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Álgebra das Proposições As regras de inferência são chamadas regras de substituição porque estabelecem as transformações entre proposições logicamente equivalentes. Por exemplo, a proposição pode ser inferida a partir da proposição ~~p, e é a partir desta regra de inferência que iniciamos a nossa lista. Álgebra das Proposições Propriedades da Conjunção • Idempotência p ^ p p • Comutatividade p ^ q q ^ p Propriedades da Conjunção • Associatividade (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) Propriedades da Disjunção • Idempotência p v p p • Comutatividade p v q q v p Propriedades da Disjunção • Associatividade (p v q) v r p v (q v r) ■ Propriedades Distributivas □ p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r) □ p ^( q v r) (p ^ q ) v (p ^ r) Note que a fórmula possui conjunção e disjunção. Diferente da associativa que possui uma ou outra, mas não ambas ao mesmo tempo. Propriedades da Conjunção e da Disjunção ■ Propriedade Comutativa □ p v q q v p □ p ^ q q ^ p □ p ↔ q q ↔ p Álgebra das Proposições ■ Propriedade Associativa □ (p v q) v r p v (q v r) □ (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) Em geral, o que esta regra de inferência nos diz é que em conjunções e disjunções a ordem das proposições componentes não altera o valor lógico do conjunto, assim, os parênteses poderiam ser removidos, como em p˄q˄r, sem gerar ambiguidade. A ordem das proposições não altera o resultado Álgebra das Proposições ■ Leis de De Morgan □ ~(p ^ q) ~p v ~q □ ~(p v q) ~p ^ ~q ■ Propriedade da Dupla Negação □ ~(~p) p ■ Propriedade da Condicional □ pq ~p v q □ ~(p q) ~(~ p ˅ q) p ^ ~ q Álgebra das Proposições ■ Propriedades dos Elementos Neutros □ p v F p □ p ^ V p ■ Propriedade de Negação □ p v ~p V □ p ^ ~p F ■ Transposição (Contrapositiva) □ p → q ~q → ~p Álgebra das Proposições ■ Propriedades de Dominação □ p v V V □ p ^ F F ■ Propriedades Idempotentes □ p v p p □ p ^ p p ■ Propriedade de Absorção □ p v (p ^ q) p □ p ^ (p v q) p Álgebra das Proposições p ↔ q (p q) ^ (q p) p ↔ q ~p ↔ ~q Álgebra das Proposições Exercícios Exercícios Demonstrar por tabelas-verdade as equivalências: a) p q r (p q) (p r) b) p q r (p q) (p r) As Olimpíadas de 2016 foram realizadas no Rio de Janeiro e dentre as modalidades de esportes o voleibol masculino obteve um grande resultado, ganhando medalha de ouro como a muito tempo merecido. Sabemos que “se um time de voleibol ganha três sets então ele ganha a partida”. Uma regra equivalente a esta seria: A.Se um time de voleibol ganha a partida então ele ganha três sets. B.Se o time de voleibol não ganha os três sets então ele não ganha a partida C.O time de voleibol não ganha os três sets ou ele ganha a partida D.O time de voleibol ganha três sets e ganha a partida As Olimpíadas de 2016 foram realizadas no Rio de Janeiro e dentre as modalidades de esportes o voleibol masculino obteve um grande resultado, ganhando medalha de ouro como a muito tempo merecido. Sabemos que “se um time de voleibol ganha três sets então ele ganha a partida”. Uma regra equivalente a esta seria: p: um time de voleibol ganha três sets q: ele ganha a partida p: um time de voleibol ganha três sets q: ele ganha a partida p q A.Se um time de voleibol ganha a partida então ele ganha três sets.(qp) B.Se o time de voleibol não ganha os três sets então ele não ganha a partida (~p~q) C.O time de voleibol não ganha os três sets ou ele ganha a partida (~p v q) D.O time de voleibol ganha três sets e ganha a partida (p ^ q) p q A) (qp) B) (~p~q) C)(~p v q) D)(p ^ q) pq ~p v q (propriedade condicional) pq ~q~p (Contrapositiva) A) (qp) B) (~p~q) C)(~p v q) D)(p ^ q) (ESAF/AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: A.Pedro não é pobre ou Alberto não é alto; B.Pedro não é pobre e Alberto não é alto; C.Pedro é pobre ou Alberto não é alto; D.Se Pedro não é pobre então Alberto não é alto. (ESAF/AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: p: Pedro é pobre q: Alberto é alto ~(p ^ q) (ESAF/AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: p: Pedro é pobre q: Alberto é alto ~(p ^ q) Vamos aplicar De Morgan!!! (ESAF/AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: p: Pedro é pobre q: Alberto é alto ~(p ^ q) ~p v ~q Vamos aplicar De Morgan!!! (ESAF/AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: p: Pedro é pobre q: Alberto é alto ~(p ^ q) ~p v ~q Pedro não é pobre ou Alberto não é alto!!! Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: “Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa”. Assinale a alternativa que contém uma proposição logicamente equivalente à do economista: A)Se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos; B)Se a inflação é alta, então os juros bancários são altos; C)Se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa; D)Os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. “Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa”. p: os juros bancários são altos q: inflação é baixa A)Se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos; B)Se a inflação é alta, então os juros bancários são altos; C)Se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa; D)Os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. “Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa”. pq p: os juros bancários são altos q: inflação é baixa A)Se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos; ~q~p B)Se a inflação é alta, então os juros bancários são altos; ~q p C)Se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa; ~p ~q D)Os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. ~p ^ q pq ~p v q (propriedade condicional) p q ~q~p (Contrapositiva) A)~q~p B)~q p C)~p ~q D)~p q Exercícios Usar equivalências lógicas para simplificar cada uma das seguintes proposições: a) ~p (p ~q) b) (p q) (p ~q) c) (p q) (p (~q r)) d) ~(p q) ~(q r) e) (p q) (p ~q) (~p ~q) f) (q (p r)) (p (q ~r)) Mostre a equivalência lógica da seguinte proposição usando apenas as leis da lógica: (p → r) ∨ (q → r) (p ∧ q) → r (p → r) ∨ (q → r) (p ∧ q) → r (~p ∨ r) ∨ (~q ∨ r) ~p ∨ ~q ∨ r (~p ∨ ~q) ∨ r ~(~p ∨ ~q) → r (p ∧ q) → r Simplifique a expressão: [p ∧ ~(~p v q)] v (p ∧ q) (p ∧ (~(~p ∨ q))) ∨ (p ∧ q) Lei De Morgan sobre ~(~p ∨ q). (p ∧ (p ∧ ~q)) ∨ (p ∧ q) Propriedade da Associatividade sobre p ∧ (p ∧ ~q). ((p ∧ p) ∧ ~q) ∨ (p ∧ q) Propriedade da Idempotência sobre p ∧ p. (p ∧ ~q) ∨ (p ∧ q) Propriedade da Distributividade. p ∧ (~q ∨ q) Negação sobre ~q ∨ q. p ∧ t Identidade com a tautologia t. p Demonstre, utilizando tabelas-verdade, as seguintes relações de equivalência: a) p ( p q ) p b) p ( p q ) p c) ( p q ) ( p r ) p p r Demonstre, utilizando tabelas-verdade, as seguintes relações de equivalência: a) p ( p q ) p (equivalentes) b) p ( p q ) p (equivalentes) c) (p q ) ( p r ) p p r (não equivalentes) Negue em linguagem corrente as seguintes proposições: a) Atlético é alvi-verde e Coritiba é rubro-negro. b) As vendas diminuem e os preços aumentam. c) É falso que está frio ou que está chovendo. d) Se João passar em Física então se formará. e) Não tenho carro e não tenho moto. a) Atlético não é alvi-verde ou Coritiba é rubro- negro. b) As vendas não diminuem ou os preços não aumentam. c) Está frio ou está chovendo. d) João passa em Física e não se forma. e) Tenho carro ou tenho moto. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis: a) p q r ( p q ) ( p r ) b) p q r ( p q ) ( p r ) c) p ( r s t ) ( p r ) ( p s ) ( p t ) d) p q r p ( q r ) e) e) ~( ~p ~q ) ~p q a) p q r ( p q ) ( p r ) p q r ~p ( q r ) (reescrita da condicional) (~p q) (~p r) (distributiva) (p q) (p r) (reescrita da condicional) b) p q r ( p q ) ( p r ) p q r ~p ( q r ) (reescrita da condicional) ~p q r (associativa) ~p ~p q r (idempotente, adicionei um ~p, pois ~p ~p ~p) (~p q) (~p r ) (associativa) (p q) (p r) (reescrita da condicional) c) p ( r s t ) ( p r ) ( p s ) ( p t ) p ( r s t ) p ( r (s t)) (associativa em s t ) (p r) (p (s t)) (distributiva) (p r) (p s) (p t) (distributiva) d) p q r p ( q r ) p q r ~(p q) r (reescrita da condicional) ~p ~q r (De Morgan) ~p (~q r) (associativa) ~p ( q r) (reescrita da condicional) p (q r) (reescrita da condicional) e) ~( ~p ~q ) ~p q ~( ~p ~q ) ~( ~~p ~q) (reescrita da condicional) ~(p ~q) (dupla negação) ~p ~~q (De Morgan) ~p q (dupla negação) Demonstre as leis de Morgan para três proposições: a) ~( p q r ) ~p ~q ~r b) ~( p q r ) ~p ~q ~r a) ~( p q r ) ~p ~q ~r ~(p ( q r) ) (associativa) ~p ~(q r) (De Morgan) ~p ~q ~r (De Morgan) b) ~( p q r ) ~p ~q ~r ~(p ( q r) ) (associativa) ~p ~(q r) (De Morgan) ~p ~q ~r (De Morgan)