Livro Texto - Unidade 1

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Autores: Profa. Christiane Mázur Doi
 Profa. Fabíola Mariana Aguiar Ribeiro 
Colaboradores: Prof. Pedro Américo Frugoli
 Prof. José Carlos Morilla
Equações Diferenciais
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Professoras conteudistas: Christiane Mázur Doi / Fabíola Mariana Aguiar Ribeiro
Christiane Mázur Doi 
Possui doutorado em Engenharia Metalúrgica e de Materiais pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 
– USP (2005), mestrado em Ciências – Tecnologia Nuclear pelo Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares e pela 
Universidade de São Paulo – USP (1998), aperfeiçoamento em Tópicos de Estatística pelo Instituto de Matemática e 
Estatística da Universidade de São Paulo – USP (2012), graduação em Engenharia Química pelo Centro Universitário 
da FEI (1992) e licenciatura em Matemática pelo Centro Universitário Claretiano (2012). Realizou pesquisas na área 
de Engenharia Nuclear (com ênfase em Conversão, Enriquecimento e Fabricação de Combustível Nuclear) e na área 
de Engenharia de Materiais, principalmente em Soldagem Branda (com ênfase em Meio Ambiente). Tem experiência 
na produção de materiais didáticos e instrucionais. Atua, desde 1993, no magistério superior e é professora titular da 
Universidade Paulista (UNIP).
Fabíola Mariana Aguiar Ribeiro 
Possui doutorado em Astronomia pela Universidade de São Paulo – USP (2006) e bacharelado em Física, com 
habilitação em Astronomia, pela Universidade de São Paulo – USP (2001). Fez pós-doutorado em Astronomia na 
Universidade de São Paulo de 2006 a 2008. Tem experiência na área de Astronomia e realizou pesquisas nos seguintes 
temas: variáveis cataclísmicas, discos de acreção, flickering e tomografia Doppler, incluindo a simulação de discos de 
acreção com vento e flickering. É professora titular da Universidade Paulista (UNIP).
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
D657t Doi, Christiane Mázur. 
Equações diferenciais. / Christiane Mázur Doi, Fabíola Mariana 
Aguiar Ribeiro. – São Paulo: Editora Sol, 2017.
200 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXIII, n. 2-077/17, ISSN 1517-9230.
1. Equações diferenciais. 2. Equações diferenciais exatas. 3. 
Oscilador harmônico simples. I. Ribeiro, Fabíola Mariana Aguiar. II. Título.
CDU 51
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Marcilia Brito
 Ricardo Duarte
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Sumário
Equações Diferenciais
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...............................................................................................................................9
1.1 Definição .....................................................................................................................................................9
1.2 Classificação ........................................................................................................................................... 10
1.3 Exemplos de classificação de equações diferenciais .............................................................. 11
1.4 Solução de equações diferenciais .................................................................................................. 12
2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS .................................................................... 18
2.1 Definição .................................................................................................................................................. 18
2.2 Exemplos de equações diferenciais de variáveis separáveis ............................................... 19
2.3 Solução de equações diferenciais de variáveis separáveis .................................................. 19
3 APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS .................................. 28
3.1 Dinâmica de uma partícula .............................................................................................................. 28
3.2 Reta tangente ........................................................................................................................................ 30
3.3 Populações .............................................................................................................................................. 33
3.4 Decaimento radioativo ....................................................................................................................... 35
4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS ........................................................................................................... 38
4.1 Definição .................................................................................................................................................. 38
4.2 Solução de equações diferenciais exatas ................................................................................... 41
4.3 Fator integrante .................................................................................................................................... 41
Unidade II
5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ......................................................... 86
5.1 Definição .................................................................................................................................................. 86
5.2 Solução de equações diferenciais lineares de primeira ordem .......................................... 88
6 APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ......................100
6.1 Lei de resfriamento de Newton ....................................................................................................100
6.2 Circuito RC sem fonte ......................................................................................................................103
6.3 Circuito RL sem fonte .......................................................................................................................107
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Unidade III
7 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM .......................................................130
7.1 Definição ................................................................................................................................................130
7.2 Solução de equações diferenciais linearesde segunda ordem homogêneas ............132
7.3 Solução de equações diferenciais lineares de segunda ordem não homogêneas ............... 143
8 APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM .....................153
8.1 Oscilador harmônico simples ........................................................................................................153
8.2 Oscilador harmônico amortecido ................................................................................................153
8.3 Circuito LC em série ...........................................................................................................................159
8.4 Pêndulo simples ..................................................................................................................................162
8.5 Osciladores forçados e amortecidos ...........................................................................................166
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APRESENTAÇÃO
Este livro-texto apresenta uma introdução às equações diferenciais. Elas estão presentes na 
construção de modelos matemáticos que envolvem taxas de variação de quantidades diversas. Logo, 
as equações diferenciais não são uma exclusividade das Ciências Exatas. Usamos equações diferenciais 
para modelar o decaimento radioativo de um átomo, para modelar o crescimento de uma população de 
bactérias e para modelar o comportamento de um oscilador amortecido, por exemplo.
O estudo de equações diferenciais teve início com a noção de infinitesimal, já conhecida na primeira 
metade do século XVII, mas de forma fragmentada. Newton e Leibniz estabeleceram métodos e processos 
algorítmicos e desenvolveram o cálculo diferencial, de forma que o estudo de infinitesimais se tornou 
independente da Geometria.
Newton estabeleceu os princípios da Mecânica em seu livro Principia, notando a necessidade de 
uma ferramenta matemática específica que envolvia o estudo de infinitesimais: dessa maneira, surgiu 
o cálculo infinitesimal. Os trabalhos de Newton sobre cálculo infinitesimal foram publicados apenas no 
século XVIII e tiveram pouco alcance no meio acadêmico.
Leibniz obteve, de forma independente, resultados similares aos de Newton. Esses resultados foram 
publicados em uma série de artigos anteriores às publicações de Newton, com maior alcance no meio 
acadêmico. Foi Leibniz quem criou a notação dx para o diferencial e o símbolo de integral para representar 
soma, de modo que a soma dos diferenciais resultava em um todo, ou seja, ∫dx = x.
Os irmãos Bernoulli, Jacques e Jean, foram colaboradores de Leibniz e contribuíram para a evolução 
e a consolidação da teoria do cálculo diferencial, bem como dos seus métodos e das suas aplicações. A 
necessidade crescente do uso da Matemática como ferramenta para a Física levou ao desenvolvimento 
da teoria das equações diferenciais, campo em que a contribuição de Jacques Bernoulli foi fundamental. 
Jacques Bernoulli trabalhou na solução da equação diferencial ( ) ( )y ' P x Q x .y+ = , conhecida, hoje, 
como equação de Bernoulli.
O estudo de equações diferenciais parciais surgiu com o trabalho de D´Alembert sobre a vibração de 
uma corda, que levou à equação diferencial 
2 2
2
2 2
u u
k
t x
∂ ∂=
∂ ∂
. Ainda no século XVIII, Lagrange propôs um 
método para resolver equações diferenciais lineares não homogêneas.
INTRODUÇÃO
A primeira parte é dividida em: equações diferenciais, equações diferenciais de variáveis separáveis, 
aplicações de equações diferenciais de variáveis separáveis e equações diferenciais exatas.
Primeiro, apresentamos uma introdução às equações diferenciais: definimos o que é uma equação 
diferencial e, em seguida, detalhamos a classificação das equações diferenciais e estudamos como 
determinar se uma equação é solução ou não de dada equação diferencial.
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Depois, tratamos das equações diferenciais de variáveis separáveis: indicamos, inicialmente, como 
identificar se uma equação diferencial é desse tipo e, na sequência, apresentamos seu método de 
resolução. São discutidos vários exemplos envolvendo equações diferenciais parciais.
Apresentamos, também, aplicações de equações diferenciais de variáveis separáveis, discutimos 
a dinâmica de uma partícula sujeita à aplicação de uma força, mostramos a definição da reta 
tangente em um ponto de uma função dada, realizamos o estudo de populações e analisamos o 
decaimento radioativo.
Estudamos equações diferenciais exatas. Definimos o critério para classificar dada equação diferencial 
como uma equação diferencial exata e apresentamos o método para obter a solução dessa classe de 
equações diferenciais. Vários exemplos de classificação e de resolução de equações diferenciais exatas 
são discutidos.
Em seguida, abordamos as equações diferenciais lineares de primeira ordem e discutimos aplicações 
desse tipo de equação. Tratamos das equações diferencias lineares de primeira ordem, homogêneas e 
não homogêneas, apresentamos o critério para classificar equações desse tipo, estudamos o método 
para sua resolução e discutimos diversos exemplos.
Apresentamos aplicações de equações diferenciais lineares de primeira ordem, como a lei de 
resfriamento de Newton e os circuitos RL e RC sem fonte de energia.
Por fim, discutimos equações diferenciais lineares de segunda ordem e suas aplicações.
Definimos o que é uma equação diferencial linear de segunda ordem e apresentamos o método 
para determinar a solução dessas equações, tanto para equações diferenciais homogêneas quanto para 
equações diferenciais não homogêneas. Diversos exemplos são discutidos.
Apresentamos, ainda, aplicações de equações diferenciais lineares de segunda ordem, como o 
oscilador harmônico simples, sem e com amortecimento, e o oscilador forçado. Estudamos, também, os 
casos do pêndulo simples e de circuito LC em série, sem fonte de energia.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Unidade I
1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1.1 Definição
Uma equação diferencial é uma equação que contém a derivada de uma função desconhecida. As 
equações a seguir são exemplos de equações diferenciais.
( )
2
2
2 2
2 2
y ' 4
d p(x)
4p x 1
dx
f(x,y) f(x,y)
0
x y
x 3x 0
=
− =
∂ ∂+ =
∂ ∂
+ =
.
 Observação
As derivadas podem ser expressas de diferentes formas. Considere f(x) 
uma função diferenciável para qualquer valor de x ∈ IR. A derivada de f(x) 
em relação a x pode ser expressa como f’(x) ou df(x)
dx
, por exemplo.
Em Física, é frequente derivarmos grandezas em relação ao tempo. 
Vamos analisar o caso da posição de um corpo em função do tempo t, dada 
por x(t). Para a derivada da posição em função do tempo, usamos a notação 
x, em que o ponto indica a derivada temporal.
Considere g(x,y) uma função de duas variáveis, diferenciável em IR2. As 
derivadas parciais de g em relação a x e y podem ser escritas, respectivamente, 
como 
g
x
∂
∂
 e 
g
y
∂
∂
 ou xg e yg , por exemplo.
As equações diferenciais surgem quando criamos modelos matemáticos para problemas físicos que 
envolvem a taxa de variação de dada quantidade. As equações diferenciais não são uma exclusividade 
das Ciências Exatas, pois também surgem quando estudamos modelos populacionais em Ciências Sociais 
e modelos de cultura de bactérias em Ciências Biológicas.
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Unidade I
1.2 Classificação
As equações diferenciais podem ser classificadas em ordinárias (EDO) ou parciais (EDP). As equações 
diferenciais ordinárias envolvem funções de apenas uma variável, enquanto as equações diferenciais 
parciais envolvem funções de mais de uma variável e, portanto, derivadas parciais.
A equação a seguir é um exemplo de uma equação diferencial ordinária.df(x)
5x
dx
=
A equação a seguir é um exemplo de uma equação diferencial parcial.
f(x,y)
5xy
x
∂ =
∂
As equações diferenciais também podem ser classificadas quanto à sua ordem. As equações 
diferenciais de primeira ordem envolvem apenas a primeira derivada de uma função; já as equações 
diferenciais de segunda ordem envolvem segundas derivadas (e primeiras derivadas também, 
conforme o caso) de uma função. Seguindo o mesmo raciocínio, podemos ter equações diferenciais 
de terceira, quarta ou quinta ordens. A ordem da equação diferencial é sempre a maior ordem de 
derivação da equação.
A equação diferencial a seguir é um exemplo de equação diferencial de primeira ordem.
( )f ' x 4x 2= +
A equação diferencial a seguir é um exemplo de equação diferencial de segunda ordem.
( )f '' x 4x 2= +
Podemos também classificar as equações diferenciais em homogêneas e não homogêneas. As 
equações diferenciais homogêneas não têm termos que não dependem da função ou da variável, 
enquanto as não homogêneas têm esse termo.
A equação diferencial a seguir é um exemplo de equação diferencial homogênea.
x 3x 0+ =
A equação diferencial a seguir é um exemplo de equação diferencial não homogênea.
x 3x 5+ =
A equação diferencial a seguir é outro exemplo de equação diferencial não homogênea.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
2x 3x e+ =
1.3 Exemplos de classificação de equações diferenciais
No exemplo a seguir, discutiremos a classificação de algumas equações diferenciais.
Exemplo 1
Classifique as equações diferenciais a seguir.
x 3x 0+ =
y' 4=
( )
2
2
d p(x)
4p x 1
dx
− =
2 2
2 2
f(x,y) f(x,y)
0
x y
∂ ∂+ =
∂ ∂
Resolução
A equação diferencial x 3x 0+ = só depende da função x e da sua derivada. Trata-se, portanto, 
de uma equação diferencial ordinária. Como temos apenas derivada de primeira ordem, a equação 
diferencial é de primeira ordem. Como não temos termo independente da função ou de sua derivada, 
a equação diferencial é homogênea. Em resumo, x 3x 0+ = é uma equação diferencial ordinária, de 
primeira ordem e homogênea.
A equação diferencial y’ = 4 só depende da derivada da função y e é, portanto, uma equação 
diferencial ordinária. Como temos apenas uma derivada de primeira ordem, a equação diferencial é 
de primeira ordem. Como temos termo independente (o termo 4) na equação, essa equação é não 
homogênea. A equação diferencial y’ = 4 é, portanto, uma equação diferencial ordinária, de primeira 
ordem e não homogênea.
A equação diferencial ( )
2
2
d p(x)
4p x 1
dx
− = só depende da função p(x) e de sua derivada, sendo, 
portanto, uma equação diferencial ordinária. Como temos derivada de segunda ordem, a equação 
diferencial é de segunda ordem. Como temos termo independente (o termo 1), a equação diferencial 
é não homogênea. A equação diferencial ( )
2
2
d p(x)
4p x 1
dx
− = é, portanto, uma equação diferencial 
ordinária, de segunda ordem e não homogênea.
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Unidade I
A equação diferencial 
2 2
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f(x,y) f(x,y)
0 
x y
∂ ∂+ =
∂ ∂
apresenta uma função de duas variáveis e derivadas 
parciais, sendo, portanto, uma equação diferencial parcial. Como temos derivadas de segunda ordem, a 
equação diferencial é de segunda ordem. Como não temos termo independente, a equação diferencial 
é homogênea. Logo, a equação diferencial 
2 2
2 2
f(x,y) f(x,y)
0
x y
∂ ∂+ =
∂ ∂
 é uma equação diferencial parcial, 
de segunda ordem e homogênea.
1.4 Solução de equações diferenciais
Para mostrar se dada equação é solução de uma equação diferencial, é necessário mostrar que a 
equação satisfaz a equação diferencial. Para tanto, basta substituí-la na equação, juntamente com 
suas derivadas. Como exemplo, considere a equação diferencial y’ – 4y = 0: a função f(x) é solução da 
equação diferencial apenas se f’(x) – 4f(x) = 0.
 Observação
É importante lembrar as seguintes propriedades de derivadas.
Considerando f(x) e g(x) funções contínuas e diferenciáveis em IR e c 
uma constante, temos o que segue.
Derivada da soma de funções:
( ) ( )( ) ( )f x g x ' f ' x g'(x)+ = +
Derivada de produto de função por constante:
( )( )c.f x ' c.f '(x)=
Derivada do produto de funções:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x .g x ' f ' x .g x f x .g'(x)= +
Derivada do quociente de funções:
( ) ( ) ( )
2
' f ' x .g x f x .g'(x)f(x)
g(x) g (x)
−  =  
Regra da cadeia:
( ) ( ) u g(x)f(g(x)) g x .' f '(u)' ==
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exemplo 2
Mostre que y = 5t + 2 é solução da equação diferencial 
dy
5 0
dt
− = .
Resolução
A equação diferencial envolve a primeira derivada da função y(t). Logo, precisamos calcular 
essa derivada.
( )dy d 5t 2
dt dt
= +
( ) ( )d 5t d 2dy
dt dt dt
= +
( )d tdy
5 0
dt dt
= +
dy
5.1 0
dt
= +
dy
5
dt
=
Substituindo o resultado obtido na equação diferencial, temos que
dy
5 5 5 0
dt
− = − =
Assim, y = 5t + 2 é solução da equação diferencial 
dy
5 0
dt
− = .
Note que y = 5t + 3 ou y = 5t também são soluções da equação diferencial. Então, a solução da 
equação diferencial, de forma mais geral, é o conjunto de equações y = 5t + c, em que c é uma constante.
Exemplo 3
Mostre que ( ) 3xy x 4e= é solução da equação diferencial dy 3y
dx
= .
Resolução
Calculando primeiro a derivada de y em relação a x, temos que
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Unidade I
( )3xdy d 4edx dx=
( )3xdy d4 edx dx=
3xdy 4.3.e
dx
=
3xdy 12.e
dx
=
Substituindo a função y e sua derivada na equação diferencial, temos que
dy
3y
dx
=
( )3x 3x12.e 3 4.e=
3x 3x12.e 12.e=
Logo, ( ) 3xy x 4e= é solução da equação diferencial dy 3y
dx
= .
Exemplo 4
Mostre que ( ) 3x t 5t t 4= + − é solução da equação x 30t 0− = .
Resolução
A equação diferencial em estudo é de segunda ordem. Logo, devemos calcular a segunda derivada de x(t).
( ) ( )3x t 5t t 4 '= + −
( ) 2x t 5.3t 1 0= + +
( ) 2x t 15t=
( )2x 1 t '5=
x 15.2.t=
x 30t=
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Substituindo o resultado obtido na equação diferencial, temos que
30t 0
30t 30t
x
0
0 0
− =
− =
=

A equação ( ) 3x t 5t t 4= + − é, portanto, solução da equação 3 0x 0t− = .
Exemplo 5
A equação diferencial do movimento de um oscilador harmônico composto de um sistema 
massa-mola é dada pela equação 2 0y y+ ω = , na qual ω é uma constante que depende da constante 
elástica da mola e da massa do corpo do oscilador. Mostre que a função ( )y t Acos( t )= ω + ϕ é solução 
para essa equação diferencial.
Resolução
Primeiramente, derivamos a suposta solução até a segunda derivada, pois temos uma equação 
diferencial de segunda ordem.
y A. .sen( t )= − ω ω + ϕ
2A cos(y t )= − ω ω + ϕ
Substituindo o resultado obtido na equação diferencial, temos que
2 0y y+ ω =
2 2A cos( t ) Acos( t ) 0− ω ω + ϕ + ω ω + ϕ =
0 0=
Logo, ( )y t Acos( t )= ω + ϕ é solução para a equação diferencial do oscilador.
Exemplo 6
A segunda lei de Newton, F = ma, na qual F é a força resultante que atua em um corpo de massa 
m e a é sua aceleração, pode ser escrita sob a forma de uma equação diferencial, F mx=  , na qual x a 
posição do corpo.
Mostre que a equação horária x(t) = 0,3.t3 + 5t2 não é solução para o movimento de um corpo de 
massa m = 10 kg sob influência de força F = 18t, dada em Newtons, sendo que t representa o tempo 
em segundos.
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Unidade I
Resolução
O primeiro passo é derivarmos a equação horária. Como a equação diferencial é de segunda ordem, 
precisamos calcular a segunda derivada da equação horária.
2 2x 0,3.3t 5t 0,9t 5t=+ = +
0,9.2t 5.1 1,8tx 5= + = +
Substituindo o resultado obtido na equação diferencial, para F = 18t (N) e m = 10 kg, temos que
F mx= 
( )18t 10. 1,8t 5= +
18t 18t 50= +
1 50=
Como chegamos a uma expressão matemática falsa, a equação horária x(t) = 0,3.t3 + 5t2 não é 
solução para o movimento.
Exemplo 7
Mostre que a função f(x,y) = 3xy é solução da equação diferencial 
f f
x y 0
x y
∂ ∂− =
∂ ∂
.
Resolução
A equação diferencial em estudo é uma equação diferencial parcial, tanto em x quanto em y, de 
primeira ordem. Então, devemos calcular as derivadas parciais de f(x,y) em relação às duas variáveis.
Em relação à variável x, temos que
( )f 3xy
x x
∂ ∂=
∂ ∂
( )f 3y x
x x
∂ ∂=
∂ ∂
f
3y
x
∂ =
∂
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Em relação à variável y, temos que
( )f 3xy
y y
∂ ∂=
∂ ∂
( )f 3x y
y y
∂ ∂=
∂ ∂
f
3x
y
∂ =
∂
Substituindo os resultados na equação diferencial, temos que
f f
x y 0
x y
∂ ∂− =
∂ ∂
x.y y.x 0− =
0 0=
Portanto, a função f(x,y) = 3xy é solução da equação diferencial 
f f
x y 0
x y
∂ ∂− =
∂ ∂
.
Exemplo 8
Determine o valor da constante A que faz com que a equação y(x) = A.cos(2x) seja solução da 
equação diferencial 
2
2
d y
3y
dx
= .
Resolução
Como temos uma equação diferencial de segunda ordem, devemos calcular a segunda derivada 
de y(x).
[ ]dy d A.cos(2x)
dx dx
=
( )dy dA. cos 2x
dx dx
 =  
dy
2A.sen(2x)
dx
= −
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Unidade I
2
2
d y d dy
dx dxdx
=
( )
2
2
d y d
2A.sen 2x
dxdx
 = − 
( )
2
2
d y d
2A sen 2x
dxdx
 = −  
2
2
d y
4A.cos(2x)
dx
= −
Substituindo o resultado na equação diferencial, temos que
2
2
d y
3y
dx
=
( )4A.cos 2x 3.A.cos(2x)− =
4A 3A− =
O único valor que satisfaz a equação apresentada é A = 0.
2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
2.1 Definição
Uma equação diferencial de variáveis separáveis pode ser escrita na forma a seguir.
( )dy g x .h(y)
dx
=
Na expressão, g(x) é uma função que depende apenas de x, e h(y) é uma função que depende 
apenas de y.
 Lembrete
Uma equação diferencial de variáveis separáveis também pode ser 
classificada como uma equação diferencial homogênea.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
2.2 Exemplos de equações diferenciais de variáveis separáveis
Exemplo 1
A equação diferencial ( ) 2dy sen x .y
dx
= é uma equação diferencial de variáveis separáveis, pois pode 
ser escrita na forma ( )dy g x .h(y)
dx
= .
Exemplo 2
A equação diferencial ( ) 2dy sen xy .y
dx
= não é uma equação diferencial de variáveis separáveis, pois 
não pode ser escrita na forma ( )dy g x .h(y)
dx
= . Note que, nesse caso, o seno tem como argumento o 
produto de x e y.
Exemplo 3
A equação diferencial ( ) 2dy sen x y
dx
= + não é uma equação diferencial de variáveis separáveis, 
pois não pode ser escrita na forma ( )dy g x .h(y)
dx
= . Para isso, necessitaríamos de um produto das duas 
funções no lado direito da equação, mas temos uma soma.
Exemplo 4
A equação diferencial 2dy y dx= é uma equação diferencial de variáveis separáveis, pois pode ser 
escrita na forma ( )dy g x .h(y)
dx
= . Ou seja,
2dy y dx=
2dy 1.y
dx
=
Note que, nesse caso, g(x) = 1 e h(y) = y².
2.3 Solução de equações diferenciais de variáveis separáveis
O método de determinação da solução geral para uma equação diferencial de variáveis separáveis consiste 
em, literalmente, separarmos as variáveis, deixando, de um lado da igualdade, os termos dependentes apenas 
de x e, do outro lado da igualdade, os termos dependentes apenas de y, incluindo os diferenciais.
( )dy g x dx
h(y)
=
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Unidade I
Em seguida, integramos ambos os lados da equação diferencial.
( )dy g x dx
h(y)
=∫ ∫
Sendo H(y) uma primitiva de 
1
h(y)
 e G(x) uma primitiva de g(x), a solução da equação diferencial 
é dada por
H(y) = G(x) + k
Na expressão, k é uma constante que vem do fato de estarmos tratando com integrais indefinidas. Logo, 
a solução não é única, mas uma família de primitivas. O valor de k pode ser determinado se for dada uma 
informação do valor da função em algum ponto: esse valor é chamado de condição de contorno. Em Física, é 
comum ser dada a condição inicial da função, ou seja, o valor da função para o instante t = 0.
 Observação
Como a resolução de equações diferenciais parciais implica a resolução 
de integrais, é interessante relembrarmos algumas propriedades de 
integração. Considerando f(x) e g(x) funções e c uma constante, temos o 
que segue.
( )
( )
f x g(x)dx f(x)dx g(x)dx
c.f x dx c. f(x)dx
+ = +
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Há, ainda, a integração por partes. Para u e v funções, temos que
udv uv vdu= −∫ ∫
Exemplo 5
Resolva a equação 2
dy
x
dx
= .
Resolução
Primeiramente, precisamos separar as variáveis. Logo,
2
2
dy
x
dx
dy x dx
=
=
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Integramos a equação em ambos os lados. Ou seja,
2dy x dx=∫ ∫
3
1 2
x
y c c
3
+ = +
Na expressão, 1c e 2c são constantes. Fazendo 1 2c c k− + = e isolando y, chegamos à solução da 
equação diferencial.
3x
y k
3
= +
Note que a solução não é única, mas uma família de soluções para diferentes valores de k. Os 
gráficos dessas funções são mostrados, na figura a seguir, para alguns valores da constante k.
-1.5 1.5-1.0 1.0-0.5 0.5
2
1
-1
-2
x
y
x
x
x
3
3
3
3
3
1
3
1
−
+
Figura 1 – Gráficos das soluções da equação diferencial 2
dy
x
dx
=
Exemplo 6
Resolva dx 3xt
dt
= .
Resolução
Separando as variáveis, temos que
dx
3t dt
x
=
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Unidade I
Note que é indiferente em qual lado da equação deixamos a constante multiplicativa. Integrando a 
equação em ambos os lados, temos que
dx
3t dt
x
=∫ ∫
Ou, de forma equivalente,
1
dx 3 t dt
x
=∫ ∫
( )
2
1 2
t
ln x c 3 c
2
+ = +
Fazendo 1 2c c k− + = e isolando x, chegamos à solução da equação diferencial.
( )
23t
ln x k
2
= +
Aqui, precisamos calcular a exponencial em ambos os lados da equação para obtermos x em 
função de t.
( )
23t
kln x 2e e
+
=
23t
k 2x e e=
Fazendo ke C= , temos que
23t
2x(t) C.e=
A solução da equação diferencial é, portanto, 
23t
2 x(t) C.e= , com C constante. Os gráficos dessas 
funções são dados para alguns valores de C, na figura a seguir.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
x
y
-1.0 -0.5 0.5 1.0
35
30
25
20
15
10
5
Figura 2 – Gráficos das soluções da equação diferencial 
dx
3xt
dt
=
 Observação
Considere a, m e n números inteiros. São propriedades da função exponencial:
1a a=
m n m na .a a +=
( )nm m.na a=
m
n mna a=
No exemplo anterior, usamos a segunda propriedade, com a = e.
Exemplo 7
Resolva 2
dv 1
dt v v
=
+
.
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7
Unidade I
Resolução
Primeiramente, separamos as variáveis. Logo,
( )
2
2
dv 1
dt v v
v v dv dt
=
+
+ =
Integramos ambos os lados da equação. Ou seja,
( )2
2
3 2
3 2
v v dv dt
v dv vdv dt
v v
t k
3 2
2v 3v 6t 6k
+ =
+ =
+ = +
+ = +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Fazendo 6k = K, a solução da equação diferencial é v(t), que satisfaz a equação 3 22v 3v 6t K+ = + . 
As soluções da equação diferencial, para alguns valores de K, estão representadas a seguir.
v v t
v v t
v v t
2
2
2
2 3 6 2
2 3 6 2
2 3 6
( )
( )
( )
+ = +
+ = −
+ =
0.0
-0.5
-1.0
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6
v
t
Figura 3 – Soluções da equação diferencial 
2
dv 1
dt v v
=
+
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exemplo 8
Resolva y
dy
e
dx
−= .
Resolução
Primeiramente, separamos as variáveis. Logo,
y
y
y
dy
e
dx
dy
dx
e
e dy dx
−
−
=
=
=
Integrando ambos os lados da equação, temos que
y
y
e dy dx
e x k
=
= +
∫ ∫
Calculando o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação, chegamos à solução da equação 
diferencial. Ou seja,
( ) ( )
( )
yln e ln x k
y ln x k
= +
= +
A equação y = ln(x + k) é, portanto, solução da equação diferencial y
dy
e
dx
−= , com k constante. Os 
gráficos dessa função são dados na figura a seguir.
-1.0
-1
-0.5 0.5 1.0
log( )
log( )
log( )
x
x
x
+
+
1
3
1
-2
-3
-4
y
x
Figura 4 – Gráficos das soluções da equação diferencial y
dy
e
dx
−=
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Unidade I
 Observação
Considere a, m e n números inteiros. São propriedades dos logaritmos:
alog 1 0=
( )a a alog m.n log m log n= +
a a a
m
log log m log n
n
  = −  
( )na alog m n.log m=
Note que, se fizermos a = e, temos as propriedades para o logaritmo 
neperiano. Na última passagem do exemplo anterior, não pudemos 
simplificar mais a equação, pois não foi possível aplicar nenhuma 
propriedade de logaritmo. A segunda propriedade não pode ser aplicada 
nessa equação.
Exemplo 9
Resolva 2
dy
2xy
dx
= com y(0) = 4.
Resolução
Primeiramente, separamos as variáveis. Logo,
2dy 2xy
dx
=
2
dy
2x dx
y
=
2y dy 2x dx− =
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Integrando ambos os lados da equação, temos que
2y dy 2 x dx− =∫ ∫
3 2y x
2 k
3 2
−
= +
−
2
3
1
3x k
y
= − +
3
2
1
y
3x k
=
− +
3
2
1
y
3x k
=
− +
Para determinarmos o valor da constante k, devemos usar o fato de que temos y(x = 0) = 4. 
Substituindo essa condição na equação, ficamos com
3
2
1
4
3.0 k
=
− +
3
1
4
k
=
31 4
k
=
3
1
k
4
=
3k 4−=
Logo, a solução da equação diferencial é 3 2 3
1
y
3x 4−
=
− +
.
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Unidade I
3 APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
3.1 Dinâmica de uma partícula
Uma das aplicações de equações diferenciais em Física é a solução de problemas de Dinâmica. 
O movimento resultante da aplicação da força F sobre um corpo de massa m é dado pela segunda 
lei de Newton, F = ma, na qual a é a aceleração da partícula. Escrevendo a aceleração como a 
segunda derivada da posição x em relação ao tempo t, temos a forma diferencial da segunda lei 
de Newton. Ou seja,
2
2
d x
F m
dt
=
Essa equação é uma equação diferencial de segunda ordem. Se escrevermos a velocidade v como a 
primeira derivada da aceleração, temos uma equação diferencial de primeira ordem. Ou seja,
dv
F m
dt
=
Aqui, podemos trabalhar com força constante ou com força dependente do tempo. Em ambos os 
casos, estamos tratando de uma equação diferencial de variáveis separáveis.
dv
F(t) m
dt
=
( )F t dt m dv=
A solução dessa equação diferencial é obtida integrando-se ambos os lados, como detalhado 
anteriormente. Logo,
( )F t dt m dv=∫ ∫
Exemplo 1
Considere uma partícula de massa m = 1 kg deslocando-se sob influência de uma força dependente 
do tempo da forma F = 1 + 3t, com a força F em Newton e o tempo t em segundos. Escreva a equação 
diferencial que rege a velocidade da partícula. Resolva a equação diferencial sabendo que a velocidade 
inicial da partícula é nula.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Resolução
Da segunda lei de Newton, temos que
dv
F ma m
dt
= =
Substituindo a expressão da força e a massa da partícula na equação, ficamos com
dv
1 3t 1
dt
+ =
dv
1 3t
dt
= +
Essa é a equação diferencial que rege a velocidade da partícula em movimento sob a ação da força 
F dada.
Para resolvermos a equação diferencial, sabendo que ela é uma equação diferencial de variáveis 
separáveis, precisamos, inicialmente, separar as variáveis e, em seguida, integrar ambos os lados da 
equação. Ou seja,
( )dv 1 3t dt= +
( )dv 1 3t dt= +∫ ∫
2t
v t 3 k
2
= + +
Na expressão, k é uma constante a ser determinada pela condição inicial de que a partícula tem 
velocidade inicial nula, ou seja, v(t = 0) = 0. Substituindo essa condição na equação, ficamos com
20
0 0 3 k
2
= + +
k 0=
Logo, a solução da equação diferencial é 2
3
v(t) t t
2
= + . O gráfico dessa função é dado na figura 
a seguir.
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Unidade I
v
t
-1.0 -0.5 0.5
0.5
1.5
1.0
Figura 5 – Gráfico da velocidade de uma partícula de massa m = 1 kg se deslocando sob influência de uma força 
dependente do tempo da forma F = 1 + 3t, em função do tempo
3.2 Reta tangente
Seja f(x) uma função contínua e derivável em todo seu domínio. A reta tangente a essa função em 
um ponto P do seu domínio é a reta que tem coeficiente angular igual à derivada da função no ponto. 
Ou seja,
df(x)
y .x b
dx
= +
Note que o coeficiente linear b da reta está indeterminado. Para determinarmos esse coeficiente, 
consideramos que tanto a função quanto a reta tangente passam pelo ponto P, ou seja, no ponto P 
temos f(x)=y.
Exemplo 2
Determine a função y = f(x) cuja ordenada da reta tangente no ponto de abscissa x é igual a x.y e 
que apresenta f(1) = 1.
Resolução
O problema resume-se a resolvermos a equação diferencial dy xy
dx
= com a condição y(x = 1) = 1. 
O primeiro passo para resolvermos a equação diferencial, que é de variáveis separáveis, é separarmos 
as variáveis. Em seguida, integramos ambos os lados da equação. Logo,
dy
xy
dx
=
1
dy x dx
y
=
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1
dy x dx
y
=∫ ∫
2x
lny k
2
= +
2x
k
2y e
+
=
2x
2y C.e=
Aplicando a condição y(x = 1) = 1, determinamos o valor da constante C. Ou seja,
2x
2y C.e=
1
21 C.e=
1
2C e
−
=
1
C
e
=
Logo, a solução para o problema é 
2x
21y(x) .e
e
= . O gráfico dessa função está na figura a seguir.
y
x
-2 -1 1 2
5
15
10
20
Figura 6 – Gráfico da função y = f(x) cuja ordenada da reta tangente 
no ponto de abscissa x é igual a x.y, e com f(1) = 1
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7
Unidade I
Exemplo 3
Determine a função y = f(x) cuja reta tangente faz 45º com o eixo das ordenadas e que 
apresenta f(0) = 2.
Resolução
A reta que faz 45º com o eixo das ordenadas é uma reta que divide o plano xy ao meio. Logo, nesse 
caso, x = y. Para resolvermos esse problema, basta resolvermos a equação diferencial dy y
dx
= com a 
condição y = (x = 0) = 2. Como a equação diferencial é uma equação diferencial de variáveis separáveis, 
vamos separar as variáveis e, em seguida, integrar cada lado da equação. Ou seja,
x k x
1
dy dx
y
1
dy dx
y
lny x k
y e C.e+
=
=
= +
= =
∫ ∫
Aplicando a condição y(x = 0) = 2, temos que
x
0
y C.e
2
2
C.e
C
=
=
=
Logo, a solução para o problema é a função xy(x) 2.e= . O gráfico dessa função está representado 
na figura a seguir.
y
x
-2-3 -1 1 32
10
30
20
40
Figura 7 – Gráfico da função y = f(x) cuja reta tangente faz 45º 
com o eixo das ordenadas e com f(0) = 2
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7
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
3.3 Populações
O modelo mais simples de crescimento populacional de uma população P em função do tempo t 
assume que a taxa de variação da população é proporcional à população, ou seja,
dP
aP
dt
=
Na expressão, a depende do modelo adotado e é uma composição das taxas de natalidade, de 
mortalidade e de migração.
No modelo de Malthus (ou malthusiano), a é assumida constante.O modelo logístico assume taxas de natalidade e migração constantes e taxa de mortalidade 
proporcional à população, ou seja, a = b - cP, com b e c constantes.
Existem diversos outros modelos para populações. O modelo de Verhulst-Pearl assume que a 
constante de proporcionalidade da taxa de crescimento da população em relação à população apresenta 
dependência linear com a população, ou seja,
( )dP a bp p
dt
= −
Na expressão, a e b são constantes.
O modelo de populações de Volterra, similar ao modelo de Verhulst-Pearl, é dado por
( )dP p p
dt
= − ∈+λ
Na expressão, ∈ é o coeficiente de mortalidade e λ é o coeficiente de nascimentos.
Nesse último modelo, o número de nascimentos é proporcional ao quadrado da população e o 
número de mortes é proporcional à população.
Exemplo 4
A taxa de variação de dada população P de bactérias é linear em função do tempo, em horas. 
Sabendo que a população inicial era de 1000 bactérias, determine a população para t = 3 horas.
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Unidade I
Resolução
A frase “a taxa de variação de uma dada população P de bactérias é linear em função do tempo” 
pode ser traduzida na expressão a seguir.
dP
t
dt
=
Temos, então, uma equação diferencial de variáveis separáveis. Resolvendo essa equação, 
ficamos com
dP t dt=
dP t dt=∫ ∫
2t
P k
2
= +
Substituindo a condição inicial P(3)=1000, determinamos a constante k. Ou seja,
20
1000 k
2
= +
k 1000=
Logo, a expressão para a população de bactérias em função do tempo é dada por
2t
P 1000
2
= +
Na expressão, o tempo t é dado em horas. Para t = 3 horas, a população de bactérias é
( )
23
P t 3 1000
2
= = +
( )P t 3 1004,5= =
Temos, então, 1004,5 bactérias após 3 horas, valor que pode ser aproximado para 1005 bactérias.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
3.4 Decaimento radioativo
Outro fenômeno que pode ser modelado por uma equação diferencial de variáveis separáveis é o 
decaimento radioativo. Considere N o número de átomos de certo material radioativo, que varia em 
função do tempo. A equação diferencial que dá a evolução da quantidade de átomos no material é
dN
kN
dt
− =
Na expressão, k é a constante de decaimento radioativo. O sinal negativo na equação diferencial 
indica que temos diminuição da quantidade de material em função do tempo. A solução dessa equação 
diferencial é obtida separando as variáveis. Logo,
dN
k dt
N
− =
Em seguida, integramos ambos os lados da equação diferencial do instante inicial até o 
instante final.
t t
t0 t0
dN
k dt
N
− =∫ ∫
t t
t0 t0
dN
k dt
N
− =∫ ∫
( ) ( )0 0ln N ln(N ) k t t − = − − 
Calculando-se a exponencial de base e em ambos os lados da equação, chegamos à solução da 
equação diferencial. Ou seja,
( )k t t0
0N N e
− −=
Na expressão, N0 é a quantidade inicial de átomos no material no instante t0. Considerando o instante 
inicial t0 igual a zero, ficamos com
( )k t t0
0N N e
− −=
Como o expoente deve ser adimensional, a constante de decaimento tem como unidade o inverso 
da unidade de tempo.
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Unidade I
Uma quantidade útil quando tratamos de decaimento radioativo é a meia-vida (t1/2 ), definida 
como o tempo necessário para que a quantidade de material caia pela metade. Considerando uma 
quantidade Q de átomos radioativos, a meia-vida é obtida por
k(t t )0 QQ.e
2
− − =
0
ln(2)
t t
k
− =
1/2
ln(2)
t
k
=
No decaimento radioativo, o número de átomos do material diminui com o tempo, mas esses átomos 
não desaparecem – eles se transformam em outros, que também podem decair em novos átomos ou 
não. Isso é esquematizado em um diagrama chamado série radioativa. Na figura a seguir, temos a série 
radioativa do rádio 226.
O rádio 226 decai em radônio 222, que, por sua vez, decai em polônio 218. O polônio 218 decai 
em astato 218 e em chumbo 214, que decaem em chumbo 210, um elemento estável e, portanto, o 
elemento final da série do rádio 226.
Ra Rn Po Pb
(estável)
At
Pb
226
88 86 84 82214
222 218 85
82
210
218
Figura 8 – Série radioativa do elemento radioativo rádio 226
 Saiba mais
Para mais informações sobre decaimento radioativo, consulte:
EISBERG, R.; RESNICK, R. Física Quântica. 9. ed. Rio de Janeiro: Campus, 1994.
Exemplo 5
Considere o elemento radioativo 237U, de meia-vida 6,75 dias. Determine a fração de 237U que resta 
após um intervalo de 30 dias.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Resolução
Devemos determinar a constante de decaimento a partir da meia-vida do elemento. Ou seja,
1/2
ln(2)
t
k
=
ln(2)
6,75
k
=
( )k ln 2 .6,75=
k 4,671 / h=
A equação diferencial desse problema é, portanto,
dN
4,67.N
dt
− =
Separando as variáveis, obtemos
dN
4,67 dt
N
− =
Em seguida, integramos ambos os lados da equação diferencial, do instante inicial 0 até o instante 
final 30 dias, e da quantidade inicial até a quantidade final de átomos. Logo,
N 30
N 00
dN
4,67 dt
N
− =∫ ∫
N 30
N t00
dN
4,67 dt
N
− =∫ ∫
( ) ( )0ln N ln(N ) 4,67 30 0 − = − − 
( ) 0ln N ln(N ) 140,36 − = − 
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Unidade I
Calculando-se a exponencial de base e em ambos os lados da equação, chegamos à solução da 
equação diferencial. Ou seja,
140,36
0
N
e
N
−=
61
0
N
1,1.10
N
−=
Vemos que, após 30 dias, resta uma fração de 1,1.10-61 átomos de 237U em relação à amostra original.
4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
4.1 Definição
Sejam P(x,y) e Q(x,y) funções contínuas de duas variáveis. A equação diferencial
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
é uma equação diferencial exata se existir uma função f(x,y) com as características a seguir.
( ) ( )f(x,y) f(x,y)P x,y e Q x,y
x y
∂ ∂= =
∂ ∂
Na expressão, as funções y = y(x) ou x = x(y) são obtidas fazendo f(x,y) = c, com c constante. 
Para que uma equação diferencial seja exata, devemos ter
P(x,y) Q(x,y)
y x
∂ ∂=
∂ ∂
 Lembrete
As equações diferenciais exatas também são equações diferenciais 
homogêneas.
Exemplo 1
Verifique se a equação diferencial x dx + y dy = 0 é exata.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Resolução
Nesse caso, temos P(x,y) = x e Q(x,y) = y. Para que a equação diferencial seja exata, devemos ter
P(x,y) Q(x,y)
y x
∂ ∂=
∂ ∂
Calculando as derivadas parciais, ficamos com
P(x,y) x
0
y y
∂ ∂= =
∂ ∂
Q(x,y) y
0
x x
∂ ∂= =
∂ ∂
Logo, a equação diferencial é exata. Note que essa equação diferencial também é uma equação 
diferencial de variáveis separáveis.
Exemplo 2
Verifique se a equação diferencial y dx + x dy = 0 é exata.
Resolução
Nesse caso, temos P(x,y) = y e Q(x,y) = x. Para que a equação diferencial seja exata, devemos ter
P(x,y) Q(x,y)
y x
∂ ∂=
∂ ∂
Calculando as derivadas parciais, ficamos com
P(x,y) y
1
y y
∂ ∂= =
∂ ∂
Q(x,y) x
1
x x
∂ ∂= =
∂ ∂
Logo, a equação diferencial é exata. Note que essa equação diferencial também é uma equação 
diferencial de variáveis separáveis.
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Unidade I
Exemplo 3
Verifique se a equação diferencial (x – y)dx + x dy = 0 é exata.
Resolução
Nesse, caso, temos P(x,y) = x – y e Q(x,y) = x. Para que a equação diferencial seja exata, devemos ter
P(x,y) Q(x,y)
y x
∂ ∂=
∂ ∂
Calculando as derivadas parciais, ficamos com
( )x yP(x,y)
1
y y
∂ −∂ = = −
∂ ∂
Q(x,y) x
1
x x
∂ ∂= =
∂ ∂
Logo, a equação diferencial não é exata. Note que essa equação diferencial não é uma equação 
diferencial de variáveis separáveis.
Exemplo 4
Verifique se a equação diferencial (2xy)dx + (x² + 1)dy = 0 é exata.
Resolução
Nesse caso, temos P(x,y) = 2xy e Q(x,y)= x². Para que a equação diferencial seja exata, devemos ter
P(x,y) Q(x,y)
y x
∂ ∂=
∂ ∂
Calculando as derivadas parciais, ficamos com
P(x,y) 2xy
2x
y y
∂ ∂= =
∂ ∂
( )2x 1Q(x,y)
2x
x x
∂ +∂ = =
∂ ∂
Logo, a equação diferencial é exata. Note que essa equação diferencial é uma equação diferencial 
de variáveis separáveis.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
4.2 Solução de equações diferenciais exatas
Sejam P(x,y) e Q(x,y) funções contínuas de duas variáveis. A equação diferencial
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
é uma equação diferencial exata se existir uma função f(x,y) com as características a seguir.
( ) ( )f(x,y) f(x,y)P x,y e Q x,y
x y
∂ ∂= =
∂ ∂
Na expressão, as funções y = y(x) ou x = x(y) são obtidas fazendo f(x,y) = c, com c constante. A 
solução dessa equação diferencial é dada por y(x) ou x(y) obtidas dessa forma.
4.3 Fator integrante
Seja a equação diferencial não exata dada por
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
Ou seja,
P(x,y) Q(x,y)
y x
∂ ∂≠
∂ ∂
Dizemos que a função u(x,y) é um fator integrante para a equação diferencial se a equação diferencial 
a seguir for exata.
u(x,y).P(x,y)dx + u(x,y) Q(x,y)dy = 0
O fator integrante u(x) pode ser determinado por
( ) ( )h x dxu x e−∫=
Na expressão, temos que
( )
Q(x,y) P(x,y)
x yh x
Q(x,y)
∂ ∂−
∂ ∂=
O fator integrante u(y) pode ser determinado por
( ) ( )f y dyu y e−∫=
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Unidade I
Na expressão, temos que
( )
Q(x,y) P(x,y)
x yf y
P(x,y)
∂ ∂−
∂ ∂=
Exemplo 5
Resolva a equação diferencial x dx + y dy = 0.
Resolução
Nessa equação, temos P(x,y) = x e Q(x,y) = y. Para que a equação diferencial seja exata, devemos ter
( ) ( ) ( ) ( )f x,y f x,yP x,y e Q x,y
x y
∂ ∂
= =
∂ ∂
Ou seja,
f(x,y) f(x,y)
x e y
x y
∂ ∂= =
∂ ∂
Resolvendo essas equações, temos que
( )
2f(x,y) x
x f x,y x dx c(y)
x 2
∂ = ↔ = = +
∂ ∫
( )
2f(x,y) y
y f x,y y dy c(x)
y 2
∂ = ↔ = = +
∂ ∫
A solução da equação diferencial é dada por f(x,y) = c. Logo,
2 2x y
c
2 2
+ =
Multiplicando ambos os lados da equação por 2 e fazendo 2c = k, ficamos com
2 2x y k+ =
A expressão anterior é solução para a equação diferencial dada, com k constante. Na figura a seguir, 
temos as soluções da equação diferencial para alguns valores de k.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
-2 -1 0 1 2
x
x2 + y2 = 1
x2 + y2 = 2
x2 + y2 = 3
2
1
0y
-1
-2
Figura 9 – Soluções para a equação diferencial x dx + y dy = 0
A equação 2 2x y k+ = é a equação de uma circunferência centrada na origem e de raio k , 
com k > 0.
A equação ( ) ( )2 2x a y b k− + − = é também a equação de uma circunferência de raio k , com 
k > 0, mas centrada no ponto (a,b).
A equação 
2 2x y
1
c d
   + =      
 é a equação de uma elipse centrada na origem, na qual c e d são 
seus semieixos.
A equação 
2 2x a y b
1
c d
− −   + =      
 é a equação de uma elipse centrada no ponto (a,b), na qual 
c e d são seus semieixos.
 Saiba mais
Para mais informações sobre equações de cônicas, acesse:
VENTURI, J. J. Cônicas e quádricas. 5. ed. Curitiba: [s.n.], 2003. 
Disponível em: <http://www.geometriaanalitica.com.br/livros/cq.pdf>. 
Acesso em: 6 abr. 2017.
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Unidade I
Exemplo 6
Resolva a equação diferencial y dx + x dy = 0.
Resolução
Nessa equação, temos P(x,y) = y e Q(x,y) = x. Para que a equação diferencial seja exata, devemos ter
( ) ( ) ( ) ( )f x,y f x,yP x,y e Q x,y
x y
∂ ∂
= =
∂ ∂
Ou seja,
f(x,y) f(x,y)
y e x
x y
∂ ∂= =
∂ ∂
Resolvendo essas equações, temos que
( )
( )
f(x,y)
y f x,y y dx xy c(y)
x
f(x,y)
x f x,y x dy xy c(x)
y
∂ = ↔ = = +
∂
∂ = ↔ = = +
∂
∫
∫
A solução da equação diferencial é dada por f (x,y) = c. Logo, a solução da equação diferencial é
xy
c
c
y
x
=
=
Na expressão, c é uma constante e x ≠ 0. Na figura a seguir, temos os gráficos dessas funções para 
alguns valores de c.
x
y
2
4
-2
-4 -2 2 4
-4
1
2
3
x
x
x
Figura 10 – Soluções para a equação diferencial y dx + x dy = 0
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exemplo 7
Resolva a equação diferencial (2xy)dx + (x² + 1)dy = 0.
Resolução
Neste caso, temos P(x,y) = 2xy e Q(x,y) = x². Para que a equação diferencial seja exata, devemos ter
( ) ( ) ( ) ( )f x,y f x,yP x,y e Q x,y
x y
∂ ∂
= =
∂ ∂
Ou seja,
2f(x,y) f(x,y)2xy e x
x y
∂ ∂= =
∂ ∂
Resolvendo essas equações, temos que
( )
( )
2
2 2 2
f(x,y)
2xy f x,y 2xy dx x y c(y)
x
f(x,y)
x f x,y x dy x y c(x)
y
∂ = ↔ = = +
∂
∂ = ↔ = = +
∂
∫
∫
A solução da equação diferencial é dada por f(x,y) = c. Logo, a solução da equação diferencial é
2
2
x y c
c
y
x
=
=
Na expressão, c é uma constante e x ≠ 0. Na figura a seguir, temos os gráficos dessas funções para 
alguns valores de c.
y
-4 -2 2 4 x
1
2
3
2
2
2
x
x
x
5
4
3
2
1
Figura 11 – Soluções para a equação diferencial (2xy)dx + (x² + 1)dy = 0
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Unidade I
Exemplo 8
Determine uma função y = f(x) que passe pelo ponto (1,2) e cuja reta tangente em um ponto (x,y) 
tenha coeficiente angular 
3x
y
.
Resolução
O coeficiente angular da reta tangente no ponto (x,y) de y=f(x) é igual a 
dy
dx
. Logo, devemos resolver 
a equação diferencial 
dy 3x
dx y
= com a condição y(1) = 2. Podemos reescrever essa equação 
diferencial como
3x dx - y dy = 0
Note que essa equação diferencial é uma equação de variáveis separáveis, mas também é uma 
equação diferencial exata, pois, nesse caso, P(x,y) = 3x e Q(x,y) = -1. Assim,
( )P 3x 0
y y
∂ ∂= =
∂ ∂
( )Q y 0
x x
∂ ∂= − =
∂ ∂
P Q
y x
∂ ∂=
∂ ∂
Portanto, a equação diferencial é exata. A solução dessa equação é a função f(x,y) tal que
f
P(x,y)
x
∂ =
∂ e 
f
Q(x,y)
y
∂ =
∂
Então,
2f x
3x f 3x dx 3 c(y)
x 2
∂ = ↔ = = +
∂ ∫
2f y
y f y dx c(x)
y 2
∂ = − ↔ = − = − +
∂ ∫
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Combinando as duas soluções, temos que
( )
2 2x y
f x,y 3 c
2 2
= − +
Queremos que a função passe pelo ponto (1,2). Logo, devemos ter
( )
2 21 2
f 1,2 3
2 2
= −
( ) 3 4f 1,2
2 2
= −
( ) 1f 1,2
2
= −
Logo, 
2 2x y 1
3
2 2 2
− = − , ou 2 23x y 1− = − , é uma equação com as condições pedidas, conforme a 
figura a seguir.
y
x
1.5
1.0
0.5
-0.5
-1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.51.0
-1.0
Figura 12 – Soluções para a função y(x) que passe pelo ponto (1,2) e cuja reta tangente em um ponto (x,y) tenha coeficiente angular 
3x
y
Hipérbole é uma cônica, ou seja, uma função obtida pela intersecção entre um plano e um cone. As 
hipérboles são dadas por equações do tipo
2 2Ax Bxy Cy Dx Ey F 0+ + + + + =
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Unidade I
Na expressão, B² > 4AC.
As hipérboles podem ter eixo de simetria axial tanto na direção x (hipérbole “de lado”) quanto na 
direção y (hipérbole “de pé”). Na figura a seguir, temos esses dois casos.
x
y
-2 -1
-1
-2
1
2
1 2
x
y
-2 -1
-1
-2
2
1 2
1
A B
Figura 13 – Gráficos das hipérboles dadas pelas funções x2 - y2 = 1 (à esquerda) e -x2 + y2 = 1 (à direita)
Parábolas, círculos e elipses também são cônicas.
 Saiba mais
Para mais informações sobre equações de cônicas, consulte:
BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 
3. ed. São Paulo: Makron, 2005.
Exemplo 9
Determine uma função y = f(x) que passe pelo ponto (1,0) e cuja reta tangente em um ponto (x,y) 
tenha coeficiente angular 
1
cos(y)
.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Resolução
O coeficiente angular da reta tangente no ponto (x,y) é igual a 
dy
dx
. Logo, devemos resolver a equação 
diferencial 
dy 1
dx cos(y)
= com a condição y(1) = 0. Podemos reescrever essa equação diferencial como
1dx – cos(y) dy = 0
Essa equação diferencial é exata, pois, nesse caso, P(x,y) = cos(y) e Q(x,y) = 1 e 
( )P 1 0
y y
∂ ∂= =
∂ ∂
Q
cos(y) 0
x x
∂ ∂= =
∂ ∂
P Q
y x
∂ ∂=
∂ ∂
A solução da equação diferencial é f(x,y), obtida pela resolução das equações a seguir.
f
P
x
∂ =
∂
 e 
f
Q
y
∂ =
∂
( )f cos y
x
∂ =
∂
f
1
y
∂ =
∂
Resolvendo a segunda equação, temos que
f
1 f y c(x)
y
∂ = ↔ = +
∂
Derivando essa solução em relação a x, temos que
( )f y c(x) c '(x)
x x
∂ ∂= + =
∂ ∂
Sabemos que ( )f cos y
x
∂ =
∂
. Logo,
( ) ( ) ( ) ( )c ' x cos y c x x.cos y k= ↔ = +
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Unidade I
Uma solução da equação diferencial é, portanto, f(x,y) = x.cos(y) + y.
A função deve passar pelo ponto (1,0). Logo,
( ) ( )f 1,0 1.cos 0 0= +
( )f 1,0 1=
A função y = f(x) que passa pelo ponto (1,0) e cuja reta tangente em um ponto (x,y) tem coeficiente 
angular 
1
cos(y)
 é ( )x.cos y y 1+ = . A solução desse problema é mostrada na figura a seguir.
x
y
-4 -2
-1
1
2
3
2 4
Figura 14 – Solução para o problema da função y = f(x) que passa pelo ponto (1,0) e cuja 
reta tangente em um ponto (x,y) tem coeficiente angular 
1
cos(y)
Exemplo 10
Resolva a equação diferencial 
dy x 2y
dx 2 2x
+=
−
 com y(1) 3= .
Resolução
Reescrevendo a equação diferencial, temos que
( ) ( )2 2x dy x 2y dx− = +
( ) ( )x 2y dx 2 2x dy 0+ − − =
( ) ( )x 2y dx 2 2x dy 0+ + − + =
Temos que P(x,y) = x + 2y e Q(x,y) = -2 + 2x. Para que a equação diferencial seja exata, devemos 
ter P Q 
y x
∂ ∂=
∂ ∂
. Logo,
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
( )P x 2y 2
y y
∂ ∂= + =
∂ ∂
( )Q 2 2x 2
x x
∂ ∂= − + =
∂ ∂
Então, a equação diferencial é exata. A solução dessa equação diferencial é f(x,y) tal que
2
f f
P e Q
x y
f x
x 2y f x 2y dx 2xy c(y)
x 2
f
2 2x
y
∂ ∂= =
∂ ∂
∂ = + ↔ = + = + +
∂
∂ = − +
∂
∫
Derivando a função f obtida na primeira equação em relação a y, ficamos com
2f x
2xy c(y)
y y 2
f
2x c '(y)
y
 ∂ ∂= + + ∂ ∂  
∂ = +
∂
Sabemos que 
f
 2 2x
y
∂ = − +
∂
. Logo,
( )
( )
2 2x 2x c '(y)
c ' y 2
c y 2y k
− + = +
= −
= − +
Uma solução da equação diferencial é, portanto, ( )
2x
f x,y 2xy 2y
2
= + − . Temos a condição y(1) = 3, 
ou seja, a função deve passar pelo ponto (1,3). Logo,
( )
( )
( )
( )
2
2
x
f x,y 2xy 2y
2
1
f 1,3 2.1.3 2.3
2
1
f 1,3 6 6
2
1
f 1,3
2
= + −
= + −
= + −
=
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Unidade I
Então, a solução da equação diferencial dy x 2y
dx 2 2x
+=
−
 com y(1) = 3 é a função 
2x 1
2xy 2y
2 2
+ − = , 
conforme mostrado na figura a seguir.
y
x
-4 -2 2
2
1
-1
-2
-3
4 6
Figura 15 – Gráficos da solução da equação diferencial dy x 2y
dx 2 2x
+=
−
 com y(1) = 3 
Exemplo 11
Resolva a equação diferencial ( ) ( )24x y dx x 3 dy 0+ + + = com y(1) = 2.
Resolução
Na equação diferencial, temos P(x,y) = (4x² + y) e Q(x,y) = (x + 3). Para que a equação diferencial seja 
classificada como exata, precisamos ter P Q 
y x
∂ ∂=
∂ ∂
. Logo,
( )2P 4x y 1y y
∂ ∂= + =
∂ ∂
( )Q x 3 1
x x
∂ ∂= + =
∂ ∂
Então, a equação diferencial é exata. A solução dessa equação diferencial é f(x,y) tal que
f
P
x
∂ =
∂
 e 
f
Q
y
∂ =
∂
2f 4x y
x
∂ = +
∂
f
x 3 f x 3 dy xy 3y c(x)
y
∂ = + ↔ = + = + +
∂ ∫
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Derivando essa última equação em relação a x, ficamos com
( )f xy 3y c(x) x c '(x)
x x
∂ ∂= + + = +
∂ ∂
Comparando com a equação anterior, temos que
24x y x c '(x)+ = +
( ) 2c ' x 4x y x= + −
Ou seja,
( )
3 2x x
c x 4 xy k
3 2
= + − +
Na expressão, k é uma constante.
Uma solução para a equação diferencial é, portanto,
3 2x x
4 xy xy 3y 0
3 2
+ − + + =
3 2x x
4 2xy 3y 0
3 2
+ − + =
O gráfico dessa função está na figura a seguir.
y
x
-2-3 -1 1 32
10
30
20
40
Figura 16 – Gráfico da solução da equação (4x² + y) dx + (x + 3) dy = 0 com y(1) = 2 
Exemplo 12
Determine o fator integrante da equação diferencial 3xy dx + 2x dy = 0 
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Unidade I
Resolução
A equação diferencial não é exata, pois, nesse caso, P(x,y) = 3xy e Q(x,y) = 2x e
( )P 3xy 3x
y y
∂ ∂= =
∂ ∂
( )Q 2x 2
x x
∂ ∂= =
∂ ∂
P Q
y x
∂ ∂≠
∂ ∂
O fator integrante é dado por ( ) ( )h x dxu x e−∫= com
( )
Q P
x yh x
Q
∂ ∂−
∂ ∂=
( ) 2 3xh x
2x
−=
( ) 1 3h x
x 2
= −
Logo,
( ) ( )h x dxu x e−∫= =
( )
( ) 3ln x x
2u x e
 − −  =
( ) ( )
3
x
2
ln x
1
u x .e
e
=
( )
3
x
2e
u x
x
=
Assim, determinamos o fator integrante da equação diferencial dada.
Exemplo 13
Resolva a equação diferencial dx + 5x dy = 0 usando o método do fator integrante.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Resolução
A equação diferencial não é exata, pois, nesse caso, P(x,y) = 1, Q(x,y) = 5x e
( )P 1 0
y y
∂ ∂= =
∂ ∂
( )Q 5x 5
x x
∂ ∂= =
∂ ∂
P Q
y x
∂ ∂≠
∂ ∂
O fator integrante é dado por ( ) ( )h x dxu x e−∫= com
( )
Q P
x yh x
Q
∂ ∂−
∂ ∂=
( ) 5h x
5x
=
( ) 1h x
x
=
Logo,
( ) ( )h x dxu x e−∫=
( ) ( )( )ln xu x e−=
( ) ln(x)
1
u x
e
=
( ) 1u x
x
=
Aplicando o fator integrante na equação diferencial, temos que
( ) ( ) ( ) ( )u x .P x,y dx u x .Q x,y dy 0+ =
1 1
dx .5x dy 0
x x
+ =
1
dx 5 dy 0
x
+ =
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Unidade I
Essa equação diferencial é exata, pois
P 1
0
y y x
∂ ∂  = =  ∂ ∂
( )Q 5 0
x x
∂ ∂= =
∂ ∂
P Q
y x
∂ ∂=
∂ ∂
Resolvendo essa equação diferencial, devemos obter f(x,y) tal que
f
P
x
∂ =
∂ e 
f
Q
y
∂ =
∂
f 1
x x
∂ =
∂
f
5 f 5 dy 5y c(x)
y
∂ = ↔ = = +
∂ ∫
Derivando essa última equação em relação a x, ficamos com
( )f 5x c(x) 5 c '(x)
x x
∂ ∂= + = +
∂ ∂
Comparando esse resultado e a equação anterior, temos que
1
5 c '(x)
x
= +
( ) 1c' x 5
x
= −
Ou seja,
( ) ( )c x ln x 5x k= + +
Na expressão, k é uma constante.
Uma solução para a equação diferencial é, portanto,
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
5y c(x) 0+ =
( )5y ln x 5x 0+ + =
( )ln x 5x 5y 0+ + =
( )ln x 5x
y
5
− −
=
( )ln x
y 1
5
−
= −
Logo, a solução da equação diferencial dx + 5x dy = 0 é 
( )ln x
y 1
5
−
= − .
Exercícios
Questão 1. Classifique a equação diferencial y’’ + 3y + 2 = 0.
A) Equação diferencial ordinária, de segunda ordem e homogênea.
B) Equação diferencial ordinária, de segunda ordem e não homogênea.
C) Equação diferencial parcial, de segunda ordem e homogênea.
D) Equação diferencial parcial, de primeira ordem, não homogênea.
E) Equação diferencial ordinária, de primeira ordem, homogênea.
Alternativa correta: B.
Resolução do exercício
A equação diferencial envolve segunda derivada: trata-se, portanto, de uma equação diferencial de 
segunda ordem. As derivadas são da variável y em relação a outra variável, x, por exemplo, pois 
dy
y '
dx
= . 
Logo, estamos tratando de derivadas ordinárias. O termo independente é 2. Logo, a equação diferencial 
é não homogênea.
A equação diferencial proposta é, portanto, uma equação diferencial ordinária, de segunda ordem e 
não homogênea.
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Unidade I
Questão 2. Classifique a equação diferencial y’’ + 3y = 0.A) Equação diferencial ordinária, de segunda ordem e homogênea.
B) Equação diferencial ordinária, de segunda ordem e não homogênea.
C) Equação diferencial parcial, de segunda ordem e homogênea.
D) Equação diferencial parcial, de primeira ordem, não homogênea.
E) Equação diferencial ordinária, de primeira ordem, homogênea.
Alternativa correta: A.
Resolução do exercício
A equação diferencial envolve uma segunda derivada, sendo, portanto, uma equação diferencial 
de segunda ordem. As derivadas são da variável y em relação a outra variável, x, por exemplo, pois 
dy
y '
dx
= . Logo, estamos tratando de derivadas ordinárias. Não temos termo independente. Logo, o termo 
independente é nulo e a equação diferencial é homogênea.
A equação diferencial proposta é, portanto, uma equação diferencial ordinária, de segunda ordem 
e homogênea.
Questão 3. Classifique a equação diferencial p 2 0+ = .
A) Equação diferencial ordinária, de segunda ordem e homogênea.
B) Equação diferencial ordinária, de segunda ordem e não homogênea.
C) Equação diferencial parcial, de segunda ordem e homogênea.
D) Equação diferencial parcial, de primeira ordem, não homogênea.
E) Equação diferencial ordinária, de primeira ordem, não homogênea.
Alternativa correta: E.
Resolução do exercício
A equação diferencial envolve uma primeira derivada, sendo, portanto, uma equação diferencial de 
primeira ordem. As derivadas são da variável y em relação a outra variável, x, por exemplo, pois 
dy
y '
dx
= . 
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Logo, estamos tratando de derivadas ordinárias. O termo independente é 2. Logo, a equação diferencial 
é não homogênea.
A equação diferencial proposta é, portanto, uma equação diferencial ordinária, de primeira ordem e 
não homogênea.
Questão 4. Classifique a equação diferencial fx + 3y + 2 = 0.
A) Equação diferencial ordinária, de segunda ordem e homogênea.
B) Equação diferencial ordinária, de segunda ordem e não homogênea.
C) Equação diferencial parcial, de segunda ordem e homogênea.
D) Equação diferencial parcial, de primeira ordem, não homogênea.
E) Equação diferencial ordinária, de primeira ordem, homogênea.
Alternativa correta: D.
Resolução do exercício
A equação diferencial envolve a derivada fx, que é outra forma de notação para a derivada parcial 
f
x
∂
∂
. Além disso, temos a variável y, o que indica o caso de uma equação diferencial parcial. A derivada é 
de primeira ordem. Logo, a equação diferencial é de primeira ordem. O termo independente (nesse caso, 
-2) é não nulo. Logo, a equação diferencial é não homogênea.
A equação diferencial dada é, portanto, uma equação diferencial parcial, de primeira ordem e não homogênea.
Questão 5. Qual das funções a seguir é solução da equação diferencial 
dy
5y
dx
= − ?
I. ( ) 5xy x 5e−= −
II. ( ) 5xy x e 5−= +
III. ( ) xy x 5e= −
Assinale a alternativa correta:
A) I, apenas.
B) II, apenas.
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Unidade I
C) III, apenas.
D) I e II, apenas.
E) II e III, apenas.
Alternativa correta: E.
Resolução do exercício
Para que a função seja solução, a equação deve continuar válida ao efetuarmos a substituição dessa 
função e das suas derivadas. Logo, vamos testar se as funções dadas são soluções.
I. ( ) 5xy x 5e−= −
( ) 5xdy 5. 5 e
dx
−= − −
5xdy 25e
dx
−=
dy
5y
dx
= −
5x 5x25e 5e− −= −
Como 5x 5x25e 5e− −≠ − , y(x) não é solução da equação diferencial.
II. ( ) 5xy x e 5−= +
5x 5xdy 5.e 0 5e
dx
− −= − + = −
dy
5y
dx
= −
5x 5x5e 5e− −− = −
Como 5x 5x5e 5e− −− = − , y(x) é solução da equação diferencial.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
III. ( ) xy x 5e= −
xdy 5.e
dx
= −
dy
5y
dx
= −
x x5.e 5e− = −
Como x x5.e 5e− = − , y(x) é solução da equação diferencial.
Questão 6. Qual valor da constante k faz com que a equação y = k.t² seja solução da equação 
diferencial y 18= ?
A) 2.
B) 3.
C) 36.
D) 18.
E) 9.
Alternativa correta: E.
Resolução do exercício
Para que y = k.t² seja solução da equação diferencial y 18= , é necessário que a função e suas 
derivadas satisfaçam a equação diferencial.
Calculando a segunda derivada de y, temos que
2y k.t=
y k.2t=
y 2k=
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Unidade I
Devemos ter, portanto,
y 18
2k 18
18
k
2
k 9
=
=
=
=

Questão 7. Considere as seguintes equações diferenciais.
I. y '(x) 4xy=
II. 
dT
T.cos(x)
dx
=
III. xdy (x y)e dx= +
São equações diferenciais de variáveis separáveis, apenas:
A) I.
B) II.
C) III.
D) I e II.
E) II e III.
Alternativa correta: D.
Resolução do exercício
As equações diferenciais parciais são aquelas que podem ser escritas na forma f(x).dx = f(y)dy. Com 
base nisso e analisando cada uma das afirmativas, temos o que segue.
I. y '(x) 4xy=
dy
4xy
dx
=
dy dx
4
y x
=
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Logo, a equação diferencial é uma equação diferencial de variáveis separáveis.
II. dT T.cos(x)
dx
= 
( )dT T.cos x
dx
=
( )dT cos x dx
T
=
Logo, a equação diferencial é uma equação diferencial de variáveis separáveis.
III. xdy (x y)e dx= +
xdy (x y)e dx= +
xdy e dx
(x y)
=
+
Logo, a equação diferencial não é uma equação diferencial de variáveis separáveis.
Questão 8. Considere as seguintes equações diferenciais.
I. dy 4xy cos(x)
dx
= −
II. uxdu e
dx
=
III. 
dp
2
dx
=
São equações diferenciais de variáveis separáveis, apenas:
A) I.
B) II.
C) III.
D) I e II.
E) II e III.
Alternativa correta: C.
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Unidade I
Resolução do exercício
As equações diferenciais parciais são aquelas que podem ser escritas na forma f(x).dx = f(y)dy. 
Analisando cada uma das afirmativas, temos o que segue.
I. 
dy
4xy cos(x)
dx
= −
dy
4xy cos(x)
dx
= −
dy 4xy dx cos(x)dx= −
Logo, a equação diferencial não é uma equação diferencial de variáveis separáveis.
II. ux
du
e
dx
=
uxdu e
dx
=
uxdu e dx=
Logo, a equação diferencial não é uma equação diferencial de variáveis separáveis.
III. 
dp
2
dx
=
dp
2
dx
=
dp 2dx=
Logo, a equação diferencial é uma equação diferencial de variáveis separáveis.
Questão 9. Determine a solução da equação diferencial 
dy
xy
dx
= .
A) 
2t
2y ke=
B) 
2ty ke=
C) 
2t
2y ke
−
=
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
D) 
2ty ke−=
E) 2y kt=
Alternativa correta: A.
Resolução do exercício
Separando as variáveis da equação diferencial, temos que
dy
xy
dx
=
dy
x dx
y
=
Integrando ambos os lados da equação, ficamos com
1
 dy x dx
y
=∫ ∫
( )
2x
ln y c
2
= +
Na expressão, c é uma constante. Calculando a exponencial de base e em ambos os lados da equação, 
temos que
2x
cln(y) 2e e
+
=
2x
k2y e .e=
Fazendo ke C= , obtemos
2x
2y C.e=
A solução da equação diferencial dada é, portanto, 
2x
2y C.e= .
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Unidade I
Questão 10. Determine a solução da equação diferencial dy y
dx x
= .
A) y = ky
B) y = kx
C) y = kxy
D) 
x
y k
y
=
E) 
y
y k
x
=
Alternativa correta: B.
Resolução do exercício
Separando as variáveis da equação diferencial, temos que
dy y
dx x
=
dy dx
 
y x
=
Integrando ambos os lados da equação, ficamos com
1 1
 dy dx
y x
=∫ ∫
( )ln y ln(x) c= +
Na expressão, c é uma constante. Calculando a exponencial de base e em ambos os lados da equação, 
temos que
( )ln x cln(y)e e +=
ln(x) cy e .e=
cy x.e=
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 D
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aç
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: F
ab
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2/
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01
7
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Fazendo ce k= , obtemos
y = k.x.
A solução da equação diferencial dada é, portanto, y = k.x.
Questão 11. Determine a solução da equação diferencial 2
dy
y
dx
=
A) y y k= +
B) 
1
y
y k
=
+
C) 
1
y
x k
=
+
D) 
1
y
y k
−=
+
E) 
1
y
x k
−=
+
Alternativa correta: E.
Resolução do exercício
Separando as variáveis da equação diferencial, temos que
2dy y
dx
=
2
dy
dx
y
=
Integrando ambos os lados da equação, ficamos com
2y dy dx− =∫ ∫
1
x c
y
− = +
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 -
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Unidade I
Na expressão, c é uma constante. Reescrevendo essa equação, temos que
1
y
x c
−=
+
A solução da equação diferencial dada é, portanto, 
1
y
x c
−=
+
.
Questão 12. Determine a solução da equação diferencial 2
dy
y cos(x)
dx
= .
A) ( )3y 2.sen x k= +
B) ( )3y 3.sen x k= +
C) ( )y 2.sen x k= +
D) ( )3y sen x k= +
E) ( )y 3.sen x k= +
Alternativa correta: B.
Resolução do exercício
Separando as variáveis da equação diferencial, ficamos com
( )
2
2
dy
y cos(x)
dx
dy
cos x dx
y
=
=
Integrando ambos os lados da equação, temos que
( )2
3
y dy cos x dx
y
sen(x) c
3
=
= +
∫ ∫
Na expressão, c é uma constante. Reescrevendo essa equação com 3c = k, temos que
( )
( )
3
3
y 3.sen x k
y 3.sen x k
= +
= +
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
A solução da equação diferencial dada é, portanto, ( )3y 3.sen x k= + .
Questão 13. Determine a solução da equação diferencial y
dy
e
dx
= para y(0) = 1.
A) 
1
y ln x
e
 = −  
B) 
1
y ln x
e
 = − +  
C) 
1
y ln x
e
 = − −  
D) 
1
y ln x
e
 = +  
E) 
1
y ln x
e
 = − − +  
Alternativa correta: C.
Resolução do exercício
Separando as variáveis da equação diferencial, ficamos com
ydy e
dx
=
ye dy dx− =
Integrando ambos os lados da equação, temos que
ye dy dx− =∫ ∫
ye x c−− = +
ye x c− = − −
Na expressão, c é uma constante. Calculando o logaritmo de base e em ambos os lados da equação, 
temos que
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Unidade I
yln(e ) ln( x c)− = − −
y.ln(e) ln( x c)− = − −
( )y ln x c− = − −
( )y ln x c= − − −
Usando a condição dada, y(0) = 1, ficamos com
( )
( )
y(0) ln 0 c 1
ln c 1
= − − − =
− = −
Calculando a exponencial de base e em ambos os lados da equação, temos que
ln( c) 1e e
1
c
e
1
c
e
− −=
− =
= −
A solução da equação diferencial dada é, portanto, 
1
y ln x
e
 = − − +   ou, ainda, 
1
y ln x
e
 = − −   .
Questão 14. Determine a equação da velocidade em função do tempo t (dado em segundos) de 
um corpo de massa m = 1 kg que se movimenta sob a ação da força 2F t t= + (dada em Newtons). 
Considere que o corpo parta do repouso.
A) 
3 2t t
v
3 2
= +
B) 
3 2t t
v
3 2
= −
C) 
3 2t t
v
3 2
= − +
D) 
3 2t t
v 2
3 2
= + +
E) 
3 2t t
v 2
3 2
= − +
Alternativa correta: A.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Resolução do exercício
Da segunda lei de Newton, concluímos que
dv
F m
dt
=
Para um corpo de massa m = 1 kg sujeito à força 2F t t= + , temos que
2 dvt t 1.
dt
+ =
Separando as variáveis, ficamos com
( )2t t dt dv+ =
Integrando ambos os lados da equação, assumindo instante inicial e velocidade inicial nulos, 
chegamos à equação da velocidade. Ou seja,
( )t v20 0t t dt dv+ =∫ ∫
3 2t t
v
3 2
+ =
Questão 15. Determine o coeficiente angular da reta tangente à função y(x) = x.cos(x) no 
ponto x = p.
A) +1
B) -1
C) 0
D) p
E) -p
Alternativa correta: B.
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Unidade I
Resolução do exercício
Nesse caso, f(x) = x.cos(x). O coeficiente angular da reta tangente em um ponto é dado pela derivada 
da função no ponto. Ou seja,
( )df d x.cos(x)
dx dx
=
Aplicando a regra do produto, ficamos com
( ) [ ]df x '.cos x x. cos(x) '
dx
= +
( ) [ ]df 1.cos x x. sen(x)
dx
= + −
( )df cos x x.sen(x)
dx
= −
Para o ponto x = p, temos que
( ) ( )
x
df
cos x.sen
dx =π
= π − π
x
df
1
dx =π
= −
Questão 16. Dada população decresce a uma taxa igual ao triplo da população P. Qual é a equação 
diferencial que descreve o crescimento dessa população em função do tempo?
A) dP 3
dt
=
B) 
dP
3
dt
= −
C) dP 3P
dt
=
D) dP 3P
dt
= −
E) dP 3t
dt
=
Alternativa correta: D.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Resolução do exercício
A população P apresenta decrescimento: logo, a taxa de variação da população em função do tempo 
deve ser negativa. Isso restringe a alternativa correta às alternativas b) e d). A taxa de variação da 
população é igual ao triplo da população. Logo,
dP
3P
dt
= −
Questão 17. Um átomo radioativo tem constante de decaimento igual a 4 ms. Determine a equação 
que dá a quantidade de átomos desse elemento radioativo em função do tempo.
A) 
t
4
0N N .e=
B) 
t
4
0N N .e
−
=
C) t0N N .4e= −
D) 4t0N N .e=
E) 4t0N N .e
−=
Alternativa correta: E.
Resolução do exercício
Para dado elemento radioativo, a quantidade de átomos N em função do tempo t é dada pela 
equação diferencial
dN
k dt
N
− =
Nesse exemplo, k = 4 ms. Logo,
dN
4 dt
N
− =
Integrando ambos os lados da equação diferencial do instante inicial 0 até o instante final t, em ms, 
ficamos com
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Unidade I
N t
N 00
dN
4 dt
N
− =∫ ∫
N t
N 00
dN
4 dt
N
− =∫ ∫
( ) ( )0ln N ln(N ) 4 t 0 − = − − 
( ) 0ln N ln(N ) 4t − = − 
Calculando-se a exponencial de base e em ambos os lados da equação, chegamos à solução da 
equação diferencial. Ou seja,
4t
0
N
e
N
−=
4t
0N N .e
−=
Questão 18. Considere as seguintes equações diferenciais.
I. ( )24xy dx 2x 1 dy 0+ + =
II. ( ) ( )2x 3y dx x 3y dy 0+ + + =
III. dx + 5x dy = 0
São equações diferenciais exatas, apenas:
A) I.
B) II.
C) III.
D) I e II.
E) II e III.
Alternativa correta: A.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Resolução do exercício
Para que a equação diferencial seja exata, devemos ter 
P Q
y x
∂ ∂=
∂ ∂
. Com base nisso e analisando cada 
uma das equações dadas, temos o que segue.
I. ( )24xy dx 2x 1 dy 0+ + =
Nesse caso, P(x,y) = 4xy, 2Q(x,y) 2x 1= + e
( )P 4xy 4x
y y
∂ ∂= =
∂ ∂
( )2Q 2x 1 4xx x
∂ ∂= + =
∂ ∂
Como 
P Q
y x
∂ ∂=
∂ ∂
, a equação diferencial é exata.
II. (2x + 3y) dx+(x + 3y)dy = 0
Nesse caso, P(x,y) = 2x + 3y, Q(x,y) = x + 3y e
( )P 2x 3y 3
y y
∂ ∂= + =
∂ ∂
( )Q x 3y 1
x x
∂ ∂= + =
∂ ∂
Como 
P Q
y x
∂ ∂≠
∂ ∂ , a equação diferencial não é exata.
III. dx + 5x dy = 0
Nesse caso, P(x,y) = 1, Q(x,y) = 5x e
( )P 1 0
y y
∂ ∂= =
∂ ∂
( )Q 5x 5
x x
∂ ∂= =
∂ ∂
Como 
P Q
y x
∂ ∂≠
∂ ∂
, a equação diferencial não é exata.
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Unidade I
Questão 19. Considere as seguintes equações diferenciais.
I. 
dy xy
dx x y
=
+
II. 
dy x y
dx x y
−=
+
III. 
dy 3
dx cos(y)
=
São equações diferenciais exatas, apenas
A) I.
B) II.
C) III.
D) I e II.
E) II e III.
Alternativa correta: E.
Resolução do exercício
Para que a equação diferencial seja exata, devemos ter 
P Q
y x
∂ ∂=
∂ ∂
. Com base nisso e analisando cada 
uma das equações dadas, temos o que segue.
I. 
dy xy
dx x y
=
+
Reescrevendo a equação, ficamos com
(x + y)dy = xy dx
xy dx + (x + y)dy = 0
Nesse caso, P(x,y) = xy, Q(x,y) = x + y e
( )P xy x
y y
∂ ∂= =
∂ ∂
( )Q x y 1
x x
∂ ∂= + =
∂ ∂
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Re
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