ProvasCDR-11-02

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
Campus de Palmas
Curso de Engenharia Civil
Nome : ........................................................................ Conceito: ............
Cálculo Diferencial em R
Primeira Prova
Observações:
(a) Os procedimentos a serem adotados na resolução das questões deverão constar na prova;
(b) A prova é individual e sem consulta. Resolver só CINCO questões;
(c) O tempo máximo para resolução da prova é de 02horas/aula;
(d) A interpretação das questões faz parte da prova.
(e) Justifique cada resposta. Prof. Dr. Sc. Christian Q. Pinedo
1. Determine o valor de E = x4 + 4x2 + 2, quando x = 4
√√
2− 1− 1
4
√√
2− 1
.
2. Determine o valor de m ∈ Z+ de modo que a desigualdade
x
x+m
+
2
x− 1
<
x+m
x
seja verdadeira ∀ x ∈ (−1, −1
3
) ∪ (0, 1).
3. Determine o valor de y ∈ R, se: 3|y − 5|+ 5
1 + |10− 2y|
≤ 3.
4. Da relação: tan
α
2
=
tanα+m− 1
tanα +m+ 1
∀m > 1, determine o valor de tan α
2
.
5. Determinar o domínio de definição da seguinte função:
f(x) =
4
√
x2 − 4x+ 12 + 3x
2
4
√
−x− 20 + x2
6. Sejam b ̸= 0 e a função inversível f(x) = ax+ b
bx+ 1
definida para x ̸= −b−1. Calcular
o valor numérico de E = b2a + ab2 , sabe-se que f(a) = b e f−1(a) + f−1(a2) = −b.
Palmas 09 de dezembro de 2011
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
Campus de Palmas
Curso de Engenharia Civil
Cálculo Diferencial em R
Gabarito da Primeira Prova
Palmas 09 de dezembro de 2011
Questão 1.
Determine o valor de E = x4 + 4x2 + 2, quando x = 4
√√
2− 1− 1
4
√√
2− 1
.
Solução.
x =
4
√√
2− 1− 1
4
√√
2− 1
⇔ x2 = 2
√√
2− 1 + 1
2
√√
2− 1
− 2 ⇔
(x2 + 2)2 =
√
2− 1 + 1√
2− 1
+ 2 ⇔ x4 + 4x2 + 2 = 2
√
2
Portanto, E = 2
√
2
Questão 2.
Determine o valor de m ∈ Z+ de modo que a desigualdade x
x+m
+
2
x− 1
<
x+m
x
seja verdadeira ∀ x ∈ (−1, −1
3
) ∪ (0, 1).
Solução.
Podemos escrever
x
x+m
+
2
x− 1
<
x+m
x
⇔ x(x− 1) + 2(x+m)
(x+m)(x− 1)
− x+m
x
< 0 ⇔
⇔ x
2 + x+ 2m
(x+m)(x− 1)
− x+m
x
< 0 ⇔ x(x
2 + x+ 2m)− (x− 1)(x+m)2
x(x+m)(x− 1)
⇔
x2(2− 2m) + x(4m−m2) +m2
(x− 0)(x+m)(x− 1)
< 0 (2.1)
Observando o denominador, e pelas condições da solução tem-se que: m = 1 ou m = 0
ou m =
1
3
. Na desigualdade (2.1) se m = 1 tem-se
3x+ 1
(x− 0)(x+ 1)(x− 1)
< 0 ⇔ (x− 0)(x− 1)(x+ 1)(x+ 1
3
) < 0
3
.
A solução desta desigualdade é: x ∈ (−1, −1
3
) ∪ (0, 1)
Na desigualdade (2.1) se m = 0 tem-se
2x2
(x− 0)(x)(x− 1)
< 0 ⇔ 2(x− 1) < 0
.
A solução desta desigualdade é: x ∈ (−∞, 1)r {0}.
Para o caso m =
1
3
não satisfaz;
Portanto m = 1.
Questão 3.
Determine o valor de y ∈ R, se: 3|y − 5|+ 5
1 + |10− 2y|
≤ 3.
Solução.
Podemos supor x = |y − 5|, então 3x+ 5
2x+ 1
≤ 3, logo
3x+ 5
2x+ 1
− 3 ≤ 0 ⇒ (3x+ 5)− 3(2x+ 1)
2x+ 1
≤ 0 ⇒
−3(x− 2
3
)
2(x+
1
2
)
≤ 0
(x− 2
3
)
(x+
1
2
)
≥ 0 ⇔ (x− 2
3
)(x+
1
2
) ≥ 0, x ̸= −1
2
⇔ x ∈ (−∞, −1
2
) ∪ [2
3
, ∞)
O caso x = |y − 5| ≤ −1
2
não cumpre, logo x = |y − 5| ≥ 2
3
assim
|y − 5| ≥ 2
3
⇔ (y − 5) ≥ 2
3
ou (y − 5) ≤ −2
3
⇔
⇔ y ≥ 5 + 2
3
ou y ≤ 5− 2
3
Portanto, y ∈ (−∞, 13
3
] ∪ [17
3
, +∞)
Questão 4.
Da relação: tan
α
2
=
tanα +m− 1
tanα +m+ 1
∀m > 1, determine o valor de tan α
2
.
Solução.
4
Suponhamos −π
2
<
α
2
<
π
2
, pois, se α = ±π
2
segue que tanα = ∞ e se α = 0 é
imediato que m = 1.
Como estamos considerando −π < α < π, então −∞ < x = tan α
2
< +∞.
Sabe-se que tanα =
2 tan
α
2
1− tan2 α
2
⇒ tanα = 2x
1− x2
, assim
tan
α
2
=
tanα +m− 1
tanα +m+ 1
⇒ x =
2x
1− x2
+m− 1
2x
1− x2
+m+ 1
⇒
x[2x+ (m+ 1)(1− x2)] = 2x+ (m− 1)(1− x2) ⇒ (x− 1)[x2(m+ 1)− (m− 1)] = 0
Logo x = tan
α
2
= 1 ou x = tan
α
2
= ±
√
m− 1
m+ 1
.
Se tan
α
2
= 1 então α =
π
2
absurdo!
Portanto, tan
α
2
= ±
√
m− 1
m+ 1
sempre que m > 1.
Questão 5.
Determinar o domínio de definição da seguintes função:
f(x) =
4
√
x2 − 4x+ 12 + 3x
2
4
√
−x− 20 + x2
Solução.
x2−4x+12 ≥ 0 e −x−20+x2 > 0 ⇔ (x−2)2+8 ≥ 0 e (x−5)(x+4) >
0 ⇔
⇔ x ∈ R e (−∞, −4) ∪ (5, +∞) ⇔ D(f) = (−∞, −4) ∪ (5, +∞).
Questão 6.
Sejam b ̸= 0 e a função inversível f(x) = ax+ b
bx+ 1
definida para x ̸= −b−1. Calcular o
valor numérico de E = b2a + ab2, sabendo que f(a) = b e f−1(a) + f−1(a2) = −b.
Solução.
Seja y =
ax+ b
bx+ 1
então y(bx + 1) = ax + b ⇒ x = b− y
by − a
, logo f−1(x) =
b− x
bx− a
com x ̸= ab−1.
Como f(a) = b ⇒ b = a
2 + b
ab+ 1
⇒ ab2 + b = a2 + b ⇒ a = b2, por outro
lado.
5
Como f−1(b) + f−1(a2) = −b então −b = f−1(b) + f−1(a2) = a− b
ab− a
+
b− a2
a2b− a
, logo
como a = b2
−b = b
2 − b
b3 − b2
+
b− b4
b5 − b2
⇒ −b = −1
b
+
−1
b
⇒ b2 = 2 ⇒ a = 2
Portanto, E = b2a + ab2 = (b2)a + ab2 = 22 + 22 = 8