004_congruencia

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FUNDAMENTOS DE 
GEOMETRIA 
Celso Pessanha Machado
Congruência
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir polígonos congruentes.
 � Construir triângulos congruentes.
 � Demonstrar que dois triângulos são congruentes.
Introdução
Neste capítulo, você estudará a congruência, analisando polígonos e o 
caso mais específico de triângulos. Não podemos confundir congruência 
com igualdade, pois lidamos com figuras diferentes, cada qual com seu 
conjunto próprio de pontos que se unem para formar polígonos que 
têm ângulos e lados com a mesma medida.
Entre os triângulos, também existem relações de congruência, com 
características próprias. Não é necessário examinar todos os elementos 
que formam essas figuras para determinar se há ou não congruência, 
bastando seguir algumas regras que serão apresentadas neste texto.
Polígonos congruentes
Ao falarmos de congruência, imediatamente imaginamos figuras de mesma 
forma e mesmo tamanho. A definição formal de duas figuras congruentes é de 
que, quando sobrepostas, todos os seus pontos coincidirão. Observe que o termo 
igual não é adequado, pois cada figura é formada por um conjunto de pontos 
distintos dos outros. Observe as figuras congruentes na Figura 1, a seguir.
Figura 1. As figuras A e E, B e F, C e D são congruentes.
Observe, agora, os pares de figuras congruentes na Figura 2, a seguir.
Figura 2. Pares de figuras congruentes.
Congruência2
Há dois pares de figuras congruentes — E com E e F com F —, pois todos 
os seus pontos coincidem um a um. Segundo Coxeter e Greitzer (1967), para 
transformar um no outro, utilizamos transformações denominadas isometrias, 
que não alteram comprimento ou amplitude de ângulos, modificando apenas a 
posição. Há quatro categorias de isometrias: translação, rotação, reflexão (em 
relação a um eixo ou um ponto) e reflexão deslizante (COXETER; GREITZER, 
1967) — descritas a seguir.
Translação: é uma isometria em que uma figura é deslocada segundo uma 
direção, um sentido e um comprimento. Os pontos da figura original são 
deslocados da mesma forma, e todos os segmentos de reta formadores da 
figura original são transformados em segmentos de reta paralelos e com o 
mesmo comprimento.
Rotação: uma figura tem simetria rotacional, coincidindo com ela própria 
durante um giro. Duas figuras podem ser giradas em sentido horário ou anti-
-horário, em diferentes graus, até todos os pontos coincidirem, indicando 
congruência (Figura 3).
Figura 3. A roda gigante rotaciona todos os seus elementos em torno de um ponto fixo.
Fonte: FooTToo/Shutterstock.com.
3Congruência
Reflexão: a simetria de reflexão (ou reflexão axial) acontece quando existe, 
no mínimo, um eixo de simetria, criando um espelhamento entre os pontos 
(Figura 4).
Figura 4. Figuras espelhadas a partir de um eixo de simetria.
Reflexão deslizante: acontece quando há uma reflexão sobre um eixo de 
simetria, seguida de uma translação ao longo desse mesmo eixo (Figura 5).
Figura 5. Figuras após processo de reflexão deslizante.
Congruência4
Triângulos congruentes
Assim como as outras figuras planas, há casos de congruência entre triângulos, 
estabelecendo uma correspondência entre os vértices de cada um deles. Nesse 
caso, lados e ângulos de um triângulo são ordenadamente congruentes com 
os lados e os ângulos do outro, conforme observado na Figura 6.
Figura 6. Triângulos congruentes.
Há três propriedades que são estabelecidas com a congruência de triângulos: 
reflexiva, simétrica e transitiva.
Propriedade reflexiva: todo triângulo é congruente a si mesmo.
Na Figura 7, ∆ABC ≡ ∆ABC.
Figura 7. O triângulo ABC é congruente com ele mesmo.
5Congruência
Propriedade simétrica: se um triângulo é semelhante a outro, então o 
segundo é semelhante ao primeiro. Observe que, na Figura 8, temos que 
∆ABC ≡ ∆DEF → ∆DEF ≡ ∆ABC.
Figura 8. Dois triângulos congruentes.
Propriedade transitiva: se um triângulo é semelhante a um segundo, o qual 
é semelhante a um terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro.
Nos três triângulos da Figura 9, a seguir, temos que ∆ABC ≡ ∆DEF e 
∆DEF ≡ ∆GHI → ∆ABC ≡ ∆GHI
Figura 9. Três triângulos congruentes.
Congruência de triângulos
Para fazer a comprovação da congruência entre dois triângulos, não é necessário 
conhecer a medida de todos os seus elementos, apenas verificar alguns deles. 
Vamos conhecer as regras para verificar a congruência, sempre respeitando 
a ordem dos elementos.
Congruência6
1º caso: LAL (lado, ângulo, lado)
Se dois triângulos têm dois lados e o ângulo compreendido entre eles 
ordenadamente congruentes, então eles são congruentes (Figura 10).
Figura 10. Lados congruentes com ângulo congruente entre eles.
2º caso: LLL (lado, lado, lado)
Se dois triângulos têm, em ordem, os três lados respectivos congruentes, 
então eles são congruentes (Figura 11).
Figura 11. Lados ordenadamente congruentes determinam congruência.
7Congruência
3º caso: ALA (ângulo, lado, ângulo)
Se dois triângulos possuem, ordenadamente, um ângulo, um lado e um 
ângulo congruentes, então eles são congruentes (Figura 12).
Figura 12. Congruência ALA.
4º caso: LAA (lado, ângulo, ângulo)
Se dois triângulos têm, em ordem, um lado, um ângulo adjacente e o 
ângulo oposto a esse lado congruente, então eles são congruentes (Figura 13).
Figura 13. Semelhança por LAA.
Congruência8
Você verá, agora, dois exemplos envolvendo congruência de triângulos. 
Observe a figura que apresenta dois triângulos e determine o valor do ângulo β, 
sabendo-se que .
Fazendo uma análise, verifica-se que há dois triângulos, ABC e DBE, ambos comum 
ângulo de 39° entre dois lados com a mesma medida. Concluímos que os dois triângulos 
são congruentes pelo caso LAL.
Como confirmamos a congruência, podemos afirmar que , e ambos 
medem 68°. Como a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180°, temos que:
68° + 39º + β = 180°
β = 180° – 107° 
β = 73°
Agora, observe o seguinte pentágono regular ABCDE.
9Congruência
Vamos traçar duas diagonais AC e AD.
Prove que os triângulos ABC e AED são congruentes.
Acompanhe duas soluções:
Primeira:
O polígono é regular, logo os ângulos e AÊD são congruentes e estão entre 
lados que têm a mesma medida nos dois triângulos. Portanto, temos um caso LAL.
Segunda:
Já vimos, na primeira prova, que os lados AB, AC, AE e ED têm a mesma medida. 
Agora, note que, quando desenhamos as duas diagonais, criamos um triângulo isós-
celes com AC congruente com AD. Temos, portanto, três lados respectivamente 
congruentes — um caso LLL.
COXETER, H. S. M.; GREITZER, S. L. Geometry revisited. Washington: The Mathematical 
Association of America, 1967.
Leitura recomendada
BOSTOCK, L. et al. GCSE higher mathematics: a full course. 2nd ed. Cheltenham: Nelson 
Thornes, 1996.
Referência
Congruência10