Atividade Contextualizada Equações Diferenciais - Nota 9,0

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
Nome: 
Matrícula: 
Curso: Engenharia Civil 
 
1. INTRODUÇÃO 
O seguinte trabalho está sendo apresentado para atendimento avaliativo da 
cadeira de EAD EQUAÇÕES DIFERENCIAIS da Universidade Ser Educacional 
(UNINASSAU – Centro Universitário Mauricio de Nassau), Curso .............. 
 
2. OBJETIVO 
Este trabalho tem como proposito, apresentar a equação da corrente elétrica do 
circuito RL para 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, que foi apresentado como exemplo no case da 
atividade. Todavia, deseja-se expandir o resultado para um intervalo de 0 a 4, 
objetivando uma visualização gráfica do comportamento da corrente para a 
tensão aplicada de forma binária, conforme o gráfico apresentado como 
exemplo. 
 
3. DESENVOLVIMENTO 
 
3.1. A definição da função degrau 
A função de Heaviside ou função degrau unitário é nula para argumento negativo 
e vale 1 para argumento positivo. Quando o argumento é zero a função não 
precisa estar definida (ou pode-se definir qualquer valor, dependerá do contexto) 
Observa-se que esta é uma função continua por partes: 
 
𝑢(𝑡) = {
0, 𝑡 < 0
1, 𝑡 > 0
 
 
A função Heaviside com descontinuidade em 𝑡 = 𝑎 é a da forma: 
 
𝑢(𝑡 − 𝑎) = {
0, 𝑡 < 𝑎
1, 𝑡 > 𝑎
 
 
3.2. Cálculos desenvolvidos para a determinação da transformada de 
Laplace e da solução geral para 𝑖(𝑡). 
 
Seja 𝑓(𝑡) uma função definida nos reais não negativos. Quando a integral. 
 
ℒ{f(t)} = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 
∞
0
𝑑𝑡 
For convergente, ela será chamada de transformada de Laplace da função f(t). 
a transformada de Laplace L{f(t)} de uma função f(t) é uma função da variável 
“s”. a notação usual neste contesto é letra minúscula para a função e letra 
maiúscula para a transformada: L{f(t)} = F(s), L{g(t)} = G(s), L{h(t)} = H(s). nos 
exemplos seguintes serão aplicados a definição para calcular a transformada de 
Laplace de algumas funções. 
 
Exemplos: 
3.2.1. Calculando a transformada de Laplace da função f(t)=1 
ℒ{1} = ∫ 1. 𝑒−𝑠𝑡 
∞
0
𝑑𝑡 
= lim
𝑎→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡 
𝑎
0
 𝑑𝑡 
= lim
𝑎→∞
1 − 𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 
O limite lim
𝑎→∞
1 − 𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 apenas existira se s > 0. Portanto, 
ℒ{1} = 
1
𝑠2 
 𝑠 > 0. 
3.2.2. Transformada de Laplace da função f(t) = t que será calculada 
executando a integração por partes: 
ℒ{t} = ∫ 𝑡𝑒−𝑠𝑡 
∞
0
𝑑𝑡 
 
= −
 𝑡𝑒−𝑠𝑡
𝑠
∫ − ∫ (−
𝑒
𝑠
∞ 
0
−𝑠𝑡
) 𝑑𝑡
∞
0
 
 
 = −
 𝑡𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 
∞
0
− ∫ (−
𝑒
𝑠
∞ 
0
−𝑠𝑡
) 𝑑𝑡 
 
= −
 𝑡𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 
∞
0
+ 
1
𝑠
 ∫ 𝑒
∞ 
0
−𝑠𝑡
𝑑𝑡. 
 
Onde a notação −
 𝑡𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 
∞
0
 indica lim
𝑎→∞
(−
 𝑡𝑒−𝑠𝑡 
𝑠
 
∞
0
) observa-se que, se s > 0, a 
primeira parcela do lado direito do zero e a segunda é 
1
𝑠
 ℒ {1} , isto é ℒ {𝑡} = 
1
𝑠
 ℒ 
{1} = 
1
𝑠2
 , s > 0, 
 
Onde usamos o resultado do exemplo 3.2.1. 
 
3.2.3. Para calcula a transformada de Laplace da função f(t) = tn usamos a 
ideia introduzida no exemplo 3.2.2 anterior e escrevemos em termos 
da transformada de t n-1. observe primeiro a transformada de t2 e t3. 
 
Agora podemos prever qual seria a expressão para a transformada de tn 
ℒ{𝑡𝑛 } = 
𝑛!
𝑠𝑛+1 ′ 
 𝑠 > 0. 
Esta expressão pode ser formalmente demonstrada pelo método de indução 
matemática. 
 
3.3. Gráfico referente a corrente para 0 ≤ 𝑡 ≤ 4. 
 
𝑖(0) = 
𝑉0
𝑅
= 𝑖0, atribuindo valor unitário par R e L, temos: 
{
 
 
𝑖(1) = 𝑒−1 ≅ 0,37
𝑖(2) = 𝑒−1 ≅ 0,14
𝑖(3) = 𝑒−1 ≅ 0,05
𝑖(4) = 𝑒−1 ≅ 0,02
 
 
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4
4. REFERENCIAS 
Prof. Murakami – Matemática Rapidola - Teorema de Green 1 – You Tube 2020 
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=af6Tq3OVWxI 
Acesso: 27 agosto 2022. 
 
Prof. Murakami – Matemática Rapidola - Teorema de Green 2 – You Tube 2020 
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=vxmOOf7UuhA 
Acesso: 27 agosto 2022. 
 
Curso Unicamp: Cálculo III – Introdução – Parte 1 – You Tube 2012 
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=lempeC72Tyg 
Acesso: 26 agosto 2022. 
 
ZILL, Dennis, Equações Diferenciais: com aplicações em modelagem, 3° edição, 
São Paulo, Cengage Learning, 2016. 
BRAGA, João Pedro Marins, Equações Diferenciais, Universidade Ser 
Educacional (UNINASSAU – Centro Universitário Mauricio de Nassau), Recife, 
2019. 
FLEMMING, Diva Marilia; GONÇALVES, Mirian Buss, Cálculo A: Funções, limite, 
derivação e integração, 6° edição, Pearson, Florianópolis, 2016 
STEWART, James, Cálculo: tradução da 6° edição norte – Americana, 6° edição, 
São Paulo, Cengage Learning, 2009. 
NAGLE, R.Kent; SAFF, Edward B.; SNIDER, Arthur David, Equações 
Diferenciais, 8° edição, Pearson, São Paulo, 2012. 
https://www.youtube.com/watch?v=af6Tq3OVWxI
https://www.youtube.com/watch?v=vxmOOf7UuhA
https://www.youtube.com/watch?v=lempeC72Tyg