1761849_Deflexao de uma viga

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Deflexão de uma viga
Uma viga (metálica ou de concreto) está submetida a seu próprio peso e as forças externas ocasionando-lhes distorções (deflexões) cujas modalidades mais comuns são: Engastada em ambos os lados, Engastada em apenas um lado (em balanço) ou bi apoiadas nas extremidades.(condições de contorno Anexo 2). Consideramos uma viga horizontalmente homogênea com seção transversal uniforme ao longo de eu comprimento x = L. Suponhamos que uma carga vertical w(x), por unidade de comprimento, seja-lhe aplicada transversalmente, provocando-lhe uma deflexão y(x) orientada positivamente para baixo. 
Esforços na direção X (horizontal); 
Esforços na direção Y (vertical), e;
Esforços de Momento.
Momento fletor relaciona a distância, a força e a rigidez. Sabemos ainda que o momento fletor é proporcional a curvatura K de deflexão isto significa que ele é inversamente proporcional ao raio R de curvatura da curva, então: M(x) = E I K (1)
R = 
K= 
E= Módulo de elasticidade de Young do material da viga
I= Momento de inercia da seção transversal
E I = Rigidez defletora
Da teoria da elasticidade temos que o momento fletor M(x), em um ponto ao longo da viga, relaciona-se com a carga w(x) mediante a equação: (2) Dedução no Anexo 1.
Quando a deflexão for suficientemente pequena y (x) = 0 e y’ (x) = 0 então temos: K = y” (x) aplicando em (1) temos: M(x) = E I y” (x), e relacionado com (2) temos: (equação diferencial de 4ª ordem).
Anexo 1
Dedução da equação diferencial da linha elástica a partir da relação entre a curvatura e o momento fletor
O momento fletor atuante M e a curvatura da viga k estão relacionados de acordo com a seguinte fórmula:
É importante se atentar à convenção de sinais, pois a curvatura da viga fletida relaciona-se com o sentido dado aos eixos coordenados. Quando se supõe que o eixo x é positivo para a direita e que o y é positivo para baixo, como se vê na figura a seguir, admite-se que a curvatura da viga seja positiva, se a viga fletida for côncava para baixo e negativa se for côncava para cima.
Viga bi apoiada deformada
Adota-se a convenção de sinais em que o momento fletor M é positivo quando produz compressão nas fibras superiores da viga. Logo, um momento fletor positivo produz curvatura negativa, enquanto um momento fletor negativo produzirá curvatura positiva na viga.
Portanto, a equação (1) se altera da seguinte forma:
Sabendo que a curvatura k é a taxa de variação do ângulo θ com relação à distância ds medida sobre a linha elástica, sendo θ o ângulo formado pela tangente à linha elástica num determinado ponto com o eixo x; temos:
 (3)
Ângulo θ e a relação com a tangente
Como na maioria das aplicações práticas ocorrem apenas pequenas deflexões nas vigas, as linhas elásticas são muito achatadas e tanto o ângulo θ quanto a inclinação da curva são quantidades muito pequenas. Isso significa que podemos fazer
 onde v é a deflexão da viga a partir de sua posição inicial.
Substituindo essas expressões na equação (3), temos:
 Finalmente, combinando com a equação (2), temos:
 
Anexo 2
Condições de contorno
Viga Engastada
 Não há deflexão
 A curva de deflexão tangencia o eixo x
Viga em Balanço
 Momento Fletor é nulo
 Força de cisalhamento 
Viga com as extremidades simplesmente apoiadas
 Não há deflexões
 Momentos fletores nulos