Aproximação Linear; Diferenciais

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Instituto de Matemática - IM/UFRJ
Cálculo Diferencial e Integral I
Roteiro 09/10 — Aproximação Linear; Diferenciais
Atividade 1
(a) Como calcular a taxa de variação média para uma função derivável y = f(x) no intervalo
[x0, x0 +∆x]?
(b) No gráfico abaixo, mostre o que representa geometricamente a taxa de variação média
que você calculou no item (a).
x0 x0 +∆x
f(x0)
f(x0 +∆x)
∆x x
y
(c) Pense que o ∆x do gráfico acima vai se aproximando cada vez mais de zero. O que
acontece com a taxa de variação calculada em (a)? O que este processo representará na
figura do item (b)?
Atividade 2 Vamos agora pensar na função f(x) = ex.
(a) Esboce o seu gráfico.
(b) Escolha o ponto x0 = 0, use ∆x = 0.4 e repita os passos (a) e (b) da questão anterior.
(c) No seu desenho, pinte de vermelho o que representa a grandeza ∆y = f(x0+∆x)− f(x0)
para os valores dados no item (b). Encontre esse valor.
(d) Faça um desenho da reta tangente ao gráfico de f(x) = ex que passa pelo ponto (0, 1).
(e) Qual é o valor da inclinação da reta tangente que você desenhou acima? Escreva a equação
da reta tangente do item (d).
(f) Expresse a equação da reta tangente como y = r(x). Qual é a função r(x)?
(g) Sobre a reta tangente, qual é a variação na variável y quando x passa de x0 = 0 para
(0 + ∆x)? Isso significa r(x0 +∆x)− r(x0). Identifique essa quantidade no gráfico.
(h) Compare os valores obtidos no item (c) e no item (g), bem como as representações gráficas
registradas em (c) e (b).
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Cálculo Diferencial e Integral I
Roteiro 09/10 — Aproximação Linear; Diferenciais (continuação)
Discussão no quadro
Lembre-se da definição da derivada de uma função derivável f em x = x0:
f ′(x0) = lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
.
Ela pode ser, também, escrita na forma:
f ′(x) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
.
Para valores de x muito próximos de x0 (∆x muito próximo de zero), podemos escrever
f ′(x0) ≈
f(x)− f(x0)
x− x0
ou, equivalentemente,
f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0).
Note que a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) em x = x0 é dada por
y = r(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0).
Esta função é chamada de linearização ou aproximação linear de f em x = x0.
Nas figuras abaixo, traçamos a função f(x) = x2 (azul) e a reta tangente ao seu gráfico
no ponto (1, 1). Esta reta tem equação y = 2(x − 1) + 1 (vermelho). Cada figura é um zoom
da anterior, mostrando o que ocorre cada vez mais próximo do ponto (1, 1). Observe como o
gráfico de f(x) é bem aproximado pela reta tangente se olharmos próximo do ponto (1, 1).
−2 −1 1 2
−2
2
4
x
y
0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.5
1
1.5
2
x
y
0.95 1 1.05 1.1
0.9
1
1.1
1.2
x
y
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Cálculo Diferencial e Integral I
Roteiro 09/10 — Aproximação Linear; Diferenciais (continuação)
Questão 1 no quadro:
(a) Use as ideias desenvolvidas acima e o desenvolvimento da Atividade 2 para estimar o
valor de e0.4.
(b) Encontre a aproximação linear da função f(x) =
√
x na vizinhança do x = 25. Use-a
para aproximar o valor de
√
25.2.
(c) Uma fórmula de aproximação muito usada na Física para valores de x próximos de zero
é dada por sen(x) ≈ x. Explique esta fórmula usando a discussão acima.
Questão 1:
Encontre a aproximação linear das funções dadas na vizinhança do ponto indicado:
(a) f(x) =
√
1 + x; x = 0.
(b) f(x) = cos(x); x = π/6.
Discussão no quadro A discussão acima podem ser feita em termos das diferenciais, que são
definidas por:
dx = ∆x é a diferencial de x
dy = f ′(x)dx é a diferencial de y
Escolha um ponto x0. Interprete o significado da diferencial dy = f ′(x0)dx, calculada em x0,
no gráfico da Questão 2.
Questão 2:
Calcule as diferenciais dy das funções abaixo:
(a) y = x sen(x).
(b) y = ln
√
1 + x2.
Questão 3:
Como vimos na discussão acima, quando dx é pequeno temos ∆y ≈ dy. Calcule os valores de
∆y e de dy para a função y = 2x− x2 no ponto x = 2, para dx = −0.4.
Questão 4:
O raio de uma esfera foi medido e descobriu-se que possui 21 cm com uma possibilidade de erro
na medida de no máximo 0.05 cm.
(a) Qual é o erro máximo que o uso desse valor de raio pode provocar no cálculo do volume
da esfera?
(b) Use diferenciais para aproximar erro máximo calculado no item (a).
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