MAT040_2021_2_Prova03_TB2 2 (1)

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UFMG/ICEx/MAT — BH 17/02/2022 Prova 3 de Equações Diferenciais C Turma TB2
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Questão 1 2 3 4 Total
Pontos 9 8 8 9 34
Nota
1. Considerar a função f : R→R definida por f (x) =
{
+1, se −1 < x 6 0;
x, se 0 < x 6 1; e tal que f (x +2) = f (x) para todo x ∈R.
(a) (7 pontos) Determinar a expansão da função f (x) em série de Fourier. Indicar a opção correta:
i. S[ f ](x) = 3
4
− 2
π2
+∞∑
n=1
1
n2
cos
(
nπx
)− 1
π
+∞∑
n=1
1
n
sen
(
nπx
)
ii. S[ f ](x) = 3
4
− 2
π2
+∞∑
n=1
1
(2n)2
cos
(
2nπx
)− 1
π
+∞∑
n=1
1
2n
sen
(
2nπx
)
iii. S[ f ](x) = 3
4
− 2
π2
+∞∑
n=1
1
(2n −1)2 cos
(
(2n −1)πx)− 1
π
+∞∑
n=1
1
n
sen
(
nπx
)
iv. S[ f ](x) = 3
4
− 2
π2
+∞∑
n=1
1
(2n −1)2 cos
(
(2n −1)πx)− 1
π
+∞∑
n=1
1
2n −1 sen
(
(2n −1)πx)
(a)
(b) (2 pontos) Usar a série de Fourier da função f para calcular a soma da série numérica
+∞∑
n=1
(−1)n
2n −1 =+
1
1
− 1
3
+ 1
5
− 1
7
+ 1
9
− 1
11
+·· · .
(b)
2. (8 pontos) Resolver o problema de valor inicial para a equação da onda em uma corda infinita,
EDP
∂2u(x, t )
∂t 2
−a2 ∂
2u(x, t )
∂x2
= 0, −∞< x <+∞, 0 < t ;
CI u(x,0) = f (x) = arctan(x), −∞< x <+∞;
CI ut (x,0) = g (x) = a
1+x2 , −∞< x <+∞.
Mostrar que a solução consiste de apenas uma onda viajante. Para que lado viaja essa onda?
Sugestão: Usar a fórmula de d’Alembert para a solução da equação da onda.
2.
3. (8 pontos) Resolver o problema de valor de fronteira para a equação de Laplace em uma placa quadrada,
EDP
∂2u(x, y)
∂x2
+ ∂
2u(x, y)
∂y2
= 0, 0 < x <π, 0 < y <π;
CF u(0, y) = 0, 06 y 6π;
CF u(π, y) = 0, 06 y 6π;
CF u(x,0) = f (x) = 2sen(x), 06 x 6π;
CF u(x,π) = 0, 06 x 6π.
Sugestão: Usar a solução formal do problema de valor de fronteira,
u(x, y) =
+∞∑
n=1
bn sen(nx)senh(n(y −π)).
3.
Turma TB2—9h25 Prova 3 EDC (MAT040)
Página 2 de 2 Prova 3 de Equações Diferenciais C EDC (MAT040) Turma TB2
4. (9 pontos) Resolver o problema de valor inicial e de fronteira para a equação da difusão que modela a temperatura dos pontos de
uma barra com isolamento imperfeito,
EDP
∂u(x, t )
∂t
− ∂
2u(x, t )
∂x2
+u(x, t ) = 0, 0 < x <π, 0 < t ;
CF u(0, t ) = 0, 06 t ;
CF u(π, t ) = 0, 06 t ;
CI u(x,0) = f (x) = sen(2x) , 06 x 6π.
Sugestões:
(1) Procurar solução na forma u(x, t ) = exp(−t )w(x, t ) e determinar a função w(x, t ) ou então . . .
(2) Procurar solução na forma u(x, t ) = X (x)T (t ) e usar o método de separação de variáveis, também denominado método de
expansão em autofunções.
4.
Turma TB2—9h25 Prova 3 EDC (MAT040)