AP1 Met Est I 2023-2 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Métodos Estat́ısticos I – 2/2023
Código da disciplina EAD06076
GABARITO
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula, Polo • Apresente o desenvolvimento de todas as respostas.
e Data. • Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
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telefone celular ou de qualquer outro aparelho que permita Respostas.
a conexão à internet. • As Folhas de Respostas serão o único material
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. considerado para correção. Quaisquer anotações feitas
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, fora deste espaço,mesmo que em folha de rascunho,
pois isto pode invialbilizar a digitalização e a correção. serão ignoradas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 4.
Considere o conjunto de dados abaixo cuja média é 1.
-10 -5 -2 -1 X 1 4 5 10
Questão 1 [1,0 ponto] Determine X.
R: Temos que a média X é igual à 1. Ou seja, X = 1. Também sabemos que o cálculo da média é
dado por X = (∑xi)/n. Assim:
1 = X =
∑
xi
n
= (−10) + (−5) + · · ·+X + 1 + · · ·+ 109 =
2 +X
9 .
Logo:
Métodos Estat́ısticos I AP1 2/2023
1 = 2 +X9 ⇒ 1× 9 = 2 +X ⇒ 9 = 2 +X ⇒ X = 7.
Questão 2 [0,5 ponto] Determine a moda.
R:
Como não há nenhum valor que se repita, então não há moda.
Logo:
A distribuição é AMODAL.
Questão 3 [0,5 ponto] Determine a mediana.
R: Como n = 9 é ı́mpar, então a mediana será o valor central dos dados dispostos em ordem
crescente. Ou seja:
-10 -5 -2 -1 1 4 5 7 10
Q2 = x(n+1)/2 = x(10/2) = x(5) = 1
Questão 4 [1,0 ponto] Determine o desvio padrão, sabendo que σ2 = (∑nix2i − n(X)2)/n e∑
nix
2
i = 321.
R: Com as informações desta questão e sabendo do enunciado principal que a média é 14, temos:
σ2 =
∑
nix
2
i − n(X)2
n
= 321− 9 · (1)
2
9
= 321− 9 · 19
= 321− 99
= 3129
= 34, 6667
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Assim:
σ =
√
34, 6667 = 5,8878.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 5 A 8.
Considere a tabela de distribuição de frequências:
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Classes ni xi Freq. Relat Freq. Acum Freq. Acum %
01 ` 07 02 04 0,050 02 5,0
07 ` 12 12 10 0,300 14 35,0
13 ` 19 23 16 0,575 37 92,5
19 ` 25 03 22 0,075 40 100,0
Total 40 1
Questão 5 [0,5 ponto] Obtenha a média.
R:
X =
∑
nixi
n
= (2× 4) + (12× 10) + (23× 16) + (3× 22)40 =
8 + 120 + 368 + 66
40 =
562
40 = 14,05
Questão 6 [0,5 ponto] Obtenha a moda.
R:
A moda é o ponto médio da classe de maior frequência. A maior frequência é 23. O ponto médio
da classe é 16.
Logo:
x∗ = 16
Questão 7 [1,0 ponto] Obtenha a mediana.
R:
Para obter a mediana, precisamos verificar a classe que acumula 50%. Notemos que a classe que
acumula até 92,5% é a classe 13 ` 19. Assim, teremos o seguinte esquema:
Fazendo as devidas razões de proporções, teremos:
(92, 5− 35, 0)
(50− 35) =
(19− 13)
(Q2 − 13)
=⇒ 57, 515 =
6
(Q2 − 13)
=⇒ 57, 5(Q2 − 13) = 6× 15
57, 5Q2 − (57, 5× 13) = 90 =⇒ 57, 5Q2 − 747, 5 = 90 =⇒ 57, 5Q2 = 90 + 747, 5
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57, 5Q2 = 837, 5 =⇒ Q2 =
837, 5
57, 5 = 14,57.
Questão 8 [1,0 ponto] Obtenha o desvio padrão, sabendo que σ2 =
∑
ni(xi−X)2
n
.
R:
σ2 = 2(4− 14, 05)
2 + 12(10− 14, 05)2 + 23(16− 14, 05)2 + 3(22− 14, 05)2
40
= 2(10, 05)
2 + 12(−4, 05)2 + 23(1, 95)2 + 3(7, 95)2
40
= (2× 101, 0025) + (12× 16, 4025) + (23× 3, 8025) + (3× 63, 2025)40
= 202, 005 + 196, 83 + 87, 4575 + 189, 607540
= 675, 940
= 16, 8975
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Logo:
σ =
√
16, 8975 = 4,11
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 9 A 12.
Uma urna contém 5 bolas idênticas numeradas de 1 a 5. Uma única bola será sorteada alea-
toriamente e seu número será verificado. Considere alguns posśıveis eventos desse experimento:
A = {Numero impar}, B = {Numero igual a 4}, C = {Numero ≤ 3}.
Questão 9 [0,5 ponto] Determine P (A ∪B)
R:
Temos que Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 3, 5}, B = {4}, C = {1, 2, 3}. Logo: A ∪B = {1, 3, 4, 5}.
Assim:
P (A ∪B) = n(A ∪B)
n(Ω) =
4
5 = 0,8
Questão 10 [0,5 ponto] Determine P (A ∩ C)
R:
A ∩ C = {1, 3}.
Assim:
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P (A ∩ C) = n(A ∩ C)
n(Ω) =
2
5 = 0,4
Questão 11 [0,5 ponto] Determine P (A ∪B).
R:
P (A ∪B) = P (A ∩B) = 1− P (A ∩B)
Como A ∩B = ∅, então
P (A ∪B) = 1− P (A ∩B) = 1− P (∅) = 1− 0 = 1
Questão 12 [0,5 ponto] Determine P (B ∩ C)
R:
P (B ∩ C) = P (B ∪ C) = 1− P (B ∪ C)
Como B ∪ C = {1, 2, 3, 4}, então
P (B ∩ C) = 1− P (B ∪ C) = 1− n(B ∪ C)
n(Ω) = 1−
4
5 =
1
5 = 0,2
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 13 A 16.
Quantos são os anagramas da palavra SIMULTÂNEO que:
Questão 13 [0,5 ponto] Começam por consoante e terminam por vogal?
R:
A palavra SIMULTÂNEO possui 10 letras diferentes, sendo 5 consoantes e 5 vogais. Para começar
por consoante, há 5 possibilidades para a primeira posição. O memso acontece para a terminar por
vogal: 5 possibilidades. Após escola das duas posições, sobram 8 letras para as demais 8 posições.
Assim:
5 8 7 6 5 4 3 2 1 5
Logo,
Pelo prinćıpio multiplicativo, serão:
5× 5× 8! = 25× 40.320 = 1.008.000.
Questão 14 [0,5 ponto] Têm a letra S na primeira posição ou a letra I na segunda posição?
R:
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Para verificar os casos que têm a letra S na primeira posição, basta fixar o S na primeira posição
(ou seja, 1 única opção para a primeira posição) e as demais 9 posições a serem preenchidas pelas 9
letras restantes.
Análise idêntica se faz para os casos que têm a letra I na segunda posição. Fixa 1 única posição
para a segunda posição e as demais 9 posições com 9 letras a serem escolhidas.
Em ambos os casos, as situações com ”SI”nas duas primeiras posições acontecem. Ou seja, ela
são contadas duas vezes, dáı é necessário subtrair essas situações. Mas, quantas são as posśıveis
situações em que SI estão juntas nesta posição? Fixamos esta duas letras e restam 8 letras para
permutar em 8 lugares restantes.
Logo:
(1×9!)+(1×9!)−8! = 9!+9!−8! = 362.880+362.880−40.320 = 725.760−40.320 = 685.440.
Questão 15 [0,5 ponto] Têm as letras S, I e M juntas nesta ordem?
R:
Para ter as letras S, I e M juntas e nessa ordem, você deve considerar as três letras juntas como
um bloco, que pode ser permutado com as demais 7 letras restantes. Então, seria como se tivesse 8
letras a serem permutadas em 8 posições.
Logo:
8! = 40.320.
Questão 16 [0,5 ponto] Têm as letras S, I e M juntas em qualquer ordem?
R:
Nesse caso, estas letras que formam o bloco podem ter suas ordens permutadas. Ou seja, podem
ser: SIM , SMI, MIS, MSI, IMS ou ISM . São 6 possibilidades (ou 3!).
Logo:
3!× 8! = 6× 40.320 = 241.920.
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