1: Sistema de controle a realimentação unitária
(a) Considerando G(s) = 1
s−1
, calcule um controlador C(s) com a menor ordem posśıvel, de modo que um dos polos
de malha fechada da função de transferência
Y (s)
R(s)
seja igual a −2.
(b) Considerando G(s) = 1
s−1
, calcule um controlador C(s) com a menor ordem posśıvel de modo que:
• Todos os polos de malha fechada sejam iguais a −2;
• Se o sinal de referência r(t) for do tipo degrau, a sáıda y(t) deve rastreá-lo sem erro de regime permanente;
• Se a perturbação w(t) for do tipo degrau, sua influência na sáıda deve ser anulada no regime permanente.