PC_2021-1_AD2-Parte1_GABARITO

Prévia do material em texto

AD2-Parte 1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 6 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2021-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
Parte 1 da Segunda Avaliação a Distância (AD2-Parte 1) 
GABARITO 
IMPORTANTE!!! 
Em todas as questões não serão consideradas as respostas se não estiverem acompanhadas dos cálculos ou das 
justificativas para encontrar as respostas. 
Questão 1 [ valor: 1,4 ] Considere 𝑥 ∈ ℝ e a função 𝑓 definida por 
𝑓(𝑥) = 4 cos (𝑥 −
𝜋
2
) − 2 cos(2𝑥) − 1 
(1.a) Simplifique 𝑓(𝑥) de forma que a expressão da função 𝑓 simplificada dependa apenas de sen(𝑥) 
 e/ou de cos(𝑥). 
(1.b) Considerando 𝑥 ∈ ℝ, determine as abscissas dos pontos em que o gráfico da função 𝑓 corta o 
eixo 𝑥. Atenção: a resposta das abscissas depende de 𝑘 ∈ ℤ. 
(1.c) Considerando −4𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 4𝜋 determine as abscissas dos pontos em que o gráfico da função 𝑓 
corta o eixo 𝑥. 
RESOLUÇÃO 
(1.a) Vamos usar identidades trigonométricas para escrever cos (𝑥 −
𝜋
2
) e cos(2𝑥) dependendo de 
sen(𝑥) e/ou de cos(𝑥). 
cos (𝑥 −
𝜋
2
) = cos (− (𝑥 −
𝜋
2
)) = cos (
𝜋
2
− 𝑥) = sen(𝑥). 
cos(2𝑥) = cos2(𝑥) − sen2(𝑥). 
Substituindo as identidades acima em 𝑓(𝑥) = 4 cos (𝑥 −
𝜋
2
) − 2 cos(2𝑥) − 1, obtemos: 
𝑓(𝑥) = 4 sen(𝑥) − 2(cos2(𝑥) − sen2(𝑥)) − 1. Essa expressão depende apenas de sen(𝑥) e de cos(𝑥). 
 
(1.b) Para determinar as abscissas dos pontos em que o gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑥 é preciso 
encontrar os valores de 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 0. 
𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 4 sen(𝑥) − 2(cos2(𝑥) − sen2(𝑥)) − 1 = 0 ⟺ 
4 sen(𝑥) − 2(1 − sen2(𝑥) − sen2(𝑥) ) − 1 = 0 ⟺ 4 sen(𝑥) − 2(1 − 2 sen2(𝑥)) − 1 = 0 ⟺ 
4 sen(𝑥) − 2 + 4 sen2(𝑥) − 1 = 0 ⟺ 4 sen2(𝑥) + 4 sen(𝑥) − 3 = 0 ⟺ 
⟺ sen(𝑥) =
−4±√16+48
8
=
−4±8
8
 ⟺ sen(𝑥) = −
12
8
= −
3
2
 ou sen(𝑥) =
4
8
=
1
2
. 
Resolvendo cada equação, 
AD2-Parte 1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 6 
• sen(𝑥) = −
3
2
 . Como −
3
2
< −1 e para todo 𝑥 ∈ ℝ sabemos que −1 ≤ sen(𝑥) ≤ 1, concluímos 
que essa equação não tem solução para 𝑥 ∈ ℝ. 
• sen(𝑥) =
1
2
 
Vamos considerar primeiro sen(𝑥) =
1
2
 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋. 
Observando o círculo trigonométrico ao lado, onde estão marcados os 
ângulos de 0 a 2𝜋, vemos que as soluções de sen(𝑥) =
1
2
 para 
0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 são 𝑥 =
𝜋
6
 ou 𝑥 = 𝜋 −
𝜋
6
=
5𝜋
6
. 
As soluções de sen(𝑥) =
1
2
 para 𝑥 ∈ ℝ são os ângulos congruentes com esses dois ângulos, que são: 
𝑥 =
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ou 𝑥 =
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Assim, as abscissas dos pontos em que o gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑥, considerando 𝑥 ∈ ℝ, são: 
𝑥 =
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ou 𝑥 =
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
 
(1.c) Para determinar as abscissas dos pontos em que o gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑥, 
considerando −4𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 4𝜋, é preciso atribuir valores para 𝑘 nas soluções encontradas no item anterior 
de tal forma que essas soluções satisfaçam −4𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 4𝜋. 
É preciso determinar os valores possíveis de 𝑘 ∈ ℤ das soluções congruentes com 
𝜋
6
 e também os valores 
possíveis de 𝑘 ∈ ℤ das soluções congruentes com 
5𝜋
6
. 
• Soluções congruentes com 
𝝅
𝟔
 
−4𝜋 ≤
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ≤ 4𝜋 ⟺ −4𝜋 −
𝜋
6
≤ 2𝑘𝜋 ≤ 4𝜋 −
𝜋
6
 ⟺ −
25𝜋
6
≤ 2𝑘𝜋 ≤
23𝜋
6
 ⟺ 
 −
25
6
≤ 2𝑘 ≤
23
6
 ⟺ −
25
12
≤ 𝑘 ≤
23
12
 . 
Os únicos números inteiros nesse intervalo são: 𝑘 = −2, 𝑘 = −1, 𝑘 = 0 𝑜𝑢 𝑘 = 1. 
Para esses valores de 𝑘, as soluções são respectivamente: 
𝑥 =
𝜋
6
− 4𝜋 = −
23𝜋
6
 ou 𝑥 =
𝜋
6
− 2𝜋 = −
11𝜋
6
 ou 𝑥 =
𝜋
6
− 0𝜋 =
𝜋
6
 ou 𝑥 =
𝜋
6
+ 2𝜋 =
13𝜋
6
 
• Soluções congruentes com 
𝟓𝝅
𝟔
. 
−4𝜋 ≤
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ≤ 4𝜋 ⟺ −4𝜋 −
5𝜋
6
≤ 2𝑘𝜋 ≤ 4𝜋 −
5𝜋
6
 ⟺ −
29𝜋
6
≤ 2𝑘𝜋 ≤
19𝜋
6
 ⟺ 
 −
29
6
≤ 2𝑘 ≤
19
6
 ⟺ −
29
12
≤ 𝑘 ≤
19
12
 . 
Os únicos números inteiros nesse intervalo são: 𝑘 = −2, 𝑘 = −1, 𝑘 = 0 𝑜𝑢 𝑘 = 1. 
Para esses valores de 𝑘, as soluções são respectivamente: 
𝑥 =
5𝜋
6
− 4𝜋 = −
19𝜋
6
 ou 𝑥 =
5𝜋
6
− 2𝜋 = −
7𝜋
6
 ou 𝑥 =
5𝜋
6
− 0𝜋 = 
5𝜋
6
 ou 𝑥 =
5𝜋
6
+ 2𝜋 =
17𝜋
6
. 
AD2-Parte 1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 3 de 6 
Assim, as abscissas dos pontos em que o gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑥, para 𝑥 ∈ [−4𝜋, 4𝜋], são: 
𝑥 ∈ {−
23𝜋
6
, −
19𝜋
6
, −
11𝜋
6
, −
7𝜋
6
,
𝜋
6
,
5𝜋
6
,
13𝜋
6
,
17𝜋
6
} 
 
Questão 2 [ valor: 1,2] Faça o que se pede em cada item. 
(2.a) Considere 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] e analise o sinal de 𝐴(𝑥) = −1 + cos(𝑥). 
(2.b) Considere 𝑥 ∈ [0, 2𝜋], 𝑥 ≠
𝜋
2
, 𝑥 ≠
3𝜋
2
 e analise o sinal de 𝐵(𝑥) = 1 − tan(𝑥). 
(2.c) Considere a função 𝑔 definida por 𝑔(𝑥) =
−1+cos(𝑥)
1−tan(𝑥)
 com domínio contido no intervalo [0, 2𝜋]. 
 Determine o domínio de 𝑔 e analise o sinal de 𝑔. 
RESOLUÇÃO 
(2.a) Sinal de 𝑨(𝒙) = −𝟏 + 𝐜𝐨𝐬(𝒙), para 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅] 
• −1 + cos(𝑥) = 0 ⟺ cos(𝑥) = 1 ⟺ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 2𝜋. 
• −1 + cos(𝑥) > 0 ⟺ cos(𝑥) > 1. Sabemos que não existe 𝑥 tal que cos(𝑥) > 1. 
 Logo, não existe 𝑥 tal que −1 + cos(𝑥) > 0. 
• −1 + cos(𝑥) < 0 ⟺ cos(𝑥) < 1 ⟺ cos(𝑥) ≠ 1 ⟺ 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ 2𝜋. 
Concluindo, a análise de sinal de 𝐴(𝑥) = −1 + cos(𝑥), para 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] é: 
𝐴(𝑥) = −1 + cos(𝑥) = 0 e 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] ⟺ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 2𝜋. 
𝐴(𝑥) = −1 + cos(𝑥) < 0 e 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] ⟺ 𝑥 ∈ (0, 2𝜋). 
 
(2.b) Sinal de 𝑩(𝒙) = 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧(𝒙), para 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅], 𝒙 ≠
𝝅
𝟐
, 𝒙 ≠
𝟑𝝅
𝟐
 
• 1 − tan(𝑥) = 0 ⟺ tan(𝑥) = 1 . 
• 1 − tan(𝑥) > 0 ⟺ − tan(𝑥) > −1 ⟺ tan(𝑥) < 1. 
• 1 − tan(𝑥) < 0 ⟺ − tan(𝑥) < −1 ⟺ tan(𝑥) > 1. 
Observando o círculo trigonométrico ao lado para a função tangente com 
ângulos de 0 a 2𝜋, 
tan(𝑥) = 1 ⟺ 𝑥 =
𝜋
4
 ou 𝑥 =
5𝜋
4
 
tan(𝑥) > 1 ⟺ 
𝜋
4
< 𝑥 <
𝜋
2
 ou 
5𝜋
4
< 𝑥 <
3𝜋
2
 
tan(𝑥) < 1 ⟺ 0 ≤ 𝑥 <
𝜋
4
 ou 
𝜋
2
< 𝑥 <
5𝜋
4
 ou 
3𝜋
2
< 𝑥 ≤ 2𝜋 
Concluindo, a análise de sinal de 𝐵(𝑥) = 1 − tan(𝑥), para 𝑥 ∈ [0, 2𝜋], 𝑥 ≠
𝜋
2
, 𝑥 ≠
3𝜋
2
 é: 
1 − tan(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 =
𝜋
4
 ou 𝑥 =
5𝜋
4
 
1 − tan(𝑥) > 0 ⟺ 0 ≤ 𝑥 <
𝜋
4
 ou 
𝜋
2
< 𝑥 <
5𝜋
4
 ou 
3𝜋
2
< 𝑥 ≤ 2𝜋 
1 − tan(𝑥) < 0 ⟺ 
𝜋
4
< 𝑥 <
𝜋
2
 ou 
5𝜋
4
< 𝑥 <
3𝜋
2
 
 
AD2-Parte 1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 4 de 6 
(2.c) Domínio de 𝒈(𝒙) =
−𝟏+𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝟏−𝐭𝐚𝐧(𝒙)
, contido no intervalo [𝟎, 𝟐𝝅]. 
Uma restrição é a condição de existência da função tan (𝑥), que é 𝑥 ≠
𝜋
2
 e 𝑥 ≠
3𝜋
2
. 
Outra restrição é denominador não nulo, ou seja, 1 − tan(𝑥) ≠ 0. Resolvendo, 
1 − tan(𝑥) ≠ 0 ⟺ tan(𝑥) ≠ 1 ⟺ 𝑥 ≠
𝜋
4
 e 𝑥 ≠
5𝜋
4
 . 
Assim, 𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = {𝑥 ∈ [0, 2𝜋]; 𝑥 ≠
𝜋
2
 e 𝑥 ≠
3𝜋
2
 e 𝑥 ≠
𝜋
4
 e 𝑥 ≠
5𝜋
4
 } 
 𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = [0,
𝜋
4
) ∪ (
𝜋
4
,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
,
5𝜋
4
) ∪ (
5𝜋
4
,
3𝜋
2
) ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋]. 
Sinal de 𝒈(𝒙) =
−𝟏+𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝟏−𝐭𝐚𝐧(𝒙)
, 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒈). 
Vamos construir a tabela de sinais, usando os sinais de 𝐴(𝑥) e 𝐵(𝑥) analisados nos itens anteriores. 
 0 (0,
𝜋
4
) 
𝜋
4
 (
𝜋
4
,
𝜋
2
) 
𝜋
2
 (
𝜋
2
,
5𝜋
4
) 
5𝜋
4
 (
5𝜋
4
,
3𝜋
2
) 
3𝜋
2
 (
3𝜋
2
, 2𝜋) 2𝜋 
−1 + cos(𝑥) 0 − − − − − − − − − 0 
1 − tan(𝑥) + + 0 − 𝑛𝑑 + 0 − 𝑛𝑑 + + 
−1 + cos(𝑥)
1 − tan(𝑥)
 0 − 𝑛𝑑 + 𝑛𝑑 − 𝑛𝑑 + 𝑛𝑑 − 0 
 
Portanto, o resultado da análise de sinal é: 
𝑔(𝑥) =
−1+cos(𝑥)
1−tan(𝑥)
= 0 ⟺ 𝑥 = 0ou 𝑥 = 2𝜋 
𝑔(𝑥) =
−1+cos(𝑥)
1−tan(𝑥)
> 0 ⟺ 𝑥 ∈ (
𝜋
4
,
𝜋
2
) ∪ (
5𝜋
4
,
3𝜋
2
) 
𝑔(𝑥) =
−1+cos(𝑥)
1−tan(𝑥)
< 0 ⟺ 𝑥 ∈ (0,
𝜋
4
) ∪ (
𝜋
2
,
5𝜋
4
) ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
 
Questão 3 [ valor: 1,2] Dado que sen(𝜃) =
1
4
 e 𝜃 ∈ [
9𝜋
2
, 5𝜋] , 
(3.a) Determine o quadrante do ângulo 𝜃. 
(3.b) Calcule o que se pede em cada item. 
 (i) cos(𝜃) 
 (ii) sec (𝜃 −
𝜋
4
) 
(iii) sen(2(𝜃 − 𝜋)) 
(iv) tan2 (
𝜃
2
 ) 
RESOLUÇÃO 
(3.a) Dados: 𝜃 ∈ [
9𝜋
2
, 5𝜋] 
Determinação do quadrante do ângulo 𝜽 
9𝜋
2
≡
9𝜋
2
− 2𝜋 =
5𝜋
2
≡
5𝜋
2
− 2𝜋 =
𝜋
2
 logo 
9𝜋
2
≡
𝜋
2
 
5𝜋 ≡ 5𝜋 − 2𝜋 = 3𝜋 ≡ 3𝜋 − 2𝜋 = 𝜋 logo 5𝜋 ≡ 𝜋 
Portanto o ângulo 𝜃 está no 2º quadrante. 
(3.b)(i) Da identidade trigonométrica fundamental sen2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1 e dado que sen(𝜃) =
1
4
 , 
temos que 
1
16
+ cos2(𝜃) = 1. Resolvendo, 
1
16
+ cos2(𝜃) = 1 ⟺ cos2(𝜃) = 1 −
1
16
=
15
16
 ⟺ cos(𝜃) = ±√
15
16
= ±
√15
4
. 
AD2-Parte 1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 5 de 6 
Vimos no item (a) que o ângulo 𝜃 está no 2º quadrante, logo sabemos que cos(𝜃) < 0. 
Como cos(𝜃) = ±
√15
4
 e cos(𝜃) < 0 concluímos que 𝐜𝐨𝐬(𝜽) = −
√𝟏𝟓
𝟒
. 
 
(3.b)(ii) Pela definição de secante, sec (𝜃 −
𝜋
4
) =
1
cos(𝜃−
𝜋
4
)
. 
Pela identidade trigonométrica cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) + sen(𝑎) sen(𝑏), temos que 
cos (𝜃 −
𝜋
4
) = cos(𝜃) cos (
𝜋
4
) + sen(𝜃) sen (
𝜋
4
) = cos(𝜃)
√2
2
 + sen(𝜃)
√2
2
=
√2
2
(cos(𝜃) + sen(𝜃)) 
No item (3(b))(i) vimos que cos(𝜃) = −
√15
4
 e foi dado que sen(𝜃) =
1
4
, logo temos que 
cos (𝜃 −
𝜋
4
) =
√2
2
 (−
√15
4
+
1
4
) =
√2
8
(1 − √15) . 
De sec (𝜃 −
𝜋
4
) =
1
cos(𝜃−
𝜋
4
)
 e cos (𝜃 −
𝜋
4
) =
√2
8
(1 − √15), temos que: sec (𝜃 −
𝜋
4
) =
1
√2
8
(1−√15)
. 
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por √2 e pelo conjugado de (1 − √15), 
sec (𝜃 −
𝜋
4
) =
1
√2
8
(1−√15)
=
8
√2(1−√15)
=
8√2(1+√15)
√2 √2(1−√15)(1+√15)
=
8√2(1+√15)
2(1−15)
= 
=
8√2(1+√15)
2(−14)
= −
8√2(1+√15)
2∙2∙7
= −
2(√2+√30)
7
 . 
 
(3.b)(iii) sen(2(𝜃 − 𝜋)) = sen(2𝜃 − 2𝜋) = sen(2𝜃) = 2 sen(𝜃) cos(𝜃). 
Logo sen(2(𝜃 − 𝜋)) = 2 sen(𝜃) cos(𝜃). 
No item (3(b))(i) vimos que cos(𝜃) = −
√15
4
 e foi dado que sen(𝜃) =
1
4
, logo temos que 
sen(2(𝜃 − 𝜋)) = 2 (−
√15
4
) (
1
4
) = −
√15
8
 Portanto sen(2(𝜃 − 𝜋)) = −
√15
8
 
 
(3.b)(iv) De tan(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
 temos que tan2 (
𝜃
2
 ) = (
sen(
𝜃
2
)
cos(
𝜃
2
) 
)
2
=
sen2(
𝜃
2
 )
cos2(
𝜃
2
 )
 . 
Pelas identidades trigonométricas sen2 (
𝜃
2
 ) =
1−cos(𝜃)
2
 e cos2 (
𝜃
2
 ) =
1+cos(𝜃)
2
, temos que 
tan2 (
𝜃
2
 ) =
1−cos(𝜃)
2
1+cos(𝜃)
2
=
1−cos(𝜃)
1+cos(𝜃)
 . No item (3(b))(i) vimos que cos(𝜃) = −
√15
4
, logo obtemos 
tan2 (
𝜃
2
 ) =
1−(−
√15
4
)
1+(−
√15
4
)
=
4+√15
4
4−√15
4
=
4+√15
4−√15
 . Assim tan2 (
𝜃
2
 ) =
4+√15
4−√15
. 
Podemos simplificar, tan2 (
𝜃
2
 ) =
4+√15
4−√15
∙
4+√15
4+√15
=
(4+√15)
2
16−15
= 16 + 8√15 + 15 = 31 + 8√15. 
 
AD2-Parte 1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 6 de 6 
Questão 4 [ valor: 1,2] Considere 𝑥 ∈ ℝ e a função 𝑇 definida por 
𝑇(𝑥) = arcsen (
𝑥
3
− 5) + 2 arccos (
2𝑥−35
4
). 
(4.a) Determine o domínio da função 𝑇. 
(4.b) Calcule, se possível, 𝑇 (
33
2
) e 𝑇 (
39
2
). Se não for possível calcular, justifique. 
RESOLUÇÃO 
(4.a) As restrições do domínio de 𝑇(𝑥) são: −1 ≤
𝑥
3
− 5 ≤ 1 e −1 ≤
2𝑥−35
4
≤ 1. 
Ou seja, 𝐷𝑜𝑚 (𝑇) = {𝑥 ∈ ℝ; −1 ≤
𝑥
3
− 5 ≤ 1 𝑒 − 1 ≤
2𝑥−35
4
≤ 1}. 
Resolvendo cada restrição, 
• −1 ≤
𝑥
3
− 5 ≤ 1 ⟺ −1 + 5 ≤
𝑥
3
− 5 + 5 ≤ 1 + 5 ⟺ 4 ≤
𝑥
3
≤ 6 ⟺ 12 ≤ 𝑥 ≤ 18 
• −1 ≤
2𝑥−35
4
≤ 1 ⟺ −4 ≤ 2𝑥 − 35 ≤ 4 ⟺ −4 + 35 ≤ 2𝑥 ≤ 4 + 35 ⟺ 
 31 ≤ 2𝑥 ≤ 39 ⟺ 
31
2
≤ 𝑥 ≤
39
2
 
Assim, 𝐷𝑜𝑚 (𝑇) = {𝑥 ∈ ℝ; 12 ≤ 𝑥 ≤ 18 𝑒 
31
2
≤ 𝑥 ≤
39
2
} 
𝐷𝑜𝑚 (𝑇) == {𝑥 ∈ ℝ; 
31
2
≤ 𝑥 ≤ 18} = [
31
2
, 18]. 
 
(4.b) Cálculo de 𝑻 (
𝟑𝟑
𝟐
) 
Como 
31
2
<
33
2
< 18, temos que 
33
2
∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑇) e é possível calcular 𝑇 (
33
2
). 
𝑇(𝑥) = arcsen (
𝑥
3
− 5) + 2 arccos (
2𝑥−35
4
), calculando 
𝑇 (
33
2
) = arcsen (
33
2
3
− 5) + 2 arccos (
2∙ 
33
2
−35
4
) = arcsen (
33
6
− 5) + 2 arccos (
33−35
4
) = 
arcsen (
3
6
) + 2 arccos (−
2
4
) = arcsen (
1
2
) + 2 arccos (−
1
2
) =
𝜋
6
+ 2 ∙
2𝜋
3
=
𝜋
6
+
4𝜋
3
=
𝜋+ 8𝜋 
6
=
 9𝜋 
6
 . 
Portanto 𝑻 (
𝟑𝟑
𝟐
) =
3𝜋
2
. 
Cálculo de 𝑻 (
𝟑𝟗
𝟐
) 
Como 
39
2
> 18, temos que 
39
2
∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑇) e não é possível calcular 𝑇 (
39
2
).