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Universidade Federal da Paraíba 
Centro de Ciências Exatas e da Natureza 
Departamento de Matemática 
Reposição da 3ª Prova de Cálculo Dif. e Integral II – Tarde 
 
 
 
Nome:__________________________________________ Mat.: _________ 
 
 
 
1) Calcule a derivada direcional da função 22 yx)y,x(f −= , no ponto P0 = (2, 3), na 
 direção da reta tangente à curva 3y5x2 2 −=+ no ponto )1,1(P1 −= . 
 
 
2) Considere a esfera de equação 2222 R3zyx =++ . 
a) Encontre a equação do plano tangente à esfera no ponto P0 = (R, R, R). 
b) Determine as equações paramétricas da reta normal à esfera em P0 . 
 
 
3) Seja )(.x)y,x(f y
x2 ψ= , com ψ uma função diferenciável. Mostre que 
f2
y
f
y
x
f
x =





∂
∂
+





∂
∂
. 
 
 
4) Classifique os pontos críticos da função 3y4xx3y
3
4
x
3
1
z 233 −−−−+= . 
 
 
 
5) A temperatura T no disco 1yx 22 ≤+ é dada por xy2x)y,x(T 22 −+= . Em que 
 ponto do disco a temperatura é mais alta e em que ponto ela é mais baixa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Universidade Federal da Paraíba 
Centro de Ciências Exatas e da Natureza 
Departamento de Matemática 
Reposição da 3ª Prova de Cálculo Dif. e Integral II – Manhã 
 
 
 
Nome:__________________________________________ Mat.: _________ 
 
 
 
1) Encontre a derivada direcional da função 22 xyyx)y,x(f += no ponto P0 = (1, -1 ), 
na direção da reta normal ao círculo 222 Ryx =+ , no ponto 





2
R2,
2
R2 . 
 
 
2) Considere a superfície de equação 1
16
z
9
y
4
x 222 =++ . 
c) Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto ( )22,0,2A = . 
d) Determine as equações paramétricas da reta normal à superfície em A . 
 
 
3) Se )tsen,tcos2(f)t(w = , calcule )t('w , sabendo-se que 2
y
f
x
x
f
y4 =





∂
∂
−





∂
∂
. 
 
 
4) Classifique os pontos críticos da função y9x32yxz 34 −++= . 
 
 
 
5) Encontre os pontos extremos da função xyxy)y,x(f −+= , na região 1yx 22 ≤+ .